统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练47直线与圆圆与圆的位置关系文

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[基础强化]
一、选择题
1.圆（x－1）2＋（y＋2）2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是（ ）
A.相切 B．相交但不过圆心
C.相交过圆心 D．相离
2.已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋16＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是（ ）
A.相离 B．外切
C.相交 D．内切
3.[2022·北京卷，3]若直线2x＋y－1＝0是圆（x－a）2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝（ ）
A. eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2)
C.1 D．－1
4.两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有（ ）
A.4条 B．3条
C.2条 D．1条
5.[2023·江西省南昌市月考] 倾斜角为45°的直线l将圆C：x2＋y2＝4分割成弧长的比值为 eq \f(1,2)的两段弧，则直线l在y轴上的截距为（ ）
A.1 B． eq \r(2)
C.±1 D．± eq \r(2)
6.已知直线l经过点（0，1）且与圆（x－1）2＋y2＝4相交于A、B两点，若|AB|＝2 eq \r(2)，则直线l的斜率k的值为（ ）
A.1 B．－1或1
C.0或1 D．1
7.[2023·全国乙卷（文）]已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是（ ）
A.1＋ eq \f(3\r(2),2) B．4
C.1＋3 eq \r(2) D．72
8.[2023·江西省高三联考]已知圆C：（x－2）2＋y2＝4，直线l：2x－y＋4＝0，点P为直线l上任意一点，过P作圆C的一条切线，切点为A，则切线段PA的最小值为（ ）
A. eq \f(8\r(5),5) B． eq \f(2\r(55),5)
C.2 D．4
9.已知直线ax＋by－6＝0（a>0，b>0）被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2 eq \r(5)，则ab的最大值为（ ）
A. eq \f(5,2) B．4
C. eq \f(9,2) D．9
二、填空题
10.[2022·新高考Ⅰ卷，14]写出与圆x2＋y2＝1和（x－3）2＋（y－4）2＝16都相切的一条直线的方程 _______．
11.已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_______．
12.过点P（1，－3）作圆C：（x－4）2＋（y－2）2＝9的两条切线，切点分别为A，B，则切线方程为
_______．
[能力提升]
13.直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x－2）2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（ ）
A.[2，6] B．[4，8]
C.[ eq \r(2)，3 eq \r(2)] D．[2 eq \r(2)，3 eq \r(2)]
14.已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，b），则下列说法错误的是（ ）
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
15.[2023·贵州省高三测试]如图，圆O：x2＋y2＝4交x轴的正半轴于点A.B是圆上一点，M是弧 eq \(AmB,\s\up8(︵))的中点，设∠AOM＝θ（0<θ<π），函数f（θ）表示弦AB长与劣弧 eq \(AM,\s\up8(︵))长之和．当函数f（θ）取得最大值时，点M的坐标是_______．
16.已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：（x－2）2＋（y－2）2＝4，若点P（a，b）（a>0，b>0）在两圆的公共弦上，则 eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b)的最小值为_______．
专练47 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．B 圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝ eq \f(|2－2－5|,\r(22＋12))＝ eq \r(5)< eq \r(6)，
∴两圆相交但不过圆心．
2．B ∵x2＋y2＝4的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，
又x2＋y2＋6x－8y＋16＝0可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝9，其圆心C2(－3，4)，半径r2＝3，又圆心距|C1C2|＝ eq \r(（0＋3）2＋（0－4）2)＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切．
3．A 因为直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，所以直线2x＋y－1＝0经过圆心．由圆的标准方程，知圆心坐标为(a，0)，所以2a＋0－1＝0，解得a＝ eq \f(1,2).故选A.
4．B 圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心C1(2，－1)，C2(－2，2)，半径r1＝2，r2＝3，圆心距|C1C2|＝ eq \r(（－2－2）2＋（2＋1）2)＝5，
r1＋r2＝5，
∴|C1C2|＝r1＋r2，∴两圆C1与C2外切，∴它们有3条公切线．
5.
D 设原点为O，直线l与圆C交于点A，B，由题意，得∠AOB＝120°.过O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝1；
设直线l的方程为y＝x＋b，由|OH|＝1，得 eq \f(|b|,\r(2))＝1，解得b＝± eq \r(2)，所以直线l在y轴上的截距为± eq \r(2).
6．D 由题意得圆心(1，0)到直线l：y＝kx＋1的距离d为d＝ eq \f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝ eq \r(4－（\r(2)）2)，得(k＋1)2＝2(k2＋1)，得k＝1.
7．C 将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取得最大值，此时 eq \f(|2－1－z|,\r(2))＝3，解得z＝1±3 eq \r(2)，故z＝x－y的最大值为1＋3 eq \r(2)，故选C.
8．B 圆C的圆心为C(2，0)，则|PA|＝ eq \r(|PC|2－r2)，其中r2＝4，
|PC|的最小值为点C到直线l的距离，即 eq \f(|2×2－0＋4|,\r(22＋（－1）2))＝ eq \f(8,\r(5))，
所以当|PC|取最小时，|PA|也取最小，即 eq \f(2\r(55),5).
9．C x2＋y2－2x－4y＝0化成标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝( eq \r(5))2，因为直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2 eq \r(5)，故直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)经过圆心(1，2)，即a＋2b＝6.又6＝a＋2b≥2 eq \r(2ab)，即ab≤ eq \f(9,2)，当且仅当a＝2b＝3时取等号，故ab的最大值为 eq \f(9,2).
10．答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)
解析：由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．设切点为A(x，y).由O1A＝ eq \f(1,5)O1O2，得A( eq \f(3,5)， eq \f(4,5)).因为kO1O2＝ eq \f(4,3)，所以切线l1的斜率k1＝－ eq \f(3,4)，所以l1：y－ eq \f(4,5)＝－ eq \f(3,4)(x－ eq \f(3,5))，即3x＋4y－5＝0.由图像易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝ eq \f(4,3)x.联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,3)x，,x＝－1，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－\f(4,3)．))故直线l与l2的交点为P(－1，－ eq \f(4,3)).由切线定理，得两圆的另一公切线l3过点P.设l3：y＋ eq \f(4,3)＝k(x＋1).由点到直线的距离公式，得 eq \f(k－\f(4,3),\r(k2＋1))＝1，解得k＝ eq \f(7,24)，所以l3：y＋ eq \f(4,3)＝ eq \f(7,24)(x＋1)，即7x－24y－25＝0.
11．答案：2 eq \r(6)
解析：x2＋y2－2y－7＝0可化为x2＋(y－1)2＝8，∴圆心(0，1)到直线kx－y－k＋2＝0的距离d＝ eq \f(|－1－k＋2|,\r(k2＋1))＝ eq \f(|1－k|,\r(k2＋1))，
∴|AB|＝2 eq \r(8－\f(k2－2k＋1,k2＋1))＝2 eq \r(7＋\f(2k,k2＋1))
又－1≤ eq \f(2k,k2＋1)≤1，∴|AB|min＝2 eq \r(6).
12．答案：x＝1或8x－15y－53＝0
解析：当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝1，
当切线的斜率存在时，设切线方程为y＋3＝k(x－1)，
即：kx－y－k－3＝0，由题意得．
eq \f(|4k－2－k－3|,\r(k2＋1))＝3，得k＝ eq \f(8,15)，
∴切线方程为8x－15y－53＝0.
13．A 圆心(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离为 eq \f(|2＋2|,\r(12＋12))＝2 eq \r(2)，又圆的半径为 eq \r(2)，∴P到AB的距离d∈[2 eq \r(2)－ eq \r(2)，2 eq \r(2)＋ eq \r(2)]，即d∈[ eq \r(2)，3 eq \r(2)]，易知B(0，－2)，A(－2，0)，|AB|＝ eq \r(（－2－0）2＋（0＋2）2)＝2 eq \r(2)，S△ABP＝ eq \f(1,2)|AB|d∈[2，6].
14．C 圆心C(0，0)到直线l的距离d＝ eq \f(r2,\r(a2＋b2))，
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，
所以d＝ eq \f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2所以d＝ eq \f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以d＝ eq \f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，
即a2＋b2＝r2，
所以d＝ eq \f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．
15．答案：(－1， eq \r(3))
解析：由题意知：圆半径为2，OM⊥AB，故AB＝2×2sin θ＝4sin θ，f(θ)＝4sin θ＋2 θ，
则f′(θ)＝4cs θ＋2，令f′(θ)＝0，解得cs θ＝－ eq \f(1,2)，又0<θ<π，当θ∈(0， eq \f(2π,3))时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增；
当θ∈( eq \f(2π,3)，π)时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减；故当θ＝ eq \f(2π,3)时，f(θ)取得最大值，
此时M(2·cs eq \f(2π,3)，2·sin eq \f(2π,3))，即(－1， eq \r(3)).
16．答案：8
解析：由题意将两圆的方程相减，可得公共弦方程为x＋y＝2.
点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，∴a＋b＝2，∴ eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b)＝ eq \f(1,2)( eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b))(a＋b)＝ eq \f(1,2)(10＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(9a,b))≥ eq \f(1,2)×(10＋6)＝8，当且仅当 eq \f(b,a)＝ eq \f(9a,b)，即b＝3a时取等号，所以 eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b)的最小值为8.