统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练50抛物线文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练50抛物线文，共6页。

[基础强化]
一、选择题
1.抛物线y＝ eq \f(1,4)x2的焦点到其准线的距离为（ ）
A．1 B．2
C. eq \f(1,2) D． eq \f(1,8)
2.设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p>0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）
A.（ eq \f(1,4)，0） B．（ eq \f(1,2)，0）
C.（1，0） D．（2，0）
3.动点M到点F（2，1）的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为（ ）
A.抛物线 B．直线
C.线段 D．射线
4.[2023·江西省赣州市高三摸底]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，以F为圆心，半径为 eq \r(6)的圆与l交于A，B两点，则|AB|＝（ ）
A. eq \r(2)B．2 eq \r(2)
C.2 eq \r(3) D．4
5.[2022·全国乙卷（文），6] 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（ ）
A.2 B．2 eq \r(2)
C.3 D．3 eq \r(2)
6.AB是抛物线x2＝y的焦点弦，且|AB|＝4，则AB的中点到x轴的距离为（ ）
A.2 B． eq \f(3,2)
C. eq \f(7,2) D． eq \f(7,4)
7.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A. eq \r(2) B． eq \r(3)
C.2 D． eq \r(5)
8.设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))等于（ ）
A. eq \f(3,4) B．－ eq \f(3,4)
C.3 D．－3
9.[2023·江西省景德镇高三质检]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，且|AB|＝ eq \f(16,3).若 eq \(AF,\s\up6(→))＝t eq \(FB,\s\up6(→))（其中t>1），则t的值为（ ）
A. eq \f(3,2) B． eq \r(3)
C.2 D．3
二、填空题
10.[2023·全国乙卷（文）]已知点A（1， eq \r(5)）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为_______．
11.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1＋x2＝6，则|PQ|＝ .
12.已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为_______．
[能力提升]
13.[2023·四川省成都高三模拟]设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2x上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A.1 B． eq \f(1,2)
C. eq \f(\r(2),2) D． eq \f(\r(5),2)
14.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M（3，1）射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为（ ）
A. eq \f(71,12)＋ eq \r(26) B．9＋ eq \r(26)
C.9＋ eq \r(10) D． eq \f(83,12)＋ eq \r(26)
15.[2023·江西省赣州市高三期末]抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A，B，C在E上，O是坐标原点，若点F为△ABC的重心，△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3.则S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝_______．
16.过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），则 eq \f(|AF|,|BF|)＝_______.
专练50 抛物线
1．B y＝ eq \f(1,4)x2可化为x2＝4y，则焦点到准线的距离为 eq \f(1,2)×4＝2.
2．B 由抛物线的对称性，不妨设D在x轴上方、E在x轴下方．由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y2＝2px))得D(2，2 eq \r(p))，E(2，－2 eq \r(p))，∵OD⊥OE，∴ eq \(OD,\s\up6(→))· eq \(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，∴p＝1，∴C的焦点坐标为( eq \f(1,2)，0).
3．B ∵F(2，1)在直线l：3x＋4y－10＝0上，∴动点M的轨迹为过点F且与直线l垂直的直线．
4．B 因为y2＝4x，所以焦点F(1，0)到准线l：x＝－1的距离为2，
又|AF|＝ eq \r(6)，所以|AB|＝2 eq \r(（\r(6)）2－22)＝2 eq \r(2).
5．B 由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2 eq \r(x0)).根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝ eq \r(（1－3）2＋（2－0）2)＝2 eq \r(2).故选B.
6．D
如图为x2＝y的图像，F为其焦点，l为x2＝y的准线，由抛物线的定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，∴|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝4，由图可知AB的中点到准线的距离为 eq \f(|AA1|＋|BB1|,2)＝2，∴AB的中点到x轴的距离为2－ eq \f(1,4)＝ eq \f(7,4).
7．D 由题意可知抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1，又知双曲线的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a)x，
∵|AB|＝4|OF|＝4，不妨设A在B上方，
∴A(－1，2)，又点A在直线y＝－ eq \f(b,a)x上，
∴2＝－ eq \f(b,a)·(－1)，∴ eq \f(b,a)＝2，
∴双曲线的离心率e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝ eq \r(1＋4)＝ eq \r(5).
8．B 当AB与x轴垂直时，A( eq \f(1,2)，1)，B( eq \f(1,2)，－1)， eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)＋1×(－1)＝－ eq \f(3,4)；
当AB与x轴不垂直时，
设l：y＝k(x－ eq \f(1,2))，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－\f(1,2)），,y2＝2x，))得k2x2－(k2＋2)x＋ eq \f(k2,4)＝0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得x1＋x2＝ eq \f(k2＋2,k2)，x1x2＝ eq \f(1,4)，
∴ eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－ eq \f(1,2))(x2－ eq \f(1,2))
＝(1＋k2)x1x2－ eq \f(1,2)k2(x1＋x2)＋ eq \f(k2,4)＝－ eq \f(3,4).
9．D 抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，依题意，直线AB不垂直于坐标轴，设直线AB：y＝k(x－1)，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1）,y2＝4x))消去y并整理得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，而k≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1x2＝1，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝ eq \f(16,3)，即x1＋x2＝ eq \f(10,3)，
因 eq \(AF,\s\up6(→))＝t eq \(FB,\s\up6(→))，且t>1，即|AF|>|BF|，则有x1>x2，解得x1＝3，x2＝ eq \f(1,3)，
又(1－x1，－y1)＝t(x2－1，y2)，于是得1－x1＝t(x2－1)，t＝ eq \f(x1－1,1－x2)＝ eq \f(3－1,1－\f(1,3))＝3，
所以t的值为3.
10．答案： eq \f(9,4)
解析：将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－ eq \f(5,4)，所以A到准线的距离为1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)))＝ eq \f(9,4).
11．答案：8
解析：|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
12．答案：0或1
解析：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，
若k＝0，满足题意；若k≠0，则Δ＝(4k－8)2－4×4k2＝0，得k＝1.综上得k＝0或k＝1.
13．C 因为F( eq \f(1,2)，0)，设M(x0，y0)，显然当y0<0时，kOM<0，当y0>0时，kOM>0，则要想求解直线OM的斜率的最大值，此时y0>0，设P(m，n)，因为|PM|＝2|MF|，所以 eq \(PM,\s\up6(→))＝2 eq \(MF,\s\up6(→))，即(x0－m，y0－n)＝2( eq \f(1,2)－x0，－y0)，解得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝3x0－1,n＝3y0))，由于n2＝2m，所以9y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝2(3x0－1)，即 eq \f(3,2)y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋ eq \f(1,3)＝x0，由于y0>0，则kOM＝ eq \f(y0,x0)＝ eq \f(y0,\f(3,2)y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋\f(1,3))＝ eq \f(1,\f(3,2)y0＋\f(1,3y0))≤ eq \f(1,2\r(\f(3,2)y0·\f(1,3y0)))＝ eq \f(\r(2),2)，当且仅当 eq \f(3,2)y0＝ eq \f(1,3y0)，即y0＝ eq \f(\r(2),3)时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为 eq \f(\r(2),2).
14．B 令y＝1，得x＝ eq \f(1,4)，即A( eq \f(1,4)，1).
由抛物线的光学性质可知AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x.
消去y，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.则xAxB＝1，所以xB＝ eq \f(1,xA)＝4.
|AB|＝xA＋xB＋p＝ eq \f(25,4).
将x＝4代入y2＝4x得y＝±4，故B(4，－4).
故|MB|＝ eq \r(（4－3）2＋（－4－1）2)＝ eq \r(26).
故△ABM的周长为|MA|＋|MB|＋|AB|＝(3－ eq \f(1,4))＋ eq \r(26)＋ eq \f(25,4)＝9＋ eq \r(26).
15．答案：3
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，所以有y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝4x1，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝4x2，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝4x3，
抛物线的焦点坐标为F(1，0)，△ABC的重心坐标为( eq \f(x1＋x2＋x3,3)， eq \f(y1＋y2＋y3,3))，
由题意可知： eq \f(x1＋x2＋x3,3)＝1，即x1＋x2＋x3＝3，
S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝( eq \f(1,2)×|OF|·|y1|)2＋( eq \f(1,2)×|OF|·|y2|)2＋( eq \f(1,2)×|OF|·|y3|)2
＝ eq \f(1,4)(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) )＝x1＋x2＋x3，
所以S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋S eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝x1＋x2＋x3＝3.
16．答案：3
解析：
如图所示，由题意得准线l：x＝－ eq \f(p,2).作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，BH⊥AC于点H，则|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，|AH|＝|AC|－|BD|＝|AF|－|BF|，因为在Rt△AHB中，∠HAB＝60°，所以cs 60°＝ eq \f(|AH|,|AB|)＝ eq \f(|AF|－|BF|,|AF|＋|BF|)，
即 eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝|AF|－|BF|，得 eq \f(|AF|,|BF|)＝3.