华师大版九年级上册21.2 二次根式的乘除法综合与测试教学演示课件ppt

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二次根式的乘法积的算术平方根二次根式的除法商的算术平方根最简二次根式
1. 二次根式的乘法法则一般地，有 (a ≥ 0，b ≥ 0). 这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
2. 二次根式的乘法法则的推广(1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为积的根号外因数(式)，被开方数之积作为积的被开方数，即： (b ≥ 0，d ≥ 0).
(2)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即： (a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0).(3)几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律使运算简便.
特别提醒：1. 法则中被开方数a，b 既可以是数，也可以是式子，但都必须是非负的.2. 如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数.3. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因式时一定要开方.4. 二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式.
解法提醒：(1)(2)直接用法则计算，且(2)中字母取值未加说明为正数，不需讨论.(3)按推广中(1)计算.(4)按推广中(2)计算，但注意要将带分数化为假分数计算.
解题秘方：紧扣“二次根式乘法法则”计算.
1. 积的算术平方根的性质 (a ≥ 0，b ≥ 0).这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.
特别提醒：公式中的a，b 既可以是一个数，也可以是一个式子. 积中各个因式必须都为非负数，若不是非负数，应将其化
2. 性质的应用(1)积的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的乘法法则，它对两个以上因数(式)的积的算术平方根同样适用；(2)运用此公式化简二次根式时，关键是将被开方数分解因数(或因式)，把含有a2 形式的a 移到根号外面.
解题秘方：紧扣“积的算术平方根的性质”的特征进行化简.
特别提醒：利用积的算术平方根的性质，要注意以下两点：●被开方数(式)的范围；●被开方数(式)一定是乘积的形式，不要出现 “ ”这样的错误.
1. 二次根式的除法法则 一般地，有 (a≥0，b＞0).这就是说，两个算术平方根的商，等于被开方数的商的算术平方根.
法则中的被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但都必须是非负的且b不为0；若b=0，则式子无意义。
2. 二次根式的除法法则的推广(1)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即： (a≥ 0，b＞ 0，c＞ 0).(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商的根号外因数(式) ，被开方数(式)之商作为商的被开方数(式) ，即： (b≥ 0，d＞ 0，c≠ 0).
特别提醒：进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再相除.
如果 成立，那么( )A.a ≥ 8 B.0 ≤ a ≤ 8 C.a ≥ 0 D.a ＞ 8
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条件求解.
解法提醒：要求使等式成立的字母的取值范围，只需使等式的每部分都有意义.这里包括二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为零，零指数幂和负整数指数幂的底数不为零等.
解：根据二次根式除法法则成立的条件，
解题秘方：：紧扣“二次根式除法法则”进行计算.
技巧点拨 (a ≥ 0，b>0)的运算方法：1. 当a 是b 的倍数或a，b 为分数时，常先利用 计算.2. 当 ， 中的被开方数含有完全平方数（式）时，常先将完全平方数(式)“开方”出来，再进行除法运算.3. 当根号前含有系数时，根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘.
特别提醒：1.商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法法则.2.公式中的a，b既可以是一个数，也可以是一个式子，但必须满足a ≥ 0，b>0.3.利用商的算术平方根的性质可以把被开方数中含有分母的二次根式化成被开方数不含分母的二次根式.
1. 商的算术平方根的性质： (a≥ 0，b＞0).这就是说，商的算术平方根，等于算术平方根的商.
2. 去掉分母中的根号(分母有理化)的方法：(1)当分母是 或b 的形式时，分子与分母同乘 ；(2)当分母是a+ 的形式时，分子与分母同乘a－ ，利用平方差公式将分母中的根号去掉；(3)当分母是 + 的形式时，分子与分母同乘 － ，利用平方差公式将分母中的根号去掉.
解题秘方：紧扣“商的算术平方根的性质”进行化简.
方法点拨：利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法：1. 若被开方数(式)的分母是一个完全平方数(式)，则可以直接利用商的算术平方根的性质，先将分子、分母分别开平方，然后求商；2. 若被开方数(式)的分母不是完全平方数(式) ，可根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时乘一个不等于0 的数或整式，使分母变成一个完全平方数(式) ，然后利用商的算术平方根的性质进行化简.
去掉下列分母中的根号：
解题秘方：紧扣“去掉分母中的根号的方法”进行变形.
解法提醒：有多种方法：可以先运用二次根式的除法法则，再把被开方数进行化简，然后进行开方运算；也可以先分别把分子、分母进行化简，再将分子、分母同乘一个适当的数(式)，化去分母中的根号.
解题通法：去掉分母中的根号一般经历以下三步：“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)开方后移到根号外；“二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)；“三化”，即化简计算.
1. 定义二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式.
特别提醒:判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件：●被开方数不含分母；●被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
2. 二次根式化简成最简二次根式的步骤(1)“一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式；(2)“二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.
解题秘方：紧扣最简二次根式定义的条件进行判断.
特别警示:判断最简二次根式有两大思维误区：●是被开方数不含分母而不是式子不含分母，如 有分母但 是最简二次根式；●被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式，如 是最简二次根式.
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母.
(2)是最简二次根式.
(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母).
(4)不是最简二次根式，因为被开方数24x 中含有能开得尽方的因数4，4=22.
(5)不是最简二次根式，因为x3+6x2+9x=x(x2+6x+9)=x(x+3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式.
(6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式.