统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练21两角和与差的正弦余弦正切公式理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练21两角和与差的正弦余弦正切公式理，共5页。


[基础强化]
一、选择题
1．sin 20°cs 10°－cs 160° sin 10°＝( )
A．－ eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(3),2)
C．－ eq \f(1,2) D． eq \f(1,2)
2．已知tan α＝2，则tan (α－ eq \f(π,4))＝( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,2) D．－3
3．若sin α＝ eq \f(1,3)，则cs 2α＝( )
A． eq \f(8,9) B． eq \f(7,9)
C．－ eq \f(7,9) D．－ eq \f(8,9)
4．cs 105°－cs 15°＝( )
A． eq \f(\r(2),2) B．－ eq \f(\r(2),2)
C． eq \f(\r(6),2) D．－ eq \f(\r(6),2)
5. eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(3),2) D．1
6．[2023·包头模拟]已知cs α＋cs (α－ eq \f(π,3))＝1，则cs (α－ eq \f(π,6))等于( )
A． eq \f(1,3)B． eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(\r(3),3)
7．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值是( )
A．16 B．8
C．4 D．2
8．已知cs α＝ eq \f(1,7)，cs (α－β)＝ eq \f(13,14)，且0<β<α< eq \f(π,2)，则β等于( )
A． eq \f(π,4) B． eq \f(π,6)
C． eq \f(π,3) D． eq \f(5,12)π
9．已知2tan θ－tan (θ＋ eq \f(π,4))＝7，则tan θ＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
二、填空题
10．[2023·陕西宝鸡中学模拟]sin (θ＋75°)＋cs (θ＋45°)－ eq \r(3)cs (θ＋15°)＝________．
11．已知cs (α－ eq \f(π,6))＋sin α＝ eq \f(4\r(3),5)，则sin (α＋ eq \f(7π,6))＝________．
12．[2023·甘肃、青海、宁夏联考]若tan (α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan (α＋β)＝________，tan α＝________．
[能力提升]
13．[2023·福建漳州三模]英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏(用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1)得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球(如图2)，由于万有引力作用，扭秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面(点M处)反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转α角后，反射光线照射在刻度尺的点Q′处，若△PMQ是正三角形．PQ＝a，QQ′＝b(如图3)，则下列等式中成立的是( )
A.tan α＝ eq \f(\r(3)b,2a＋b) B．tan α＝ eq \f(\r(3)a,a＋2b)
C．tan 2α＝ eq \f(\r(3)b,2a＋b) D．tan 2α＝ eq \f(\r(3)a,a＋2b)
14．已知锐角α，β满足sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(3\r(10),10)，则α＋β等于( )
A． eq \f(3π,4) B． eq \f(π,4)或 eq \f(3π,4)
C． eq \f(π,4)D．2kπ＋ eq \f(π,4)(k∈Z)
15．[2023·西北工业大学月考]已知cs β－3sin α＝2，sin β＋3cs α＝ eq \f(3,2)，则sin (β－α)等于( )
A．－ eq \f(5,24) B． eq \f(5,24)
C．－ eq \f(5,8)D． eq \f(5,8)
16．[2023·河北五校联考]已知x，y∈(0， eq \f(π,2))，sin (x＋y)＝2sin (x－y)，则x－y的最大值为( )
A． eq \f(π,3) B． eq \f(π,6)
C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,8)
专练21 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．D sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin 30°＝ eq \f(1,2).
2．B tan (α－ eq \f(π,4))＝ eq \f(tan α－1,1＋tan α)＝ eq \f(2－1,1＋2)＝ eq \f(1,3).
3．B cs 2α＝1－2sin2α＝1－ eq \f(2,9)＝ eq \f(7,9).
4．D cs105°－cs 15°＝－(sin 15°＋cs 15°)
＝－ eq \r(2)sin (15°＋45°)＝－ eq \r(2)sin 60°＝－ eq \f(\r(6),2).
5．A eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝ eq \f(sin 10°,1－\r(3)\f(sin 10°,cs 10°))
＝ eq \f(sin 10°cs 10°,cs 10°－\r(3)sin 10°)＝ eq \f(\f(1,2)sin 20°,2sin 20°)＝ eq \f(1,4).
6．D ∵cs α＋cs (α－ eq \f(π,3))＝1，
∴cs α＋ eq \f(1,2)cs α＋ eq \f(\r(3),2)sin α＝ eq \f(3,2)cs α＋ eq \f(\r(3),2)sin α
＝ eq \r(3)( eq \f(\r(3),2)cs α＋ eq \f(1,2)sin α)＝ eq \r(3)cs (α－ eq \f(π,6))＝1，
∴cs (α－ eq \f(π,6))＝ eq \f(\r(3),3).
7．D ∵A＋B＝45°，∴tan (A＋B)＝ eq \f(tan A＋tan B,1－tan A tan B)＝1，
∴tan A＋tan B＝1－tan A tan B.
∴(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋tan A＋tan B＋tan A tan B＝2.
8．C ∵cs α＝ eq \f(1,7)，0<α< eq \f(π,2)，∴sin α＝ eq \r(1－cs2α)＝ eq \f(4\r(3),7)，又cs(α－β)＝ eq \f(13,14)，0<β<α< eq \f(π,2)，∴0<α－β< eq \f(π,2)，
∴sin (α－β)＝ eq \r(1－cs2（α－β）)＝ eq \f(3\r(3),14)，
csβ＝cs [α－(α－β)]＝cs αcs (α－β)＋sin αsin (α－β)
＝ eq \f(1,7)× eq \f(13,14)＋ eq \f(4\r(3),7)× eq \f(3\r(3),14)＝ eq \f(13＋12×3,7×14)＝ eq \f(1,2)，
又0<β< eq \f(π,2)，∴β＝ eq \f(π,3).
9．D 2tan θ－tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2tan θ－ eq \f(tan θ＋1,1－tan θ)＝7，整理可得tan2θ－4tanθ＋4＝0，∴tan θ＝2，故选D.
10．0
解析：sin (θ＋75°)＋cs (θ＋45°)－ eq \r(3)cs (θ＋15°)
＝sin (θ＋15°＋60°)＋cs (θ＋45°)－ eq \r(3)cs (θ＋15°)
＝sin (θ＋15°)cs 60°＋cs (θ＋15°)sin 60°＋cs (θ＋45°)－ eq \r(3)cs (θ＋15°)
＝ eq \f(1,2)sin (θ＋15°)＋ eq \f(\r(3),2)cs (θ＋15°)＋cs (θ＋45°)－ eq \r(3)cs (θ＋15°)
＝ eq \f(1,2)sin (θ＋15°)－ eq \f(\r(3),2)cs (θ＋15°)＋cs (θ＋45°)
＝sin 30°sin (θ＋15°)－cs 30°cs (θ＋15°)＋cs (θ＋45°)
＝－cs (θ＋45°)＋cs (θ＋45°)＝0.
11．－ eq \f(4,5)
解析：由cs (α－ eq \f(π,6))＋sin α＝ eq \f(4\r(3),5)，得 eq \f(\r(3),2)cs α＋ eq \f(1,2)sin α＋sin α＝ eq \f(4\r(3),5)，
∴ eq \f(1,2)cs α＋ eq \f(\r(3),2)sin α＝ eq \f(4,5)，∴sin (α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(4,5).
∴sin (α＋ eq \f(7,6)π)＝sin (α＋ eq \f(π,6)＋π)＝－sin (α＋ eq \f(π,6))＝－ eq \f(4,5).
12．－1 eq \f(1,2)
解析：∵tan (α＋2β)＝2，
tan β＝－3，
∴tan (α＋β)＝tan (α＋2β－β)＝ eq \f(tan （α＋2β）－tan β,1＋tan （α＋2β）tan β)
＝ eq \f(2－（－3）,1＋2×（－3）)＝－1.
tan α＝tan (α＋β－β)＝ eq \f(－1－（－3）,1＋（－1）×（－3）)＝ eq \f(1,2).
13．C 过点M作MD⊥PQ，因为△PMQ是正三角形．PQ＝a，QQ′＝b，
则DQ′＝ eq \f(1,2)a＋b，MD＝ eq \f(\r(3),2)a，∠MQ′D＝60°－2α，
所以tan ∠MQ′D＝tan (60°－2α)＝ eq \f(MD,DQ′)＝ eq \f(\f(\r(3)a,2),\f(a,2)＋b)＝ eq \f(\r(3)a,a＋2b)，
则 eq \f(tan 60°－tan 2α,1＋tan 60°·tan 2α)＝ eq \f(\r(3)－tan 2α,1＋\r(3)·tan 2α)＝ eq \f(\r(3)a,a＋2b)，解得tan 2α＝ eq \f(\r(3)b,2a＋b).
14．C 由sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(3\r(10),10)，且α，β为锐角，
可知cs α＝ eq \f(2\r(5),5)，sin β＝ eq \f(\r(10),10)，
故cs (α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝ eq \f(2\r(5),5)× eq \f(3\r(10),10)－ eq \f(\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),2)，又0<α＋β<π，故α＋β＝ eq \f(π,4).
15．C 由cs β－3sin α＝2得，
(cs β－3sin α)2＝cs2β－6csβsin α＋9sin2α＝4， ①
由sinβ＋3cs α＝ eq \f(3,2)得，
(sin β＋3cs α)2＝sin2β＋6sinβcs α＋9cs2α＝ eq \f(9,4). ②
①＋②得10＋6(sinβcs α－cs βsin α)
＝10＋6sin (β－α)＝ eq \f(25,4)，
∴sin (β－α)＝－ eq \f(5,8).
16．B 由sin (x＋y)＝2sin (x－y)得
sin x cs y＋cs x sin y
＝2sin x cs y－2cs x sin y，
则tan x＝3tan y，
所以tan (x－y)＝ eq \f(tan x－tan y,1＋tan x tan y)＝ eq \f(2tan y,1＋3tan2y)
＝ eq \f(2,\f(1,tany)＋3tan y)≤ eq \f(\r(3),3)，
当且仅当tan y＝ eq \f(\r(3),3)时等号成立，
由于f(x)＝tan x在x∈(0， eq \f(π,2))上单调递增，
又x，y∈(0， eq \f(π,2))，
则x－y的最大值为 eq \f(π,6).