中考数学解题技巧（4）确保圆的考题

这是一份中考数学解题技巧（4）确保圆的考题，共14页。试卷主要包含了垂径定理， 推论，归纳，证等积式，证角相等，求弧长或阴影面积，动点问题求最值或范围等内容，欢迎下载使用。
中考数学解题技巧（四）、确保圆的考题                    (马铁汉) 第一部分、圆的考点： 圆的知识点很多，下面有罗列。要熟练掌握几个重要考点——垂径定理、圆周角定理、切线的定理及弧弦圆心角之间的关系等。一、垂径定理及其推论1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。        如右图：若AB⊥CD，则AM=BM ,  AC弧=BC弧，AD弧=BD弧。2、 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。如右图：若AM=BM , 则AB⊥CD，AC弧=BC弧，AD弧=BD弧。3、延伸：①弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧。        ②平分弦所对的弧的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧。4、归纳：①过圆心的弦（直径），②直径垂直于弦，③直径平分弦，④直径平分弦所对的劣弧，⑤直径平分弦所对的优弧，上述5个命题中，若有2个成立，则其它3个也成立。二、弧、弦、圆心角之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。如右图：若∠AOB=∠COD,则AB弧=CD弧，AB=CD.2、推论：上述3个命题中，有1个成立，则另2个也成立。三、圆周角定理及其推论1、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。    如右图：∠BAD=   ∠BOD            2、推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等。 ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径。如右图： 若AB是直径，则∠ADB是直角；反之，若∠ADB是直角，则AB是直径。3、同一圆中一条弦对2条弧，对1个圆心角，对无数个圆周角。四、圆内接四边形的性质                               1、圆内接四边形对角互补。如右图：∠ABC+∠ADC=，∠BAD+∠BCD=.2、圆内接四边形的任一个外角等于它的内对角。           如右图：∠DCE=∠BAD3、相交弦定理：如右图：（参考内容）4、四点共圆的判定：（参考内容，选择题、填空题中用）课本中删去了，怎样的四点在同一圆上，同一圆上四点有哪些性质， 要做到心中有数，对解决有关圆的问题有帮助。证四点共圆思路是先从四点中选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，或者四点到某点的距离都相等，从而确定四点共圆。还有以下一些判定方法：①共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆。②共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。③对于凸四边形，对角互补，则四点共圆。④相交弦定理、切割线定理的逆定理也可以判定。五、切线的性质与判定1、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。       推论：①过圆心且垂直于切线的直线必过切点。          ②过切点且垂直于切线的直线必过圆心。2、切线的判定：①和圆有且只有1个公共点的直线是圆的切线。          ②如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线。            （简称：无切点时：作垂直，证半径）          ③过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。            （简称：有切点时：连半径，证垂直）3、弦切角定理：弦切角等于所夹弧上的圆周角。                    4、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如右图：PA、PB是⊙O的两条切线，则PA=PB,PO平分∠APB。5切割线定理：（参考内容）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项。如右图：PA是圆的切线，PC是圆的割线，则六、三角形的外接圆、内切圆1、三角形的外接圆的圆心是三角形三条垂直平分线的交点，是圆的外心。三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。如图：OA=OB=OC2、三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，是圆的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。如图：OD=OE=OF 七、圆的有关计算    1、圆的周长：    2、圆的面积：  3、弧长：      4、扇形面积：    第二部分、圆的考查方向： 在圆中有关计算或证明，思路是相通的。能计算的就会证明，能证明的就会计算；常常是计算中含有证明，证明中含有计算。近几年数学中考，圆的考题中经常求线段长度。关于线段长的计算，确实是重要的训练项目，因为它是其它考查方向的基础。关于线段的计算，通常是把所求线段放到三角形中去求解的（有时计算不出来，可以设参数，列方程或方程组帮忙求解）（有时用面积法这个特殊方法求解）。下面介绍圆中求线段的一般方法（记住几个基本模型，对以后添加辅助线和找解题途径都大有帮助——看图有联想、有感觉，培养自己对图形的敏感度）。（一）先小结线型几何中求线段长度的常用方法：1、把要求的线段放到一个三角形中，用勾股定理或锐角三角函数求解。    （1）放到一个直角三角形中求解。可求线段长度的直角三角形有2种：①已知两边，用勾股定理求解；②已知一边一锐角，用锐角三角函数求解。（2）放到一个斜三角形中，构造直角三角形求解。可求线段长度的斜三角形有2种：     ①已知两边及夹角，         ②已知两角及一边。2、把要求线段放到两个相似三角形中，用比例式求解。相似三角形的基本图形如下：   （二）再对照圆小结，能求线段的几种常见模型（从复杂的圆的组合图形中，提炼出能求线段的上述基本图形）1、圆中求线段长度常用的与直角三角形有关的定理及图形：2、圆中求线段长度常用的相似三角形图形：   圆的考查方向有以下几种情况：1、证切线（重点）2、求线段长（重点）3、求比值（重点）4、证线段相等5、证等积式6、证角相等7、求弧长或阴影面积8、动点问题求最值或范围 第三部分、圆中常作的辅助线 通常来讲，解决问题的关键是找到解决问题的途径。题目中有已知条件和要求结果，怎样用已知条件一步步计算或推理得出要求的结果呢？找到这个途径，通常有3种思路：①由因导果——由已知条件，一步一步分析推导，最终得出了结果；找到了解决问题的途径。（综合法）②执果索因——由结果，一步一步索要条件，最终要到了已知条件；找到了解决问题的途径。（分析法）③两头凑——由已知条件，一步一步分析，得出了某个结论，但卡主了，还没得出所要求的结论；然后由结果，一步一步索要条件，索要到了前面得出的一个结论，会师了，路就走通了。这就是两头凑。在找解决问题途径的思考过程中，根据某定理或性质的需要，随时添加辅助线，路走通了，是有效的辅助线，要保留；走不通，是无效的辅助线，要擦掉。尽量少添加辅助线，线越多越复杂，眼花缭乱的。我们习惯在图形内部添加辅助线，不要忘了，有时需要在外面添加辅助线，补全基本图形（有时是等腰三角形（有时是直角三角形），运用其特性求解）。作辅助线的意图是完善有关性质或定理的基本图形（已知图形中关于某定理或性质的基本图形是不完整的，残缺的），能运用所学性质或定理解决问题。圆中作辅助线通常有以下几种作法：1、连半径、连弦（用得多）2、连直径3、作直径所对的圆周角（实际是连弦，可划归到第一种情况；用得多，单独列出）4、从一点引圆的两条切线，连这点和圆心构造三角形全等或相似5、作垂线或平行线构造全等或相似6、补全等腰三角形、直角三角形，运用其特性求解 第四部分、中考实例分析    看下面的例题，领悟上面小结的思想。 例1、（2022武汉）20.（本小题满分8分）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接.（1）判断的形状，并证明你的结论；（2）若，，求的长.解：（1）答：△BDE为等腰直角三角形。理由如下：解法一：∵平分，平分，∴，.∵，，∴.∴.∵为直径，∴.∴是等腰直角三角形.解法二：计算也可以得证.∵AB为直径，∴∠BCA=90°∴∠BAC+∠ABC=90°.∵平分，平分，∴∠BAE=∠CAE，.∴∠BAE+∠ABE=45°=∠BED，又∠ADB=90°∴∠EBD=45°∴为等腰直角三角形。（2）解法一：分析：（由因导果）从条件出发分析，这里AD平分∠BAC，所以BD弧=CD弧，可能要连CD，进一步联想到垂径定理，可能要连OD，又看AB=10，那么可求OD（后来发现连CD没用，擦掉了）。还有BE长知道，且BE平分∠ABC，可得∠BED=∠EBA+∠BAE=45°，所以△BDE是等腰直角三角形，可求BD、DE。进一步可在直角三角形ABD中求AD长。三角形ABD和OBD的面积都可求了。想到这里，在三角形OBD中，知面积和底边OD，能求高BF，路就通了。思路图如下：            解：连接OD交BC于点F.由（1）知，为等腰直角三角形。∴∴∴△ABD的面积=∴△BOD的面积=10∵平分，∴=∴OD⊥BC,BF=FCBF=10×2÷5=4（面积法求线段长）BC=2×4=8 解法二：连接OD交BC于点F.∵AE平分∠BAC∴.=∴垂直平分.∵是等腰直角三角形，，∴.∵，∴.设，则.在和中，.（用勾股定理列方程求线段长）解得，.∴.∴.分析求线段BC的思路：（由因导果）：已知线段AB、BE长度，它们在斜三角形ABE中，可是仅有这两个条件缺少夹角度数，在此三角形中无法解，需要转化到其它三角形中去解。看到题中两条角平分线，能推出三角形BDE是等腰直角三角形，知BE可求BD。这样就把已知线段BE转化成已知BD了。运用垂径定理可证明BC与OD垂直。下面有两条求解途径：①在三角形OBD中，若知道三角形OBD的面积和底边OD就可求高BF了，这就有了解法一了。②知道OB=OD=5和BD的长度，用勾股定理列方程求解，就有了解法二了。 解法三：分别延长，相交于点.则AB=AG=10，为等腰三角形。先求，，∵∴BG·AD=AG·BC（面积法常用）∴∴BC=8说明：前两种作辅助线的方法是连半径，充分运用了垂径定理、勾股定理、圆周角等性质间接求线段BC长；      第3种方法是补全等腰三角形ABG，充分运用了等腰三角形的性质，然后用面积法直接求线段BC长。例2、（2022随州）21．（本题满分9分）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若，，①求⊙O的半径；②求BD的长．（1）解：CO与⊙O相切，理由：（知切点：连半径，证垂直）连接OD.∵∴∵∴又∵BE与⊙O相切∴，则即故∴CD与⊙O相切.（2）①分析：（由因导果）从条件出发分析，∠C的正弦值为，那么在直角三角形中，与∠C相等的角的正弦值都等于。又AC=4，可选直角三角形ODC，设OD=OA=，用三角函数正弦值列方程求出半径的长度。解：∵∴∴设，∵，∴∴，解得故⊙O的半径为2②分析解题途径：（执果索因）要求BD长度，就要放到合适的三角形中去求解，要看已知条件选合适的三角形。①放到一个直角三角形中，观察得知，可以放到直角三角形ABD中。此三角形已知AB=4，还差一个条件，能先求AD的长度吗？好像有点困难。那求AD、BD之比呢？基本图形有三角形CAD与CDB相似，AD与BD的比等于CD与CB的比，CB知道长度，那CD呢？通过可求。这条路可以走通了：先求CD长度，再求AD、BD之比，最后在三角形ABD中用勾股定理求BD长度。②放到两个相似三角形中去呢？由上分析可知，三角形CAD与CDB相似。那么要知道AD、CD的长度。可是AD的长度先求不出来，此路不通。解：在Rt△COD中，∵AB为直径∴∵∴∵∴又∵∴∴设，则，由勾股定理得，即解得（负值舍去）∴ 例3、（2021随州.21.）(本题满分9分) 如图,D 是以AB 为直径的⊙O上一点,过点D 的切线DE 交AB 的延长线于点E,过点 B 作BC⊥DE 交AD 的延长线于点C,垂足为点F。 (1)求证:AB＝BC；(2)若⊙O的直径AB 为9,sinA＝ ①求线段BF 的长；②求线段BE 的长。(1)    证明： 连接 OD，∵DE 是⊙O 的切线，∴DE⊥OD,又∵BC⊥DE，∴OD∥BC，∴ ∠ODA = ∠C .         又∵在 △OAD 中， OA= OD，∴ ∠ODA = ∠A , ∴ ∠C = ∠A ，  ∴AB=BC；   (2)解：①连接 BD，依题意可得 AB=9，在 Rt△ABD 中，∵ sin A = = ，∴ BD = 3 .又∵ ∠OBD +∠ A = ∠FDB + ∠ODB = 90°，且 ∠OBD = ∠ODB ，∴ ∠A =∠ BDF ，在 Rt△BDF 中，∵ sin ∠BDF = = ，∴ BF = 1 .                     ②由(1)可知 OD∥BF，故△EBF∽△EOD，∴∴∴BE = .例4、（2021武汉）21．（本小题满分8分）如右图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F．（1）求证，CE是⊙O的切线.（2）若＝，求cos∠ABD的值．（1）证明：连接OC交BD于点M.如图1∵ =∴ OC⊥BD∵AB是直径∴BD⊥AE又CE⊥AE,∴ 四边形ECMD为矩形。∴ OC⊥CE∴ CE是⊙O的切线.（2）分析：（两头凑）题目给出一个比，要求另一个比。可是给出的比的两条线段跟要求的比的两条线段没有直接关系，可能要代换计算。从条件出发分析，根据已知的比DC:DF，令DF=1, 则DC=，（这里是把DF当作一个单位，简单些；也可设过渡参数字母），在△DCF中，只知两边，还差一个夹角，求不出FC。根据等弧对等弦，可知CB的长度跟DC长度相等。把BC连起来。其它线段长度，特别是含∠ABD的直角三角形的两边长度求不出来了。卡主了。如图2所示。从结果出发分析，要求cos∠ABD的值，那就要放到能求三边的直角三角形中，根据上面分析，直角三角形ABD中，三边现在求不出来。那就想设过渡参数表示某线段（这个选择很重要，设得好，很简单；设不好，很繁琐）放到一个直角三角形中，或放到两个相似三角形中。①纵观全图，感觉补全图后是个等腰三角形。延长AE、BC相交于点P，构造出一个等腰三角形，如下图3所示。看此图特点，已经有了等腰三角形的两条高，根据三高交于一点，把第三条高画出来。FH=FD=1，若设FB=m，可根据HB=DP列方程求出m的值。问题能得到解决。见解法一。②若嫌辅助线作的太多，那就用图2，继续探索。连OC交DB于点M，如图4.有双垂直的相似三角形.设FM=，则MB=DM=+1，FB=2+1， ∴能求出值来，后面就好办了。见解法二。解法一:如图3，延长AE、BC相交于点P，连接PF并延长交AB于点H.∵=∴∠DAC=∠CAB又AC⊥BC∴△ABP是等腰三角形。∴PH⊥AB，（三高交于一点）FH=FD   （轴对称的性质）根据已知条件：＝令DF=1,则DC=设FB=m，在△FHB中，=.在△PDB中. 列方程得=   解之得m=3.m=-4（舍去）在△FHB中，HB=∴cos∠ABD= 解法二：如右图4，令DF=1,则DC==BC.设FM=，则MB=DM=+1，FB=2+1易得   ∴   ∴   ∴  解之得=1（负值舍去）∴MB=2,△BCM中，CM=设OB=，则OM=-△BOM中，∴∴cos∠ABD=  例5、（2019荆门）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．（1）求证;（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sinC的值． 解：（1）连直径CD，连AD，则∠D=∠B,       ∴     （2）由（1）知：   且 同理可得：∴ 例6、（2020随州）21.如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为．（1）求证：是的切线；（2）若的直径为5，，求的长．分析：（1）欲证明MN为⊙O的切线，只要证明OM⊥MN．
（2）连接，分别求出BD=5，BE=，根据求解即可．解：（1）证明：连接，，．在中，是斜边上的中线，，，，， ，，是的切线．  （2）连接，易知，由（1）可知，故M为的中点，，，在中，，．在中，，．例7、（2019随州）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF=，求BC和BF的长．分析：
（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，AB=AC，那么AE平分∠BAC，则∠BAE=∠CBF,由∠BAE+∠ABE=90°，从而证明∠ABF=∠ABE+∠CBF=90°．
（2）解直角三角形即可得到结论．（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴2∠1=∠CAB．
∵∠BAC=2∠CBF，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CH⊥BF于H．
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=3，
∴BE=AB•sin∠1=3×=，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2，
∵sin∠CBF==，
∴CH=2，
∵CH∥AB，
∴=，即=，
∴CF=6，
∴AF=AC+CF=9，
∴BF==6．本题是考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点． 例8、（2020武汉）21．（8分）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．分析：（1）想办法证明△PAO≌△PBO．可得∠PAO=∠PBO=90°；（2）首先证明BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，再证明BC=PB=PA=2a，由△PAK∽△POA，可得PA2=PK•PO，设PK=x，则有：x(x+a)=(2a)，解得x=a（负根舍弃），推出PK=a，由PK∥BC，可得==；（1）证明：连接OP、OB．∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，∴∠PAO=90°，∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，∴△PAO≌△PBO．∴∠PAO=∠PBO=90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．（2）设OP交AB于K．∵AB是直径，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∵PA、PB都是切线，∴PA=PB，∠APO=∠BPO，∵OA=OB，∴OP垂直平分线段AB，∴OK∥BC，∵AO=OC，∴AK=BK，∴BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，∵∠APC=3∠BPC，∠APO=∠OPB，∴∠OPC=∠BPC=∠PCB，∴BC=PB=PA=2a，∵△PAK∽△POA，∴PA2=PK•PO，设PK=x，则有：x(x+a)=(2a)2， 化简得x2+ax﹣4a2=0，解得x=a（负根舍弃），∴PK=a，∵PK∥BC，∴==．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．