中考数学解题技巧（7）巧取特殊值（二次函数图像信息题）

中考数学解题技巧（七）、巧取特殊值(二次函数图像信息题)

                （马铁汉）

二次函数图像信息多选题，是运用图像信息进行推理，判断结论是否正确。

此类题的特点是，题干中，二次函数解析式含有参数，具有一般性；还会给出一些条件作限制，如告诉二次函数的对称轴位置、经过某些点、在指定区间范围内的增减性等；给出几个结论，让你判断它们中哪些结论是正确的。

常规方法推理需要很扎实的基本功，且需要大量的时间。这里我们不妨取特殊值，验证结论是否正确，反正是选择题，找出其中的正确答案即可。

    下面通过几个中考题，作简要介绍。

鉴赏题：1、（2022随州）10．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论正确的有（C）

①；

②；

③函数的最大值为；

④若关于x的方程无实数根，则．          

A．1个             B．2个            C．3个           D．4个

方法一、（推理判断）

解：①×  .

    ② √  对称轴，∴，∴

③ √  由图形知，当时，。∴，∴

      由②知

      由图形知当时，函数取最大值。

      ∴

④ √  若关于x的方数无实数根，则∴

     ∴     

    故选C

方法二、（取特殊值验证）

解：针对题中取，则二次函数解析式可写成交点式，再变成一般式，然后验证四个结论是否正确：

，

①，∴结论错误。

②，∴结论正确。

③，

   最大值为，，∴结论正确。

④，化简为

   ，无解。∴结论正确。

故选C。

鉴赏题：2、(2022恩施)12.已知抛物线 ，

当时，；当时，下列判断：

①；    

②若，则         

③已知点，在抛物线上，当时，；

④若方程 的两实数根为，，则

其中正确的有个．(  C  )

A.  B.  C.  D.

解：

方法一：（取特殊值验证）

针对题中②问题，取，得二次函数符合题中条件，如图1。下面验证：

①√   ，∴

②√   由取特殊值得知正确。

③√   如图1所示。

④× 

这是在的前提下得出的结论，若没有这个前提呢，如图2所示这个结论就不一定正确了。这是取特殊值的局限性。所以针对题中条件和问题取特殊值判断时，要再三斟酌！

方法二：（推理判断）

  ①二次函数                   与x轴有两个交点，

∴方程有两个不相等的实数根。

∴∆=  ∴  ∴ 结论正确。

②当时，，

∴

∴当c˃1时，∴结论正确.

③抛物线的对称轴。二次函数，当时，随增大而减小。

∴当时，。∴结论正确。

④当时，

∴

∵c的范围没有确定

∴不能保证

∵ 的两实数根为，，得

∴不能保证

∴结论错误。

附参考方法技巧：

关于二次函数图像多选题，主要考查二次函数图像的性质、二次函数与一元二次方程的关系，方程、不等式性质，有时涉及几何图形的性质，综合性强，比较灵活，要关注问题条件的特殊性，下面介绍一些解题方法技巧。

（1）.确定、、符号的方法：

①由抛物线开口方向判断的正负性：

开口向上，；开口向下，。

②由对称轴在轴的左右位置，可判别与的符号是否相同，方法是左同右异：

对称轴在  轴左边 ，、同号； 对称轴在轴右边 ，、异号。

③由抛物线与  轴交点位置，判断的符号：

交点在原点上方，； 交点在原点下方，。

④决定抛物线的形状，、决定对称轴的位置，、、决定顶点位置。

（2）.由对称轴的值，可得方程或不等式，用于判断含、的式子。

比如：当时，；

当时，看的符号，若得到；若时，得到。

当时，。多选题中经常用到。

（3）.关注特殊点（=、、......）的函数值或正负性，与坐标轴的交点及顶点坐标，可得方程或不等式。

比如当时，得到关于的方程或不等式；

时，得到关于的方程或不等式。

再加上若有或代入，可得到关于或关于的方程或不等式。

（4）关注抛物线的对称性。

（5）得出的方程或不等式可以相加减或相乘。

（6）关注函数的增减性，自变量的取值范围。

（7）关注二次函数与一元二次方程的关系。

①抛物线与横轴交点个数，确定的范围，多用于判断含的式子；

②运用根与系数关系，判断含的式子。

（8）有时可采用特殊方法：取特殊值，得出符合二次函数特点的具体函数，通过计算作出判断，注意取值的特殊性是否影响结论的判断。（有时确定的范围时，可以取满足条件的顶点值，通过计算得出的值，判断的范围是否正确。）

例1、（2021鄂州9．）二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：

①；

②；

③；

④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5．

上述结论中正确结论的个数为（    ）

A．1个      B．2个        C．3个        D．4个

一、推理判断：

①√

∴

②×

由对称性知，当时，函数值大于0，

∴

③√

，

当时，函数值小于0，

∴

将代入

得

④√

由抛物线的对称性得知关于对称轴对称的点是。函数值等于的自变量是-3和5.  故答案选C

二、取特殊值判断：

已知抛物线经过点，其对称轴为直线，

由抛物线的对称性，得到抛物线与横轴的另一个交点（3,0）。

又由于抛物线开口向下，这样可令抛物线的解析式为

这样得到特殊值.

开始验证：

①，∴①√；

②，∴②×；

③，∴③√；

④当时，

∴

得

即

解之得

∴ 若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5．√.

故答案选C

例2（2021恩施12．）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

一、推理判断：

①×

abc<0

②√

如图，由对称性知，x=1时y=0,当x=2时，y>0

∴将x=2代入函数关系式得4a+2b+c＞0

③√

  如图，由对称性知x=0或-2时，y=c

∴由增减性知当y≥c时x≤﹣2或x≥0.

④×

由x=-1，y=m且x=1时，y=0

    得a-b+c=m，a+b+c=0，两式相减得，

 由得，代入a+b+c=0，得

∴

故答案选B

二、取特殊值解

图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），由抛物线的对称性知另一交点为（1,0）

又抛物线开口向上，可令抛物线解析式为

这样得到特殊值，下面开始验证：

①，∴①abc＞0  ×

②，∴②4a+2b+c＞0 √

③令解之得

∴时，或.∴③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；√

④

∴④b+c＝m， ×

故答案选B.

例3、（2021荆门）10．抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则.其中正确结论的个数是(    )

A．4 B．3 C．2 D．1

一、推理判断：

结合题意画出草图.

由点A得，∴，；

当x=-2时.

①√

将代入得<0∴

②√

将代入

得

③√

当时，，

又得

④√

二次函数与横轴的交点为，（）

∴二次函数解析式可写成，

当y=1时，得方程

由此方程有两个不相等的实数根，如图知抛物线顶点纵坐标大于1，

∴，

又

∴

故答案选A

二、取特殊值解：

开口向下且过点，（），取；令抛物线解析式为

得到特殊值.下面开始验证：

① ∴①√

②     ∴②√

③   ∴③√

④时，，方程有两个不相等的实数根。

∴    ∴④√

故答案选A

例4、（2021黄石10．）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：

且当x＝时，对应的函数值y＜0．有以下结论：

①abc＞0；②m+n＜﹣；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．

其中正确的结论是（　　）

A．①②   B．②③  C．③④   D．②③④

一、推理判断：根据x=0时y=2;

x=1时y=2;

x＝时y＜0画出草图.

①×

a<0, b>0， c>0

∴abc<0

②√

当x=0时，y=2,  ∴c=2

由，得 a=-b

当时，y<0

∴

  9a+6b<-8

  ∴9a-6a<-8

  ∴a<-

由（-1,m）,(2,n)关于对称轴对称，知m=n.

∴ m+n

=2m

=2（a-b+2）

=2(2a+2)

=4(a+1)

＜4×(-+1)= -

∴ m+n＜﹣

③√

由抛物线的对称性知，x=与x=关于对称轴对称，当时，y<0，则当时，y<0 . ∴方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间。

④×

P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在对称轴两旁且到对称轴距离相等时y1 = y2 

此时t+1-=-(t-1)

 t=

∴当t>时，

故答案选B.

二、取特殊值解：

由表格信息知抛物线经过点（0,2）和（1,2）且

当x＝时，对应的函数值y＜0，可设抛物线解析式为

这样得到特殊值，下面开始验证：

①，   ∴①×

②当时，

  当时，

     ∴②√

③解之得，∴③√

④当时，

  当时，

    ∴当y1＞y2时，.   ∴④×

故答案选B.