2024全国一轮数学（基础版）第15讲 导数与函数的单调性课件PPT

这是一份2024全国一轮数学（基础版）第15讲 导数与函数的单调性课件PPT，共40页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，激活思维，第2题，－∞－1，－∞0，基础回归，定义域，f′x0，研题型·融会贯通，举题说法等内容，欢迎下载使用。

1. 函数f(x)＝(x－3)ex的增区间是(　 　)A. (－∞，2)　　　 B. (0,3)C. (1,4)　　　 D. (2，＋∞)
2. (人A选必二P89练习3改)(多选)已知函数y＝f′(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f(x)的判断正确的是(　　　)A. 在区间(0，a)上，f(x)为定值B. 函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增C. 函数y＝f(x)在区间(c，e)内单调递增D. 函数y＝f(x)在区间(b，d)内单调递减
【解析】 由图知，当00且为定值，当a0，在x∈(b，c)上，f′(x)<0.当c0，所以，当03. (人A选必二P97习题2(4))函数f(x)＝x3＋x2－x的增区间是______________和________________；减区间是__________________.
【解析】 因为f(x)＝x3＋x2－x，所以f′(x)＝3x2＋2x－1＝(x＋1)(3x－1)，
4. 已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在R上为增函数，则实数a的取值范围为________________.
【解析】 易知f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，且f′(x)＝2x－2sin x．因为f′(0)＝0，f″(x)＝2－2cs x＝2(1－cs x)≥0恒成立，故f′(x)在R上单调递增，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
5. 已知函数f(x)＝x2＋2cs x，那么不等式f(2x－1)＜f(3x)的解集是__________ _______________.
1. 函数的单调性设函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f′(x)______0，则f(x)为增函数，若f′(x)______0，则f(x)为减函数．2. 求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1) 确定f(x)的__________；(2) 求导数f′(x)；(3) 令f′(x)______0(或f′(x)______0)，解出相应的x的取值范围；(4) 当________________时，f(x)在相应区间上是增函数，当________________时，f(x)在相应区间上是减函数．
3. 常用结论(1) f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．(2) f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．(3) 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
(1) 已知x∈(0，π)，则函数f(x)＝excsx的增区间为(　 　)
(2) 函数f(x)＝2lnx－x2的减区间是(　 　)A. (－∞，－1) B. (1，＋∞)C. (－1,1) D. (0,1)
(1) 研究含参数的函数的单调性，要根据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，如：开口方向、是否有解、解是否在定义域的取值范围内、解之间的大小关系等．(2) 划分函数的单调区间时，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(3) 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．
【解答】 f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当a>0时，令f′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna，当x∈(－∞，lna) 时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(lna，＋∞) 时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
1. (2022·莆田三模)已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R)，试讨论f(x)的单调性．
3. (2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1，试讨论f(x)的单调性．
【解析】 f′(x)＝－2sin2x＋acsx＝－4sinxcsx＋acsx＝csx(－4sinx＋a)．
由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法：(1) 可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0 (或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；(2) 可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；(3) 若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
1. 若f(x)＝kx－lnx的增区间为(1，＋∞)，则k的值为______.
2. 若f(x)＝kx－lnx在(1，＋∞)上单调递减，则k的取值范围是_______________.
当k≤0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减，不符合题意；
3. 若f(x)＝kx－lnx在(1，＋∞)上不单调，则k的取值范围是______________.
4. 若f(x)＝kx－lnx在(1，＋∞)上存在减区间，则k的取值范围是_____________.
5. 若f(x)＝kx－lnx在(1,2)上单调，则k的取值范围是____________________.
1. 已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2csx，则f(x)的减区间为(　 　)
点击对应数字即可跳转到对应题目
【解析】 f′(x)＝1－2sinx，x∈(0，π)．
2. 若函数f(x)＝xlnx－ax＋1在[e，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　 　)A. (－∞，2) B. (－∞，2]C. (2，＋∞) D. [2，＋∞)
【解析】 f′(x)＝1＋lnx－a，又f(x)在[e，＋∞)上单调递增，故f′(x) ≥0在[e，＋∞)上恒成立．当x∈[e，＋∞)时，易见f′(x)min＝2－a，只需要2－a≥0即可，故a≤2.
3. 若函数f(x)＝2x2＋ax＋lnx在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围为(　 　)A. (－∞，－4) B. (－∞，－4]C. (－4，＋∞) D. [－4，＋∞)
若要函数f(x)＝2x2＋ax＋lnx在(0，＋∞)上不单调，则4＋a<0，解得a<－4.
4. (2022·常德期末)若函数g(x)为定义在R上的奇函数，g′(x)为g(x)的导函数，当x≥0时，g′(x)>2x，则不等式g(x)>x2的解集为(　 　)A. (－∞，0) B. (－2,0)C. (0,2) D. (0，＋∞)
【解析】 令h(x)＝g(x)－x2，则h′(x)＝g′(x)－2x，因为当x≥0时，g′(x)>2x，所以当x≥0时，h′(x)>0，所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增．因为g(x)为定义在R上的奇函数，所以g(0)＝0，所以h(0)＝g(0)－0＝0，所以不等式g(x)>x2转化为h(x)>h(0)．因为h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以x>0，所以当x>0时，g(x)>0.因为g(x)为定义在R上的奇函数，所以当x<0时，g(x)<0不满足g(x)>x2.综上，原不等式的解集为(0，＋∞)．
5. (2022·武汉调研)某学生在研究函数f(x)＝x3－x时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增．该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数g(x)后得到一个新函数h(x)＝g(x)f(x)，此时h(x)除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③h′(0)＝0.写出一个符合条件的函数解析式g(x)＝______________________.
【解析】 因为f(x)＝x3－x为奇函数，h(x)＝g(x)f(x)为奇函数，所以g(x)为常函数或为偶函数．当g(x)＝1时，h(x)＝x3－x，则h′(x)＝3x2－1，此时h′(0)＝－1≠0，所以 g(x)＝1不合题意．