2025版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第2讲第1课时导数与函数的单调性课件

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这是一份2025版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第2讲第1课时导数与函数的单调性课件，共60页。PPT课件主要包含了定义域，f′x0，角度2解不等式，－∞0，－∞1，0＋∞，cab，abc，bca，此题为原重题等内容，欢迎下载使用。

知识梳理 · 双基自测
知识梳理知识点　函数的单调性1．设函数y＝f(x)在某个区间内________，若f′(x)______0，则f(x)为增函数，若f′(x)______0，则f(x)为减函数．2．求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)确定f(x)的__________；(2)求导数f′(x)；(3)令f′(x)______0(或f′(x)______0)，解出相应的x的范围；(4)当___________时，f(x)在相应区间上是增函数，当____________时，f(x)在相应区间上是减函数．
归纳拓展1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
双基自测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　)(2)若函数y＝f(x)在(a，b)内恒有f′(x)≥0，则y＝f(x)在(a，b)上一定为增函数．(　　)(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　　)
(4)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)
[解析]　(1)有可能f′(x)＝0，如f(x)＝x3，它在(－∞，＋∞)上为增函数，但f′(x)＝x2≥0.(2)因为y＝f(x)若为常数函数，则一定有f′(x)＝0满足条件，但不具备单调性．(3)f′(x)＝0在(a，b)内有限个不影响y＝f(x)的单调性，故正确．(4)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则此函数f(x)在这个区间内为常数函数，则函数f(x)在这个区间内没有单调性．
题组二　走进教材2．(选修2P89T3改编)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)A．在区间(－2,1)上f(x)单调递增B．在区间(1,3)上f(x)单调递减C．在区间(4,5)上f(x)单调递增D．在区间(3,5)上f(x)单调递增[解析]　在区间(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)在区间(4,5)上单调递增，故选C．
A．(－∞，0) B．(0,2lg2e)C．(－∞，2lg2e) D．(2lg2e，＋∞)
4．(选修2P99T12改编)已知函数f(x)＝1＋x－sin x，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是(　　)A．f(2)>f(3)>f(π) B．f(3)>f(2)>f(π)C．f(2)>f(π)>f(3) D．f(π)>f(3)>f(2)[解析]　f′(x)＝1－cs x，当x∈(0，π]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)．故选D．
题组三　走向高考5．(2023·新课标Ⅱ，6,5分)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为(　　)A．e2 B．eC．e－1 D．e－2
[解析]　∵f(x)在(1,2)内单调递增，∴f′(x)≥0在(1,2)内恒成立，令g(x)＝xex(10，∴g(x)在(1,2)内单调递增，g(x)∈(e,2e2)，
A．a考点突破 · 互动探究
考向1　不含参数的函数的单调性——自主练透求下列函数的单调区间．(4)f(x)＝(x－1)ex－x2.
(2)定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．由f′(x)>0，解得x>e.由f′(x)<0，解得0(4)由f(x)＝(x－1)ex－x2，得f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln 2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：由表可知，函数f(x)的单调递减区间为(0，ln 2)，单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)．
名师点拨：用导数f′(x)确定函数f(x)单调区间的三种类型及方法：1．当不等式f′(x)>0或f′(x)<0可解时，根据函数的定义域，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．2．当方程f′(x)＝0可解时，根据函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，再确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．3．当不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)＝0均不可解时，对f′(x)化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．
注意：(1)求单调区间一定要在定义域范围内．(2)函数的单调区间有多个时不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
考向2　含参数的函数的单调性——师生共研(2021·全国甲，20)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a＞0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．
(2)∵y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，∴函数f(x)在(0，＋∞)上没有零点，
名师点拨：1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论．2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．3．个别导数为0的点不影响在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．
当m>0，即1－m<1时，令f′(x)<0得x<1－m或x>1，令f′(x)>0得1－m0时，f(x)在(－∞，1－m)和(1，＋∞)上单调递减，在(1－m,1)上单调递增．
考向3　利用导数解决函数的单调性的应用问题——多维探究角度1　比较大小A．a又a＝f(4)，b＝f(3)，c＝f(e)，e<3<4，故c名师点拨：1．利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小．2．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式．
角度3　已知函数的单调性求参数取值范围若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－2] 　B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)[分析]　利用函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增等价于f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立求解．或利用区间(1，＋∞)是f(x)的增区间的子集求解．
[解析]　解法一：因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，因为f(x)＝kx－ln x，所以k≥1.所以k∈[1，＋∞)．故选D．
[引申](1)本例中若f(x)的增区间为(1，＋∞)，则k＝______；(2)若f(x)在(1，＋∞)上递减，则k的取值范围是__________；(3)若f(x)在(1，＋∞)上不单调，则k的取值范围是_______；(4)若f(x)在(1，＋∞)上存在减区间，则k的取值范围是__________； (5)若f(x)在(1,2)上单调，则k的取值范围是____________________.
名师点拨：已知函数单调性，求参数取值范围的两个方法1．利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．2．转化为不等式的恒成立问题：利用“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数f(x)单调递减，则f′(x)≤0”来求解．提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒等于0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
【变式训练】A．a2．(角度2)定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，都有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 021为奇函数，则不等式f(x)＋2 021ex<0的解集为(　　)A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
∴x2＋3x－4＝0在(t，t＋1)上有解，由x2＋3x－4＝0得x＝1或x＝－4(舍去)．∴1∈(t，t＋1)，∴t∈(0,1)，故实数t的取值范围是(0,1)．
名师讲坛 · 素养提升
一、构造法在导数中的应用在导数应用的客观题中，有一类考查热点，不给出具体的函数解析式，大多涉及f(x)与f′(x)的一些关系式，利用构造法构造新函数，确定其单调性，然后解决问题，下面重点突破两类问题．
题型一　利用导数的运算法则构造函数角度1　利用f(x)与ex构造已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)　e2f(0)，f(2 025)>e2 025f(0)B．f(2)e2 025f(0)C．f(2)>e2f(0)，f(2 025)角度2　利用f(x)与xn构造已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是_______________.
(－1,0)∪(0,1)
角度3　利用f(x)与sin x，cs x构造
[感悟提升]　(1)出现f′(x)sin x＋f(x)cs x构造函数F(x)＝f(x)sin x(3)出现f′(x)cs x－f(x)sin x构造函数F(x)＝f(x)cs x
【变式训练】1．(角度1)设f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cs x<0，则不等式f(x)0，所以原不等式的解集为(0，＋∞)．
名师点拨：利用导数关系构造函数的一些常见结构1．对于不等式f′(x)＋g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)．2．对于不等式f′(x)－g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)．特别地，对于不等式f′(x)>k，构造函数F(x)＝f(x)－kx.3．对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．5．对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0，构造函数F(x)＝xn·f(x)．6．对于不等式f′(x)＋f(x)>0，构造函数F(x)＝ex·f(x)．7．对于不等式f′(x)＋kf(x)>0，构造函数F(x)＝ekx·f(x)．
题型二　通过变量构造具体函数1．若0A．ey－x>1 B．ey－x<1C．ey－x－1>1 D．ey－x－1<1
名师点拨：若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，并且利用函数的单调性求解．
【变式训练】(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0[解析]　原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增，即f(x)0，所以A正确，B不正确．因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确．
题型三　通过数值构造具体函数
名师点拨：当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小．
【变式训练】1．(此题为更换新题)
令f(x)＝ex－(1＋sin x)(x>0)，则f′(x)＝ex－cs x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上递增，所以f(x)>f(0)，所以ex>1＋sin x，所以e0.02>1＋sin 0.02，即x>y>1，
令g(x)＝(1＋x)1.2－ex，则g′(x)＝1.2(1＋x)0.2－ex，g″(x)＝0.24(1＋x)－0.8－ex，因为g″(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g″(0)＝0.24－1<0，所以当x>0时，g″(x)<0，所以g′(x)在(0，＋∞)上为减函数．因为g′(0)＝1.2－1>0，g′(0.2)＝1.2×1.20.2－e0.2＝1.21.2－e0.2，要比较1.21.2与e0.2的大小只要比较ln 1.21.2＝1.2ln 1.2与ln e0.2＝0.2的大小，令h(x)＝(1＋x)ln(1＋x)－x(x>0)，
则h′(x)＝ln(1＋x)＋1－1＝ln(1＋x)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上递增，所以h(x)>h(0)＝0，所以当x∈(0，＋∞)时(1＋x)ln(1＋x)>x，所以1.2ln 1.2>0.2，所以1.21.2>e0.2，所以g′(0.2)＝1.2×1.20.2－e0.2＝1.21.2－e0.2>0，所以当x∈(0,0.2)时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,0.2)上递增，所以g(x)>g(0)－0，所以(1＋x)1.2>ex，所以(1＋0.02)1.2>e0.02，所以z>x，所以z>x>y，所以c>a>b.
2．实数e3,3π，π3的大小关系为______________.
二、泰勒展开式1．泰勒公式
2．常见的泰勒展开式在泰勒公式中，令x0＝0，即可得到如下泰勒展开式：
3．泰勒公式的价值泰勒公式将各种类型的函数(指数函数、对数函数、正弦与余弦函数)与多项式函数联系了起来，这样在局部可以用多项式函数近似替代其他函数，我们主要用其证明不等式及比较大小，下面我们主要介绍如何比较大小．
A．c>b>a B．b>a>cC．a>b>c D．a>c>b
【变式训练】A．a