2024全国一轮数学（基础版）第17讲 第3课时 导数与函数零点课件PPT

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例1　已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1.(1) 求证：f(x)存在唯一的极值点；
综上，f(x)＝0有且仅有两个实数根，且两个实数根互为倒数．
(2) 求证：f(x)＝0有且仅有两个实数根，且两个实数根互为倒数．
利用导数研究函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路：(1) 可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；(2) 涉及两函数的交点：利用数形结合思想方法，通过图象可清楚地数出交点的个数(即零点，根的个数)或者确定参数的取值范围．
(2022·龙岩质检)已知函数f(x)＝3xlnx＋1，判断函数f(x)的零点个数．
已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法：(1) 分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数的取值范围；(2) 分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的取值范围．
解答】 由题意知f′(x)＝ex－2，斜率k＝f′(0)＝1－2＝－1，又f(0)＝e0－2×0－1＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x.
已知函数f(x)＝ex－2x－1.(1) 求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
【解答】 g(x)＝ex－2ax－a，g′(x)＝ex－2a.当a≤0时，g′(x)>0，则g(x)在R上单调递增，不符合题意．当a>0时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)，当x∈(－∞，ln(2a))时，g′(x)<0，当x∈(ln(2a)，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，ln(2a))上单调递减，在(ln(2a)，＋∞)上单调递增，且g(x)极小值＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－a＝a－2aln(2a)．
(2) 设g(x)＝af(x)＋(1－a)ex，若g(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
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