2024全国一轮数学（基础版）第16讲 导数与函数的极值、最值课件PPT

这是一份2024全国一轮数学（基础版）第16讲 导数与函数的极值、最值课件PPT，共35页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，激活思维，第3题，基础回归，极大值点，极小值点，极值点，求导数f′x，极大值，极小值等内容，欢迎下载使用。

1. 函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为(　 　)A. e　　　 B. 1 C. －1　　　 D. －e
2. (多选)下列四个函数，在x＝0处取得极值的函数是(　　　)A. y＝x3 B. y＝x2＋1C. y＝|x| D. y＝2x
3. (人A选必二P92练习1)已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值点是________，极小值点是________.
【解析】 因为x2，x4点的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以x2，x4是函数的极值点．因为当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，当x∈(x2，x3)时，f′(x)<0，所以x2是极大值点．因为当x∈(x3，x4)时，f′(x)<0，当x∈(x4，x5)时，f′(x)>0，所以x4是极小值点．
4. (人A选必二P104复习参考题15)用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，当扇形的圆心角α＝________时，容器的容积最大．
5. 若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的子区间(k－1，k＋1)内有极值，则实数k的取值范围是______.
1. 函数的极值(1) 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)______ f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0为f(x)的____________；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)______f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0为f(x)的____________.极小值点与极大值点统称为__________，极大值与极小值统称为极值．(2) 当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：如果xx0有f′(x)______0，那么f(x0)是极大值．如果xx0有f′(x)______0，那么f(x0)是极小值．
2. 求可导函数f(x)极值的步骤(1) _______________；(2) _____________________；(3) 检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的值的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得__________；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得__________.3. 函数的最值的概念设函数y＝f(x)在____________上连续，在_________内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．
求方程f′(x)＝0的根
4. 求函数最值的步骤设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行：(1) 求f(x)在(a，b)内的极值；(2) 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
5. 常用结论(1) 极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[a，b]的整体而言；(2) 在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个(或者没有)；(3) 函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；(4) 对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
例1　已知函数f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函数f(x)的极值．
【解析】 f(x)＝(ax2＋x＋a)e－x的导数为f′(x)＝(2ax＋1)e－x－(ax2＋x＋a)e－x＝－e－x[ax2＋(1－2a)x＋a－1]＝－e－x(x－1)·(ax＋1－a)．
1. 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．2. 导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验．
【解答】 f′(x)＝[x2－(a＋1)x＋a]ex＝(x－a)(x－1)ex.令f′(x)＝0，得(x－a)(x－1)ex＝0.设g(x)＝(x－1)(x－a)．当a＝1时，g(x)≥0，f′(x)≥0，f(x)没有极值．当a>1时，若x>a或x<1，则g(x)>0，f′(x)>0，若11或x0，若a 若x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是(　 　)A. (1，＋∞) B. (－1，＋∞)C. (－∞，－1) D. (－∞，1)
【解答】 f′(x)＝ex－sinx，令g(x)＝ex－sinx，x≥0，则g′(x)＝ex－csx≥1－csx≥0，g(x)为增函数，故g(x)min＝g(0)＝1，即f′(x)的最小值为1，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(0)＝0.
例3　已知函数f(x)＝ex＋csx－2，f′(x)为f(x)的导数．当x≥0时，求f′(x)和f(x)的最小值．
例4　(人A选必二P104复习参考题14)用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么当高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积？
所以当x＝1时，函数V(x)有最大值V(1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8 m3，即当高为1.2m时，长方体容器的容积最大，且最大容积为1.8 m3.
1. 函数f(x)＝3x－sin x在区间[0,1]上的最大值为(　 　)A. －1 B. 0C. 3－sin 1 D. 3－sin 2
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2. 当函数y＝x·2x取极小值时，x等于(　 　)