高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第一册 第1章 1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量(含解析)

第2课时　共线向量与共面向量

学习目标　1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．

知识点一　共线向量

1．空间两个向量共线的充要条件

对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

2．直线的方向向量

在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．

思考1　对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c， 是否可以得到a∥c?

答案　不能．若b＝0，则对任意向量a，c都有a∥b且b∥c.

思考2　怎样利用向量共线证明A，B，C三点共线？

答案　只需证明向量，(不唯一)共线即可．

知识点二　共面向量

1．共面向量

如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．

2．向量共面的充要条件

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

思考　已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系＝＋x＋y，则点P与点A，B，C是否共面？

答案　共面. 由＝＋x＋y，可得＝x＋y，所以向量与向量，共面，故点P与点A，B，C共面．

1．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．(　×　)

2．若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．(　×　)

3．空间中任意三个向量一定是共面向量．(　×　)

4．若P，M，A，B共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y.(　×　)

一、向量共线的判定及应用

例1　如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．

证明　∵E，H分别是AB，AD的中点，

∴＝，＝，

则＝－＝－＝

＝(－)＝＝(－)＝，

∴∥且||＝||≠||.

又F不在直线EH上，

∴四边形EFGH是梯形．

反思感悟　向量共线的判定及应用

(1)本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．

(2)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．

(3)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ；

跟踪训练1　(1)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝________.

答案　1

解析　由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，

所以＝(1－λ)＋λ，所以m＝1－λ，n＝λ，

所以m＋n＝1.

(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.

求证：E，F，B三点共线．

证明　设＝a，＝b，＝c，

因为＝2，＝，

所以＝，＝，

所以＝＝b，

＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c，

所以＝－

＝a－b－c＝.

又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，

所以＝，所以E，F，B三点共线．

二、向量共面的判定

例2　已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋.

(1)判断，，三个向量是否共面；

(2)判断M是否在平面ABC内．

解　(1)∵＋＋＝3，

∴－＝(－)＋(－)，

∴＝＋＝－－，

∴向量，，共面．

(2)由(1)知，向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，

∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．

反思感悟　解决向量共面的策略

(1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．

(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．

跟踪训练2　(1)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面．

证明　因为M在BD上，且BM＝BD，

所以＝＝＋.

同理＝＋.

所以＝＋＋

＝＋＋

＝＋＝＋.

又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．

(2)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：

①E，F，G，H四点共面．

②BD∥平面EFGH.

证明　如图，连接EG，BG.

①因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知向量，，共面，即E，F，G，H四点共面．

②因为＝－＝－＝，所以EH∥BD.

又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.

空间共线向量定理的应用

典例　如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN.

证明　∵M，N分别是AC，BF的中点，

又四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，

∴＝＋＋＝＋＋，

又∵＝＋＋＋

＝－＋－－，

∴＋＋＝－＋－－，

∴＝＋2＋＝2(＋＋)，

∴＝2，∴∥.

∵点C不在MN上，∴CE∥MN.

[素养提升]　证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．这里关键是利用向量的线性运算，从而确定＝λ中的λ的值．

1．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　)

A.＋＝   B.－＝

C.＝   D．||＝||

答案　C

2．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)

A．P∈直线AB

B．P∉直线AB

C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上

D．以上都不对

答案　A

解析　因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝(1－n)·＋n，即－＝n(－)，即＝n，所以与共线．

又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.

3．下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　)

A.＝2－－

B.＝＋＋

C.＋＋＝0

D.＋＋＋＝0

答案　C

解析　C选项中，＝－－，

∴点M，A，B，C共面．

4．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为(　　)

A．1  B．0  C．3  D.

答案　D

解析　∵＝x＋＋，

且M，A，B，C四点共面，

∴x＋＋＝1，∴x＝，故选D.

5．已知非零向量e1，e2不共线，则使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．

答案　±1

解析　若ke1＋e2与e1＋ke2共线，

则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

所以

所以k＝±1.

1．知识清单：

(1)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量．

(2)空间向量共面的充要条件．

2．方法归纳 ：转化化归．

3．常见误区：

混淆向量共线与线段共线、点共线．

1．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)

A．A，B，D   B．A，B，C

C．B，C，D   D．A，C，D

答案　A

解析　因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥，又与有公共点A，

所以A，B，D三点共线．

2．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　)

A．共面向量   B．共线向量

C．不共面向量   D．既不共线也不共面的向量

答案　A

3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是(　　)

A．有相同起点的向量   B．等长向量

C．共面向量   D．不共面向量

答案　C

解析　因为－＝，且＝，

所以－＝，

即＝＋.

又与不共线，

所以，，三个向量共面．

4．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　A

解析　＝－x＋＝－x＋(－)＝－x－.

又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，

∴－x－＝1，解得x＝.

5．(多选)下列命题中错误的是(　　)

A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0

B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件

C．若，共线，则AB∥CD

D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面

答案　BCD

解析　显然A正确；

若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a| －|b||，故B错误；

若，共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误；

只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误．

6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.

答案　

解析　＝－＝－＝－(－)＝＋，

又＝＋λ，所以λ＝.

7．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.

答案　1

解析　∵＝＋＋＝7e1＋(k＋6)e2，

且与共线，故＝x，

即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，

故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，

又∵e1，e2不共线，

∴解得故k的值为1.

8．已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝________.

答案　－1

解析　由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1，且x1＋y1＋z1＝1，因此，2x＋3y＋4z＝－1.

9.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝FC1，判断与是否共线．

解　由题意，得＝＋＋

＝＋＋＝＋＋

＝＋＝＝－.

即＝－，∴与共线．

10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与，共面．

证明　∵＝－，＝＋＝－，＝＝(＋)，

∴＝－＝(＋)－＝(－)＋

＝＋，

∴与，共面．

11．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

答案　C

解析　若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然，A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.

12．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由点A，B，C，D共面得x＋y＝，

又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝，

联立方程组解得x＝，y＝，

所以x＋3y＝.

13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必(　　)

A．在平面BAD1内   B．在平面BA1D内

C．在平面BA1D1内   D．在平面AB1C1内

答案　C

解析　＝＋7＋6－4

＝＋＋6－4

＝＋＋6－4

＝＋6(－)－4(－)

＝11－6－4，

于是M，B，A1，D1四点共面．

14．有下列命题：

①若∥，则A，B，C，D四点共线；

②若∥，则A，B，C三点共线；

③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；

④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.

其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．

答案　②③④

解析　根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；

因为∥且，有公共点A，所以②正确；

由于a＝4e1－e2＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．

15．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.

答案　

解析　根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得＝x＋y＋z成立，其中x＋y＋z＝1，于是＋＋λ＝1，所以λ＝.

16.如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.

求证：B，G，N三点共线．

证明　设＝a，＝b，＝c，

则＝＋×(＋)

＝＋(＋)

＝＋(－＋－)

＝(＋＋)

＝(a＋b＋c)，

＝＋＝＋

＝－a＋(a＋b＋c)

＝－a＋b＋c，

＝＋＝＋(＋)

＝－a＋b＋c＝，

∴∥.

又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．