北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定当堂达标检测题

这是一份北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定当堂达标检测题，共26页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
解答专项练习题（附答案）
1．如图，点E为矩形ABCD内一点，且EA＝EB．求证：∠ECD＝∠EDC．

2．如图，在矩形ABCD中，点M在CD上，AM＝AB，BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝3，MN＝1，求AB的长．

3．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AB＝8，BC＝16，求CF的长．

4．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长．



5．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．
（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．

6．如图，在▱ABCD中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．
（1）求证：△ABF≌△DCE；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．

7．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长．

8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．

9．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．
（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．

10．如图，在矩形ABCD中，E为DC边的中点，连接AB，AE的延长线和BC的延长线相交于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）连接AC，与BE相交于点G，若△GEC的面积为2，求矩形ABCD的面积．

11．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O作直线分别与矩形的边AB，CD交于E，F两点，连接BF，DE．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）若AD＝1，AB＝3，且EF⊥BD，求AE的长．

12．已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）当△ABC的边AC、BC满足什么数量关系时，四边形AMCN是矩形，请说明理由．

13．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．
（1）求证：OC＝BC．
（2）四边形ABCD是矩形．

14．已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC的中点，连接AC，DE交于点F，AB＝AC，AF＝CF．
（1）如图1，求证：四边形AECD是矩形；
（2）如图2，连接BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与△BEF面积相等的三角形．

15．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC交BD于点O，连接BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．



16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1
（1）判断△BEC的形状，并说明理由；
（2）求证：四边形EFPH是矩形．

17．如图△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝4，CF＝3，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

18．如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向点O运动．
（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是否是平行四边形？请说明理由；
（2）若AC＝16cm，BD＝12cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值，如不能，请说明理由．

19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，MD⊥MP，求AQ的长．

20．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

21．如图，在长方形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在长方形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．
（1）当x为何值时，点的运动停止？
（2）点P与点N可能相遇吗？点Q与点M呢？请通过计算说明理由．
（3）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？

22．如图，AC为矩形ABCD的对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF．
（2）求证：四边形BFDE是平行四边形．




23．如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点M从点D出发，按折线D→C→B→A→D方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．
（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？
（2）若点E在线段BC上，且BE＝3cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？

24．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D回到点A，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t＝3秒时，求△ABP的面积；
（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？
（3）当t为何值时（2＜t＜5），以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边．


参考答案
1．证明：∵EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA，
在矩形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，AD＝BC，
∴∠DAB﹣∠EAB＝∠CBA﹣∠EBA，
即∠EAD＝∠EBC，
在△ADE和△BCE中，
AD=BC∠DAE=∠CBEEA=EB，
∴△ADE≌△BCE（SAS）．
∴ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC．
2．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△ABN和△MAD中，
∠BAN=∠AMD∠BNA=∠D=90°AB=AM，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）解：∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD＝3，
∵AB2＝AN2+BN2，
∴AB2＝（AB﹣1）2+9，
∴AB＝5，
3．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AEO和△CFO中，
∠DAC=∠ACBAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA）；
（2）解：如图，连接AF，

∵AO＝CO，EF⊥AC，
∴AF＝FC，
∵AF2＝AB2+BF2，
∴CF2＝（16﹣CF）2+64，
∴CF＝10．
4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵FC＝AE，
∴CD﹣FC＝AB﹣AE，
即DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）解：∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵DC∥AB，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DFA＝∠DAF，
∴AD＝DF＝5，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=AD2-AE2=52-32=4，
由（1）得：四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE＝4．
5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵EF＝DA，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF＝90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∵CF＝4，DF＝5，
∴CD2+CF2＝DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，
∴△CDF的面积=12DF×CE=12CF×CD，
∴CE=CF×CDDF=4×35=125，
由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形，
∴∠FBC＝90°，BF＝CE=125，
∴BC=CF2-BF2=42-(125)2=165，
∴EF=165．
6．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝FD，
∴AE+EF＝FD+EF，
即AF＝DE，
在△ABF和△DCE中，
AB=CDBF=CEAF=DE，
∴△ABF≌△DCE（SSS）；
（2）由（1）可知：△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴▱ABCD为矩形．
7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴CE＝BD．
∵CE＝AC，
∴AC＝BD．
∴▱ABCD是矩形；
（2）解：∵AB＝4，AD＝3，∠DAB＝90°，
∴BD=AB2+AD2=42+32=5．
∵四边形BCED是平行四边形，
∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）＝2×（3+5）＝16．
8．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+75°＝135°；
（3）解：作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF=12CD＝1，
∵∠OCB＝30°，AB＝2，
∴BC＝23，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△BOE的面积=12•EB•OF=12×（23-2）×1=3-1．

9．证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图，连接OP，

∵AD＝12，AB＝5，
∴BD=AB2+AD2=144+25=13，
∴BO＝OD＝AO＝CO=132，
∵S△AOD=14S矩形ABCD=14×12×5＝15，
∴S△AOP+S△POD＝15，
∴12×132×FP+12×132×EP＝15，
∴PE+PF=6013．
10．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CB，AD＝BC，
∴∠D＝∠FCE；
∵E为DC中点，
∴ED＝EC，
在△ADE与△FCE中，
∠D=∠FCEDE=CE∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴ABEC=BGEG，S△ABGS△CEG=（ABEC）2，
∵DE＝CE，
∴AB＝2CE，
∴BGEG=2，S△ABGS△CEG=（ABEC）2＝4，
∵△GEC的面积为2，
∴S△BGC＝2S△CEG＝4，S△ABG＝4S△CEG＝8，
∴S△ABC＝S△BGC+S△ABG＝4+8＝12，
∴矩形ABCD的面积＝2S△ABC＝24．
11．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OBE＝∠ODF，
∵O为对角线BD的中点，
∴OB＝OD，
在△OBE和△ODF中，
∠OBE=∠ODFOB=OD∠BOE=∠DOF，
∴△OBE≌△ODF（ASA），
∴BE＝DF，
又∵BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
由（1）得：四边形BEDF为平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF为菱形，
∴BE＝DE，
设AE＝x，则DE＝BE＝3﹣x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，
即12+x2＝（3﹣x）2，
解得：x=43，
即AE的长为43．
12．（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵M，N分别为AB和CD的中点，
∴AM=12AB，CN=12CD，
∴AM＝CN，
∵AB∥CD，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）解：AC＝BC时，四边形AMCN是矩形，
证明∵AC＝BC，且M是BC的中点，
∴CM⊥AB，
即∠AMC＝90°，
∴四边形AMCN是矩形．
13．证明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∵BO⊥CE，
∴∠CFO＝∠CFB＝90°，
在△OCF与△BCF中，
∠OCE=∠BCECF=CF∠CFO=∠CFB，
△OCF≌△BCF（ASA），
∴OC＝BC；
（2）∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
∠DAO=∠BCOOA=OC∠ADO=∠CBO，
∴△OAD≌△OCB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OE⊥AC，
∴∠EOC＝90°，
在△OCE与△BCE中，
CE=CE∠OCE=∠BECOC=BC，
∴△OCE≌△BCE（SAS），
∴∠EBC＝∠EOC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
14．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠FAD＝∠FCE，∠FDA＝∠FEC，
在△ADF和△CEF中，
∠FAD=∠FCE∠FDA=∠FECAF=CF，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形AECD为平行四边形，
∵AB＝AC，点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECD为矩形；
（2）解：图2中与△BEF面积相等的三角形为△AEF，△ADF，△CDF，△CEF．理由如下：
∵点E为BC的中点，
∴S△CEF＝S△BEF，
∵AF＝CF，
∴S△AEF＝S△CEF，S△ADF＝S△CDF，
由（1）可知，四边形AECD是矩形，
∴EF＝DF，
∴S△AEF＝S△ADF，
∴S△CEF＝S△BEF＝S△AEF＝S△ADF＝S△CDF，
即与△BEF面积相等的三角形为△AEF，△ADF，△CDF，△CEF．
15．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，AB＝ED，
∵DC＝ED，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DE⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：过O作OF⊥CD于F，

∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2
∴DE＝CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴OD＝OC，
∵OF⊥CD，
∴DF＝CF=12CD=12×2=1，
∴OF=12BC=12×4=2，EF＝DE+DF＝2+1＝3，
∴OE=EF2+OF2=32+22=13．
16．解：（1）△BEC是直角三角形：
理由是：
∵矩形ABCD，
∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2，
由勾股定理得：CE=CD2+DE2=22+12=5，
同理BE＝25，
∴CE2+BE2＝5+20＝25，
∵BC2＝52＝25，
∴BE2+CE2＝BC2，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形．
（2）∵矩形ABCD，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP，
∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP，
∴AE＝CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠BEC＝90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．
17．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝4，CF＝3，
∴EF=42+32=5，
∴OC=12EF=52；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．

18．解：（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD；
∵E、F两动点，分别从A、C两点以相同的速度向点O运动，
∴AE＝CF；
∴OE＝OF；
∴BD、EF互相平分；
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）四边形DEBF能是矩形．
理由：∵四边形DEBF是平行四边形，
∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形；
∵BD＝12cm，
∴EF＝12cm；
∴OE＝OF＝6cm；
∵AC＝16cm；
∴OA＝OC＝8cm；
∴AE＝2cm，
由于动点的速度都是1cm/s，
所以t＝2（s）
故当运动时间t＝2s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．

19．解：（1）∵△CDQ≌△CPQ，
∴DQ＝PQ，PC＝DC，
∵AB＝DC＝5，AD＝BC＝3，
∴PC＝5，
在Rt△PBC中，PB=PC2-BC2=4，
∴PA＝AB﹣PB＝5﹣4＝1，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝3﹣x，
在Rt△PAQ中，（3﹣x）2＝x2+12，
解得x=43，
∴AQ=43．
（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，
∵MD⊥MP，
∴∠PMD＝90°，
∴∠PME+∠DMF＝90°，
∵∠FDM+∠DMF＝90°，
∴∠MDF＝∠PME，
∵M是QC的中点，
∴DM=12QC，PM=12QC，
∴DM＝PM，
在△MDF和△PME中，
∠MDF=∠PME∠DFM=∠MEPDM=PM，
∴△MDF≌△PME（AAS），
∴ME＝DF，PE＝MF，
∵EF⊥CD，AD⊥CD，
∴EF∥AD，
∵QM＝MC，
∴DF＝CF=12DC=52，
∴ME=52，
∵ME是梯形ABCQ的中位线，
∴2ME＝AQ+BC，即5＝AQ+3，
∴AQ＝2．

方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点，
∴DM＝CM，
∴∠DMQ＝2∠DCQ，
∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点，
∴MP＝CM，
∴∠PMQ＝2∠PCQ，
∵∠DMP＝90°，
∴2∠DCQ+2∠PCQ＝90°，
∴∠PCD＝45°，°∠BCP＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BPC＝45°＝∠BCP，∴BP＝BC＝3，
∵∠CPQ＝90°，
∴∠APQ＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠AQP＝90°﹣45°＝45°＝∠APQ，
∴AQ＝AP＝2．

20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=12OB，DF=12OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
21．解：（1）由题意得x2＝20，
∴x＝25，
∴当x为25时，点的运动停止；
（2）当点P与点N相遇时，2x+x2＝20，
解得x＝221-1或﹣1﹣221（舍去），
当点Q与点M相遇时，x+3x＝20，
解得x＝5，
当x＝5时，x2＝25＞20，
∴点Q与点M不能相遇；
（3）∵当点N到达A点时，x2＝20，
∴x＝25，
∴BQ＝25cm，CM＝65cm，
∵BQ+CM＝85＜20，
∴此时M点与Q点还未相遇，
∴点Q只能在点M的左侧，
①如图，当点P在点N的左侧时，

20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2），
解得x＝0（舍去）或x＝2，
∴当x＝2时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；
②如图，当点P在点N的右侧时，

20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20，
解得x＝4或﹣10（舍去），
∴当x＝4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
综上，当x＝2或4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
22．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
23．解：（1）设t秒时两点相遇，
根据题意得，t+2t＝2（4+8），
解得t＝8，
答：经过8秒两点相遇；
（2）观察图象可知，点M不可能在AB或DC上．
①如图1，点M在E点右侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形，
得：8﹣t＝9﹣2t，
解得t＝1，
∵t＝1时，点M还在DC上，
∴t＝1舍去；
②如图2，点M在E点左侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形，
得：8﹣t＝2t﹣9，
解得t=173．
所以，经过173秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形．

24．解：（1）
当t＝3时，点P的路程为2×3＝6cm，
∵AB＝4cm，BC＝6cm
∴点P在BC上，
∴S△ABP=12AB⋅BP=4（cm2）．
（2）
（Ⅰ）若点P在BC上，
∵在Rt△ABP中，AP＝5，AB＝4
∴BP＝2t﹣4＝3，
∴t=72；
（Ⅱ）若点P在DC上，
则在Rt△ADP中，AP是斜边，
∵AD＝6，
∴AP＞6，
∴AP≠5；
（Ⅲ）若点P在AD上，
AP＝5，
则点P的路程为20﹣5＝15，
∴t=152，
综上，当t=72秒或t=152时，AP＝5cm．
（3）当2＜t＜5时，点P在BC边上，
∵BP＝2t﹣4，CP＝10﹣2t，
∴AP2＝AB2+BP2＝42+（2t﹣4）2
由题意，有AD2+CP2＝AP2
∴62+（10﹣2t）2＝42+（2t﹣4）2
∴t=133＜5，
即t=133．