1.2矩形的性质与判定　解答题专题训练　2023-2024学年北师大版九年级数学上册

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2．在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=CB，∠EDF=90°，点D是AC的边上的中点，AE=12，FC=5．

证明：
(1)DE=DF；
(2)求EF的长．
3．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠AOB:∠ODC=6:7，求∠ADO的度数．
4．在平行四边形ABCD中，BE⊥CD于点E．

(1)尺规作图：在AB边上找一点F，使得△ADF≌△CBE（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）；
(2)求证：四边形DFBE是矩形．更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 5．如图，▱ABCD中，O是BC边中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，CE．

(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若DB⊥AE，∠A=50°，求∠BOD的度数．
6．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线．

(1)在AD边上确定一点E，将△BED沿BD翻折后，点E的对应点F恰好落在BC边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接BE、DF，求证：四边形BEDF是菱形．
7．如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E，延长CB至F点，使BF=CE，连接AE、DF．

(1)求证：四边形AFED是矩形；
(2)若AB=3，AE=4，CF=5，求DE的长．
8．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于 点 O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．

(1)求证：DF=CF；
(2)若∠CDF=60°，DF=8，求矩形ABCD的面积．
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠BDE=15°，AB=2，求矩形ABCD的面积．
10．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点B恰好落在CD上的点E处，得到矩形AEFG，连BG交AE于H，连接BE．

(1)求证：∠BAE=2∠CBE．
(2)若AB=10,BC=6，求BG长．
11．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，延长BC到点E，使CE=6，连接DE．若动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒．

(1)直接写出DE的长；
(2)求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
(3)是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
12．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=12AC，连接CE、AE．

(1)求证：四边形OCED是矩形．
(2)若DB=6，AC=8，求AE的长．
13．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG、BG、DG．

(1)求证：BC=DF；
(2)求证：△DCG≌△BEG；
(3)求证：AC=2BG．
14．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点 Q 在线段AB上，点 P 在线段AC上，且 AP=5，连接PQ，过点 P 作PE⊥PQ，PE与边BC相交于点 E，与边AD相交于点 F，连接QE．

(1)求线段AC的长
(2)求证：AF=CE；
(3)试探究线段AQ，QE，CE三者之间的等量关系， 并加以证明．
15．【定义新知】
如图1，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A的对称点F落在BC边上，再将纸片沿CE折叠，点D的对称点也与F重合，折叠后的两个三角形拼合成一个三角形(△BCE)，这个三角形称为叠合三角形．类似地，对多边形进行折叠，若折叠后的图形恰好可以拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，则这样的矩形称为叠合矩形．
(1)图1中叠合△BCE的底边BC与高EF的长度之比为_______；
(2)将▱ABCD纸片按图2中的方式折叠成一个叠合矩形MNPQ，若AD=13，MN=5，求叠合矩形MNPQ的面积；
【问题解决】
(3)已知四边形ABCD纸片是一个直角梯形，满足AB∥CD，AB⊥BC，AB 点F为BC的中点，EF⊥BC，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．
①如图3，若线段EF是其中的一条折痕，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出AB和CD的长；
②如图4，若线段EF是叠合正方形的其中一条对角线，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出此时AB和CD的长．
16．已知矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．

(1)将矩形纸片沿着AC折叠，点B落在点E处，求此时ED的长；
(2)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，求折痕GH的长．
17．点O为矩形ABCD的中心．
(1)命题1：如图①，过点O的直线EF⊥AC，分别交AD，BC于点E，F，则四边形AFCE是菱形．
命题2：如图②，P，Q两点在AB，CD上，且线段PQ过点O，过点O的直线EF⊥PQ，分别交AD，BC于点E，F，则四边形PFQE是菱形．
请先判断两个命题的真假，并选择一个真命题进行证明．
(2)若把图①的四边形AFCE的面积记为S1，图②的四边形PFQE的面积记为S2，则S1_________S2．（填“＞”或“＜”或“=”）
18．已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE、CE、OE，且OE⊥AD．

(1)如图1，求证：BE=CE；
(2)如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等．
19．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．
(1)求CE和OD的长；
(2)求直线DE的表达式；
(3)直线y=kx+b与DE平行，当它与矩形OABC有公共点时，直接写出b的取值范围．
20．已知，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F．垂足为O．

(1)如图1，连接AF，CE，求AF的长
(2)如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发．沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为5cm/s，点Q的速度为4cm/s，运动时间为ts．当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
参考答案：
1．解：四边形DECO是矩形，
证明如下：
∵ DE∥AC、CE∥BD，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵菱形ABCD的对角线相互垂直，即AC⊥BD，
∴ ∠DOC=90°，
∴四边形DECO是矩形．
2．（1）证明：连接BD，如图所示：

∵∠ABC=90°，AB=CB，点D是AC的边上的中点，
∴BD⊥AC，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=45°，BD=CD=12AC，
∵∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠A=∠C=12180°−90°=45°，
∴∠EBD=∠C=45°，
∵∠EDF=∠BDC=90°，
∴∠EDB+∠BDF=∠BDF+∠CDF，
∴∠EDB=∠CDF，
∴△BDE≌△CDFASA，
∴DE=DF；
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE=CF=5，
∴BC=AB=AE+BE=12+5=17，
∴BF=BC−CF=17−5=12，
∵∠EBF=90°，
∴EF=BE2+BF2=52+122=13．
3．（1）证明：∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴AO=DO，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ABO=∠CDO，
∵∠AOB:∠ODC=6:7，
∴∠AOB:∠ABO=6:7，
∴∠BAO:∠AOB:∠ABO=7:6:7，
∴∠ABO=180°×77+6+7=63°，
∵∠BAD=90°，
∴∠ADO=90°−63°=27°．
4．（1）解：如图：点F即为所求；

（2）由作图得：DF⊥AB，
∴∠AFD=90°，
∵BE⊥CD，
∴∠CEB=90°，
∴∠AFD=∠BEC=90°，
在▱ABCD中，AD=BC，∠A=∠C，CD=AB，CD∥AB，
∴△ADF≌△CBEAAS，
∴AF=CE，
∴BF=DE，
∵CD∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DF⊥AB，
∴四边形DEBF是矩形．
5．解：（1）∵▱ABCD，
∴AB∥DC，
∴∠OEB=∠ODC，
∵BO=CO，∠BOE=∠COD，
∴△BOE≌△COD，
∴OE=OD，
∵OB=OC，
∴四边形BECD是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠A=50°
∵四边形BECD是平行四边形，∠DBE=90°
∴四边形BECD是矩形
∴BC=DE，
∴OD=OC
∴∠ODC=∠BCD=50°
∴∠BOD=∠ODC+∠BCD=50°+50°=100°．
6．（1）解：所作的图形如下：

（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
由翻折知，BE=BF，
由作图知，BE=DE，
∴DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE=BF，
∴四边形BEDF是菱形．

7．解：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BF=CE，
∴BC=CE+BE=BF+BE=EF,
∴AD=EF
∴四边形AFED为平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴∠DEF=90°，
∴四边形AFED为矩形．

（2）∵四边形AFED为矩形，ABCD是平行四边形，
∴AB=DC=3，AE=DF=4，
∵CF=5，
∴DF2+CD2=CF2，
∴△CDF为直角三角形，∠CDF=90°，
∴S△CDF=12DF×DC=12CF×DE，
∴DE=125．
8．（1）解：在△DCF和△DCO中，
∠DCF=∠DCOCD=CD∠CDF=∠CDO，
∴△DCF≌△DCOASA，
∴DF=DO，CF=CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=12BD，OC=12AC，AC=BD，
∴DF=CF；
（2）解：∵△DCF≌△DCO，∠CDF=60°，DF=8，
∴∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=8，
又∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，∠OCD=60°，
∴CD=OD=8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴∠DBC=90°−60°=30°，
∴BD=2CD=16，BC=BD2−BC2=162−82=83，
∴S矩形ABCD=BC⋅CD=643．
9．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠CED=45°，即EC=DC，
又∵∠BDE=15°，
∴∠CDO=60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC=∠OCD=60°，
∴∠OCB=90°−∠DCO=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，∠ABC=90°，
∴AC=2AB=4，
∴BC=23，
∴矩形ABCD的面积=BC×AB=43．
10．（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠CBA=90°，
∴∠CBE+∠ABE=90°，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E处，
∴BC=AG,∠EAG=90°,AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°，
∴2∠ABE+∠BAE=180°，
∵∠CBE+∠ABE=90°，
∴2∠CBE+2∠ABE=180°，
∴∠BAE=2∠CBE；
（2）解：如图，过点E作EM⊥AB于M，过点B作BN⊥AE于N，

∴四边形BCEM是矩形，
∴BC=EM=6，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，
∴AE=AB=10，AG=AD=6，∠EAG=∠BAD=90°，
∵ 12×AE⋅BN=12×AB⋅EM，
∴BN=EM=6，
∴ AN=BA2−BN2=102−62=8，
在△AGH和△NBH中，
∠EAG=∠BNH∠AHG=∠BHNAG=BN=6，
∴△AGH≌△NBH（AAS），
∴NH=AH=4，BH=HG，
∴BH=BN2+NH2=36+16=213，
∴BG=413．
11．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8，∠DCE=∠DCB=90°，
在Rt△DCE中，CE=6，
∴DE=DC2+CE2=10，
（2）当△ABP≌△DCE，即BP=CE=6时，
则t=6÷2=3，
（3）若△PDE为等腰三角形，则PD=DE或PE=DE或PD=PE，
当PD=DE时，∵PD=DE，DC⊥BE，
∴PC=CE=6，
∴BP=6，
∴ t=BC−PC2=12−62=3．
当PE=DE=10时，
∵ BP=BC+CE−PE=12+6−10=8，
∴ t=82=4．
当PD=PE时，
∵ PE=PC+CE=6+PC，
∴ PD=6+PC，
在Rt△PDC中，PD2=CD2+PC2，
∴ 6+PC2=64+PC2，
∴ PC=73，
∵ BP=BC−PC=12−73=293，t=293÷2=296．

综上所述，当t=3或4或296时，△PDE为等腰三角形．
12．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=12AC，
∴∠COD=90°，DE∥AC，DE=12AC，
∴DE=OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：在菱形ABCD中，
OB=DO=12DB=3，
∵四边形OCED是矩形，
∴EC⊥CO，CE=OD=3，
∴AE=EC2+AC2=32+82=73．
13．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，四边形ABCD是矩形，
∴ BC=AD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵AF平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠DAF=45°，
∴ △ADF是等腰直角三角形，
∴ DF=AD，
∴ BC=DF．
（2）在Rt△EFC，G是EF的中点，
∴ CG=FG=EG，则△FCG,△CGE是等腰直角三角形，∠GCE=45°，
∵ BC=DF，
∴ BE=CD，
∵ ∠CEF=∠FCG=45°，
∴ ∠BEG=∠DCG=135°，
∴△DCG≌△BEGSAS（3）连接BD，∵四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，
∵ △DCG≌△BEG，
∴ DG=BG，∠CGD=∠EGB，
∴ ∠CGD+∠AGD=∠EGB+∠AGD=90°，
∴ △DGB是等腰直角三角形，
∴ BD=2BG，
∴AC=2BG
14．（1）解：∵矩形ABCD，AB=6，BC=8，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，∠ABC=90°，
∴AC=AB2+BC2=10；
（2）∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠FAP=∠ECP，∠AFP=∠CEP，
∵AC=10，AP=5，
∴CP=5=AP，
∴△AFP≌△CEP，
∴AF=CE．
（3）∵△AFP≌△CEP，
∴AF=CE，FP=EP． 连接QF，

∵PE⊥PQ，
∴QP为线段EF的垂直平分线，
∴QF=QE．
在Rt△AQF中， AQ2+AF2=QF2，
∴AQ2+CE2=QE2．
15．（1）解：由题意可得 ：AE=EF=DE
故四边形ABFE,CDEF为全等的正方形
∴EF=BF=CF故△BCE的底边BC与高EF的长度之比为：2：1
（2）解：由四边形MNPQ是叠合矩形，可得∠NMQ=90°，MQ=PN，MN=PQ，MN∥PQ．
易得∠MNB=∠MNF=∠PQE=∠PQD，MB=MF=MA=12AB，PD=PE=PC=12CD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，
∴MB=PD．
在△BMN和△DPQ中，∠B=∠D，∠MNB=∠PQD，MB=PD，
∴△BMN≌△DPQAAS，
∴BN=DQ，
∴BN+AQ=DQ+AQ=NF+FQ=NQ．
∵DQ+AQ=AD=13,NQ=DQ+AQ,MN=5,
∴MQ=NQ2−MN2=12，
∴叠合矩形MNPQ的面积=MQ·MN=12×5=60
（3）解：①叠合正方形EFCG的示意图如图1所示

由折叠的性质可得AB=CH,BF=CF=4,DG=GH,∠EGH=90°
由平行线分线段成比例可得AE=DE=5
∵四边形EFCG是叠合正方形，
∴CG=EG=4,
∴GH=DG=DE²−EG²=3
∴AB=CH=CG−GH=1,CD=CG+DG=7
②叠合正方形EGFH的示意图如图2所示.作EN⊥CD于点N,
由题意可得E是AD的中点，

∴BG=BF=CF=CH=4，DE=12AD=5，EN=HN=4,DN=DE2−EN2=3，
∴CD=CH+HN+DN=11,MH=DH=DN+HN=7.
∴AG=MG=GH−MH=BC−MH=1,
∴AB=AG+BG=5
16．解：（1）设BE与AC相交于点P，连接BD与AC交于点O，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO=12AC，AC=BD，∠ABC=90°，
又∵AB=6cm，BC=8cm，
∴AC=BD=AB2+BC2=10cm
∴AO=12AC=5cm，
由折叠的性质可知：AB=AE，CB=CE，
∴AC垂直平分BE，即P是BE的中点，∠APB=90°，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BP，
∴S△ABC=12×6×8=12×10×BP
∴BP=245cm
∴AP=AB2−BP2=185cm，
∴OP=AO−AP=75cm，
∵P是BE的中点，BO=DO，
∴OP是△BED的中位线，
∴ED=2OP=145cm
（2）由折叠得，DH=BH，设BH=DH=xcm，
则CH=8−xcm，
在Rt△CDH中， CD2+CH2=DH2
即62+(8−x)2=x2
解得x=254，即BH=254cm
连接BG，

由翻折的性质可得，BG=DG，∠BHG=∠DHG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB=CD=6cm
∴∠BHG=∠DGH，
∴∠DHG=∠DGH，
∴DH=DG，
∴BH=DH=DG=BG，
∴四边形BHDG是菱形，
S菱形BHDG=12BD⋅GH=BH⋅CD，
即12×10⋅GH=254×6，
解得GH=152cm．
17．解：（1）两个命题均为真命题．命题1证明如下：
证明：∵点O为矩形ABCD的中心，
∴点O是AC的中点．
∵EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线．
∴FA=FC，EA=EC，OA=OC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠EAO=∠ECO．
在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF.
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴AE=CF．
∴AE=CE=CF=AF．
∴四边形AECF为菱形．
命题2证明：如图，连接AC，则经过点O，OA=OC
∵四边形是矩形
∴AB∥CD
∴∠PAO=∠CQO
又∠POA=∠QOC
∴△POA≅△QOC
∴OP=OQ
同命题1，可证明△AOE≅△COF，得OE=OF
又EF⊥PQ
∴四边形PFQE为菱形．
（2）如图，E′F′⊥AC，由图知，OC>OQ，OE′>OE
∴OE′·OC>OQ·OE
∵EF=2OE，PQ=2OQ，AC=2OC，E′F′=2OE′
∴AC·EF AC·E′F′>PQ·EF
∵S1=12AC·E′F′，S2=12PQ·EF
∴S1>S2
18．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°，
∴OB=OC=OA=OD，
∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
在△ABE与△DCE中，
AE=DE∠BAE=∠CDEAB=CD，
∴△ABE≌△DCESAS，
∴BE=CE；
（2）解：△DHE，△CHO，△DEG，△BFO都与△AEF的面积相等，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠CDA=90°，AB∥CD，AB=DC，
∵BE=CE，
∴Rt△BAE≌Rt△CDEHL，
∴∠AEB=∠DEC，AE=DE，
∵OA=OD，
∴∠OEA=∠OED=90°，
∴∠BAD=∠OED=90°，∠ADC=∠AEO=90°，
∴AB∥OE，DC∥OE，
∴S△AEO=S△BEO，S△BEO=S△COE，
∴S△AEO−S△EFO=S△BEO−S△EFO，S△DEO−S△EHO=S△COE−S△EHO，
∴S△AEF=S△BFO，S△DHE=S△CHO，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴△AEF≌△DEHASA，
∴S△AEF=S△DHE=S△CHO，
∵DG∥AC，
∴∠G=∠AFE，∠GDE=∠FAE，
∴△AEF≌△DEGAAS，
∴S△AEF=S△DEG，
∴△DHE，△CHO，△DEG，△BFO都与△AEF的面积相等．
19．解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=10，AB=OC=8，∠B=∠OCB=90°，BC∥OA，由折叠性质得：AE=OA=10，DE=OD,
在Rt△ABE，由勾股定理得： BE=AE2−AB2=102−82=6，
∴CE=10−6=4，
∴点E坐标为(4,8)；
在Rt△DCE中，DE=OD，CD=8−OD，
由勾股定理得：OD2=(8−OD)2+42 ，
解得：OD=5，
∴点D坐标为(0,5)；
（2）设直线DE的表达式为y=kx+b(k≠0)，
将D(0,5)、E(4,8)代入表达式，得：
4k+b=8b=5，解得：k=34b=5，
∴直线DE的表达式为y=34x+5，
（3）∵直线y=kx+b与DE平行，
∴ k=34，
又当它与矩形OABC有公共点时，由图可知，
直线y=kx+b必在经过点C和点A，且与DE平行的直线之间（含这两条直线）
将点C(0,8),A(10,0)分别代入直线y=34x+b中，得到b=8和b=−152，
故b的取值范围为−152≤b≤8且b≠5.
20．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AC的垂直平分线是EF，
∴AF=CF，
设AF=CF=xcm，
则BF=8−xcm，
∴在Rt△ABF中，
由勾股定理得：42+8−x2=x2，
解得x=5，
即AF=5cm；
（2）解：显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，
∴只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为5cm/s，点Q的速度为4cm/s，
∴PC=5t，QA=12−4t，
∴5t=12−4t，
解得：t=43．
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=43．