河北省石家庄市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

石家庄市2022-2023学年度第二学期期末考试

高一数学

（时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．下列两项调查适宜采用的抽样方法依次是（    ）

①一项对“中兴事件”（2018年4月16日，美国对中兴通讯施行惩罚措施，引起国内关于国产芯片的讨论）影响的调查中有10000人认为这是美国贸易保护主义，对世界经济会产生比较负面的影响；有9000人认为这只是一个孤立事件，对世界经济大格局不会产生太大影响；有1000人没有发表自己的看法．现要从这20000人中随机抽取200人做进一步调查．

②从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．

A．①简单随机抽样，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样

C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样

3．一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，如图所示，水面恰好过AC、BC、、的中点，那么，当底面ABC水平放置时，水面高为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

4．已知向量，，且，则m等于（    ）

A． B． C．1 D．2

5．已知a、b表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

6．的三边分别为a，b，c，且，，，则的外接圆的直径为（    ）

A．5 B． C． D．

7．已知，则值是（    ）

A． B． C． D．

8．在四面体ABCD中，平面ABC，，，若四面体ABCD的体积，则四面体ABCD的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．某中学举办数学运算比赛，下表是参赛学生成绩的频数分布表，若学生成绩的第80百分位数是85，则下列说法中正确的是（    ）

A．  B．学生成绩的众数是76

C．学生的成绩的平均分大于76 D．学生成绩的极差为33

10．函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．

B．

C．图象的对称中心为

D．图象的对称轴方程为

11．在中，M，N分别是线段AB，AC上的点，CM与BN交于P点，若，则（    ）

A． B． C． D．

12．如图，在棱长为6的正方体中，点G为线段上的一个动点，则下列说法正确的有（    ）

A．线段长度的最小值为

B．的最大值为

C．点G在线段上运动时，始终有面

D．的最小值为

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学的天桥”，据此公式可得________．

14．已知，，且，则________．

15．已知正方体中，E、F分别是、的中点，则异面直线AE、BF所成角的余弦值为________．

16．已知中，，，点P是外接圆圆周上的一个动点，则取值范围是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知复数，复数与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若复数，且，求．

18．（本小题满分12分）

从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．

在中，，，所对的边分别为a，b，c，且________．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若，，求的面积．

注：若选多个条件分别解答，则按所选的第一个解答计分．

19．（本小题满分12分）

已知，，函数．

（Ⅰ）求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）求函数在区间|上的值域．

20．（本小题满分12分）

某中学为普及学生的法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，进行法律常识考试，随机抽出100名学生成绩，将其成绩分成5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，已知在的人数等于在和的人数的算术平均数．

（Ⅰ）求a，b的值（结果保留三位小数）；

（Ⅱ）估计这100名学生的中位数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替，成绩取整数）；

（Ⅲ）已知该校高一学生共1200人，估计高一年级法律常识考试成绩在90分及以上有多少人？

21．（本小题满分12分）

四棱锥的底面ABCD为梯形，，，，为正三角形．

（Ⅰ）点M为棱AB上一点，若平面SDM，，求实数的值；

（Ⅱ）若，求点B到平面SAD的距离．

22．（本小题满分12分）

拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”某街角公园计划对园内的一块草坪进行改建，这块草坪是由一个半径为的圆的一段优弧与此圆弧上一条长为的弦AB围成，如图所示．改建计划是在优弧上选取一点C，以AC、BC、AB为边向外作三个等边三角形，其外心依次记为、、，在区域内种植观赏花卉．

（Ⅰ）设、，用a、b表示的面积；

（Ⅱ）要使面积最大，C点应选在何处？并求出面积最大值．

石家庄市2022-2023学年度第二学期期末考试

高一数学答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．C 7．B 8．C

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）

9．ABD  10．AD  11．AD  12．BCD

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．；  14．3；  15．；  16．

四、解答题（本大题共6道小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

解：由已知复数，  2分

（1）复数与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，

所以；      4分

（2）若复数满足，

所以，

整理得，

所以，     6分

解得，，

所以复数，    8分

所以，

故．   10分

18．（本小题满分12分）

解：（1）选①因为，由正弦定理，得，

所以，  2分

因为，所以．

所以．         4分

又因为，所以．      6分

选②因为，由正弦定理，得，

所以，即，   2分

因为，，所以．     4分

又因为，所以．      6分

选③因为，由正弦定理，得，

所以，即，   2分

因为，，所以．     4分

又因为，所以．      6分

（2）由余弦定理得，   8分

解得，    10分

故．      12分

19．（本小题满分12分）

解：（1）因为，，

所以．  2分

，    4分

令，

则，，

所以函数的单调递减区间为，．    6分

（2）因为，所以，     8分

所以，          10分

所以函数在区间上的最大值为，最小值为，

即在区间上的值域为．      12分

20．（本小题满分12分）

解：（1）由频率分布直方图，之间的人数为，

与之间的人数均为，    2分

所以在，的人数共50人，

因为在的人数等于在，的人数的算术平均数．

设在的人数为x，

则，解得，    4分

所以，的人数分别为30，20，

所以，的频率分别为0.3，0.2，

所以，．      6分

（2）由（1）可知，学生成绩在内的频率为0.45，在内的频率为0.75，

设学生成绩中位数为，则：，解得，

故：估计这100名学生的中位数为72，    8分

平均成绩为：．  10分

（3）因为学生成绩在内的频率为0.05，而该校高一学生共1200人，所以估计高一年级法律常识考试成绩在90分及以上人数为：人．                            12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）如图：

因为平面SDM，面面，

所以．

因为，所以四边形BCDM为平行四边形，    2分

所以，

又，所以M为AB的中点

因为，所以；      4分

（2）由题可知，又，所以平面SCD，

又因为平面ABCD，

所以平面平面ABCD，       6分

平面平面．

如图：在平面SCD内过点S作于点E，则平面ABCD．

因为为正三角形，所以，

因此在和中，

有．

又因为梯形ABCD中，，，，

所以，因此．     8分

又因为为正三角形，所以，

所以，，所以．

连接BD，则．      10分

又因为为正三角形，，所以的面积为．

设点B到平面SAD的距离为h，由得：

，解得．

故点B到平面SAD的距离为．        12分

22．（本小题满分12分）

解：（1）设，的外接圆半径为R，

在中，由正弦定理得，

因为，，所以，   2分

因为点C在优弧上，所以，因为点、是以AC、BC为边向外所作等边三角形外接圆圆心，

所以，且，，

所以，

所以．     4分

根据拿破仑定理可知：，

故．     6分

（2）在中，由余弦定理得，

所以，所以，       8分

因为，当且仅当时取等号，

所以，整理得，   10分

（当且仅当时，等号成立）

有（1）知：，所以，

故点C取在优弧中点时，面积最大值，最大值为．   12分