河北省石家庄市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(学生版+解析)

这是一份河北省石家庄市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(学生版+解析)，共27页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3．在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 下列两项调查适宜采用抽样方法依次是( )
①一项对“中兴事件”(2018年4月16日，美国对中兴通讯施行惩罚措施，引起国内关于国产芯片讨论)影响的调查中有10000人认为这是美国贸易保护主义，对世界经济会产生比较负面的影响；有9000人认为这只是一个孤立事件，对世界经济大格局不会产生太大影响；有1000人没有发表自己的看法．现要从这20000人中随机抽取200人做进一步调查．
②从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．
A. ①简单随机抽样，②系统抽样
B. ①分层抽样，②简单随机抽样
C. ①系统抽样，②分层抽样
D ①②都用分层抽样
3. 一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，如图所示，水面恰好过AC、BC、、的中点，那么，当底面ABC水平放置时，水面高为( )

A. 6B. 7C. 8D. 9
4. 已知向量，，且，则实数等于( )
A. 2B. 1C. －1D. －2
5. 已知a、b表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为 ( )
A. 5B. C. D.
7. 已知，则的值是( )
A. B. C. D.
8. 在四面体中，平面，，，若四面体的体积，则四面体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 某中学举办数学运算比赛，下表是参赛学生成绩的频数分布表，若学生成绩的第80百分位数是85，则下列说法中正确的是( )
A. B. 学生成绩的众数是76
C. 学生的成绩的平均分大于76D. 学生成绩的极差为33
10. 函数的部分图象如图所示，则( )

A.
B.
C. 图象的对称中心为
D. 图象的对称轴方程为
11. 在△ABC中，M，N分别是线段，上的点，CM与BN交于P点，若，则( )
A B.
C. D.
12. 如图，在棱长为6的正方体中，点G为线段上的一个动点，则下列说法正确的有( )

A. 线段长度的最小值为
B. 的最大值为
C. 点G在线段上运动时，始终有面
D. 的最小值为
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学的天桥”，据此公式可得________．
14. 已知，，且，则________．
15. 在正方体中，､分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
16. 已知中，，，点P是外接圆圆周上的一个动点，则取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知复数，复数与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，
(1)求；
(2)若复数，且，求．
18. 从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
在中，，，所对边分别为a，b，c，且________．
(1)求角B的大小；
(2)若，，求的面积．
注：若选多个条件分别解答，则按所选的第一个解答计分．
19. 已知，，函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在区间上的值域．
20. 某中学为普及学生的法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，进行法律常识考试，随机抽出100名学生成绩，将其成绩分成5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，已知在的人数等于在和的人数的算术平均数．

(1)求a，b的值(结果保留三位小数)；
(2)估计这100名学生的中位数和平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替，成绩取整数)；
(3)已知该校高一学生共1200人，估计高一年级法律常识考试成绩在90分及以上有多少人？
21. 四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形．
(1)点为棱上一点，若平面，，求实数的值；
(2)若，求点到平面的距离．
22. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点．”某街角公园计划对园内的一块草坪进行改建，这块草坪是由一个半径为的圆的一段优弧与此圆弧上一条长为的弦AB围成，改建计划是在优弧上选取一点C，以AC、BC、AB为边向外作三个等边三角形，其外心依次记为、、，在区域内种植观赏花卉．
(1)设、，用a、b表示的面积；
(2)要使面积最大，C点应选在何处？并求出面积最大值．
石家庄市2022-2023学年度第二学期期末考试
高一数学
(时间120分钟，满分150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3．在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用除法运算可得，然后根据复数的几何意义即得.
【详解】由题可知，
所以其在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A.
2. 下列两项调查适宜采用的抽样方法依次是( )
①一项对“中兴事件”(2018年4月16日，美国对中兴通讯施行惩罚措施，引起国内关于国产芯片的讨论)影响的调查中有10000人认为这是美国贸易保护主义，对世界经济会产生比较负面的影响；有9000人认为这只是一个孤立事件，对世界经济大格局不会产生太大影响；有1000人没有发表自己的看法．现要从这20000人中随机抽取200人做进一步调查．
②从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．
A. ①简单随机抽样，②系统抽样
B. ①分层抽样，②简单随机抽样
C. ①系统抽样，②分层抽样
D. ①②都用分层抽样
【答案】B
【解析】
【分析】根据分层抽样及简单随机抽样的概念结合条件分析即得.
【详解】由题可知对①，此项抽查的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围；
对②，从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，此项抽查的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围；
所以宜采用的抽样方法依次是：①分层抽样，②简单随机抽样．
故选：B.
3. 一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，如图所示，水面恰好过AC、BC、、的中点，那么，当底面ABC水平放置时，水面高为( )

A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.
【详解】设面积为a，底面ABC水平放置时，水面高为h，
由题可知侧面水平放置时，水的体积为，
当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得，
所以当底面水平放置时，水面高为12.
故选：D.
4. 已知向量，，且，则实数等于( )
A. 2B. 1C. －1D. －2
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，然后利用向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】由题意可得：，又因为，
所以，解得：，
故选：A.
5. 已知a、b表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】举例说明判断ABD；推理判断C作答.
【详解】在长方体，令平面是平面，

对于A，若平面为平面，直线为直线，直线为直线，
显然，，，此时直线是异面直线，A错误；
对于B，若平面为平面，直线为直线，直线为直线，
显然，，，此时平面与相交，B错误；
对于D，若平面为平面，直线为直线，直线为直线，
显然，，，此时直线相交，D错误；
对于C，在直线上取点，过作直线，相交直线确定平面，由知，与相交，令交线为，

显然，由，，得，而，于是，又，
从而，而，所以，C正确
故选：C
6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为 ( )
A. 5B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，最后结合正弦定理即可得结果.
详解：根据三角形面积公式得，，得，则，即，，故正确答案为C.
点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.
7. 已知，则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】
.
故选：B
8. 在四面体中，平面，，，若四面体的体积，则四面体的外接球的表面积为( )
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据锥体的体积公式求出，再求出底面外接圆的直径，从而求出外接球的半径，即可得解.
【详解】依题意，，
所以，
又底面为直角三角形，所以外接圆的直径即为斜边，
设四面体的外接球的半径为，则，
即，
所以外接球的表面积.

故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 某中学举办数学运算比赛，下表是参赛学生成绩的频数分布表，若学生成绩的第80百分位数是85，则下列说法中正确的是( )
A. B. 学生成绩的众数是76
C. 学生的成绩的平均分大于76D. 学生成绩的极差为33
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据百分位数的概念结合条件可得，然后根据众数，极差及平均数的概念结合条件即得.
【详解】因为学生成绩的第80百分位数是85，，
又，
所以，即，故A正确；
所以参赛学生的人数为80，学生成绩的众数是76，学生成绩的极差为33，故BD正确；
学生的成绩的平均分为
，故C错误.
故选：ABD.
10. 函数的部分图象如图所示，则( )

A.
B.
C. 图象的对称中心为
D. 图象的对称轴方程为
【答案】AD
【解析】
【分析】由图知且求，根据五点法求参数，即可得的解析式，再由正弦型函数的性质求对称中心、对称轴方程，即可判断各选项的正误.
【详解】由图可得：且，
∴，则，A正确；
由，则()，
得，，又，所以，B错误；
所以，有，
由，，得，所以函数图象的对称中心为，C错误；
由，，得，，即函数图象的对称轴方程为，D正确.
故选：AD.
11. 在△ABC中，M，N分别是线段，上的点，CM与BN交于P点，若，则( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据平面向量的基本定理及三点共线的向量表示得解.
【详解】设，，由，可得，．
因为C，P，M共线，所以，解得．因为N，P，B共线，所以，解得．
故，，即，．
故选：AD．
12. 如图，在棱长为6的正方体中，点G为线段上的一个动点，则下列说法正确的有( )

A. 线段长度的最小值为
B. 最大值为
C. 点G在线段上运动时，始终有面
D. 最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据垂直时线段最短判断A，由直角三角形中的余弦值及A选项判断B，根据面面平行的性质判断C，由展开图利用余弦定理计算判断D.
【详解】对A，连接，如图，

当时，最短，由正方体棱长为6，所以，
所以，可得，故A错误；
对于B，连接，如图，

由正方体可知平面，又平面，所以，
故，由A知，的最小值为，故的最大值为，故B正确；
对于C，连接，如图，

在正方体中，∥，平面，平面，
所以∥平面，同理可得∥平面，
又，平面，所以平面∥平面，
又平面，所以面，故C正确；
对于D，把平面沿展开到平面所在平面，如图，

连接交于，此时最小，最小值为,
在中，，
由余弦定理得，故D正确.
故选：BCD
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学的天桥”，据此公式可得________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知公式直接计算即得.
【详解】，
.
故答案为：.
14. 已知，，且，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】先求出向量的坐标，再利用模的坐标运算列方程求解即可.
【详解】由已知得，
，
，
解得.
故答案为：3.
15. 在正方体中，､分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】取的中点，连、、，利用平行四边形可得，可得是异面直线与所成角(或所成角的补角)，然后用余弦定理可得结果.
【详解】在正方体中，取的中点G，连、、，
，依次是和的中点，，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，是异面直线与所成角(或所成角的补角)，
设正方体的棱长为2，则，
，．
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
16. 已知中，，，点P是外接圆圆周上的一个动点，则取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦定理可知外接圆的半径，设为的中点，根据向量的线性表示及数量积的运算可得，然后根据圆的性质可得，进而即得.
【详解】设外接圆的半径为，由正弦定理可得，
所以，如图设外接圆的圆心为，为的中点，连接
则，
所以，
因为，
所以，
由圆的性质可知，即，
所以，即取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知复数，复数与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，
(1)求；
(2)若复数，且，求．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)根据复数的运算可得，结合条件可得；
(2)根据复数的运算及复数相等的条件可得，然后利用模长的求法即得.
【小问1详解】
由已知复数,
因为复数与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以，
整理得，
所以，
解得，，
所以复数，
所以，
故．
18. 从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
在中，，，所对的边分别为a，b，c，且________．
(1)求角B的大小；
(2)若，，求的面积．
注：若选多个条件分别解答，则按所选的第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)利用正余弦定理，三角恒等变换及特殊角的三角函数结合条件即得；
(2)利用余弦定理及三角形面积公式即得.
【小问1详解】
选①因为，由正弦定理，得,
所以,
因为，所以,
所以,又因为，
所以；
选②因为，由正弦定理，得，
所以，即，
因为，，所以，
又因为，所以；
选③因为，由正弦定理，得，
所以，即，
因为，，所以，
又因为，所以；
【小问2详解】
由余弦定理得，
解得，
故．
19. 已知，，函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】(1)根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得，然后根据正弦函数的性质即得；
(2)根据三角函数的图形和性质结合条件即得.
【小问1详解】
因为，，
所以,
令，
则，，
所以函数的单调递减区间为，．
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为，
即在区间上的值域为．
20. 某中学为普及学生的法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，进行法律常识考试，随机抽出100名学生成绩，将其成绩分成5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，已知在的人数等于在和的人数的算术平均数．

(1)求a，b的值(结果保留三位小数)；
(2)估计这100名学生的中位数和平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替，成绩取整数)；
(3)已知该校高一学生共1200人，估计高一年级法律常识考试成绩在90分及以上有多少人？
【答案】(1)，；
(2)中位数为72，平均成绩73；
(3)60人．
【解析】
【分析】(1)根据直方图可得，，之间的人数，结合条件可得，的人数，进而即得；
(2)利用直方图结合中位数，平均数的计算方法即得；
(3)由题可得学生成绩在内的频率为0.05，然后根据高一学生人数即得.
【小问1详解】
由频率分布直方图，之间的人数为，
与之间的人数均为，
所以在，的人数共50人，
因为在的人数等于在，的人数的算术平均数．
设在的人数为x，则，解得，
所以，的人数分别为30，20，
所以，的频率分别为0.3，0.2，
所以，．
【小问2详解】
由(1)可知，学生成绩在内的频率为0.45，在内的频率为0.75，
设学生成绩中位数为，则：，解得，
故：估计这100名学生的中位数为72，
平均成绩为：．
【小问3详解】
因为学生成绩在内的频率为0.05，而该校高一学生共1200人，
所以估计高一年级法律常识考试成绩在90分及以上人数为：人．
21. 四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形．
(1)点为棱上一点，若平面，，求实数的值；
(2)若，求点到平面的距离．
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】(1)本题首先可以通过证出，再通过得知四边形为平行四边形，最后通过得出结果；
(2)本题可以通过等面积法来求出点到平面的距离，即作直线于点，然后通过来求出结果．
【详解】(1)因为平面，平面，平面平面，
所以，
因为，所以四边形为平行四边形，
又，所以为的中点．
因为，所以．
(2)因为，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面，
平面平面，
如图，在平面内过点作直线于点，则平面，
在和中，
因为，所以，
又由题知，
所以，
由已知求得，所以，
连接，则，
又求得的面积为，
所以由可知点到平面的距离为．
【点睛】本题考查解析几何的相关性质，考查线面平行、线面垂直、面面垂直、三棱锥面积公式等相关知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，考查辅助线的构造，是难题．
22. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点．”某街角公园计划对园内的一块草坪进行改建，这块草坪是由一个半径为的圆的一段优弧与此圆弧上一条长为的弦AB围成，改建计划是在优弧上选取一点C，以AC、BC、AB为边向外作三个等边三角形，其外心依次记为、、，在区域内种植观赏花卉．
(1)设、，用a、b表示的面积；
(2)要使面积最大，C点应选在何处？并求出面积最大值．
【答案】(1)；
(2)点C取在优弧中点，最大值为．
【解析】
【分析】(1)由正弦定理可得，结合等边三角形的性质可得，然后根据拿破仑定理及等边三角形的面积公式即得；
(2)根据余弦定理结合基本不等式即得.
【小问1详解】
设，的外接圆半径为R，
在中，由正弦定理得，
因为，，所以，

因为点C在优弧上，所以，
因为点、是以AC、BC为边向外所作等边三角形外接圆圆心，
所以，且，，
所以，
所以，
根据拿破仑定理可知：；
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，
所以，所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以，整理得，
(当且仅当时，等号成立)
有(1)知：，
所以，
故点C取在优弧中点时，面积最大值，最大值为．
成绩(分)
60
65
68
70
73
76
81
83
87
89
92
93
频数
5
7
9
10
11
13
5
4
a
4
4
3
成绩(分)
60
65
68
70
73
76
81
83
87
89
92
93
频数
5
7
9
10
11
13
5
4
a
4
4
3