河北省石家庄市2022-2023学年高一上学期期末模拟数学试题及答案

河北省石家庄市2022-2023学年高一上学期期末模拟数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，若，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知幂函数图象过点，则等于（　　）

A．10 B．16 C．25 D．32

3．祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p是q的（    ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

5．设，，则（    ）

A．且 B．且

C．且 D．且

6．已知某种食品的保鲜时间y（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）之间满足函数关系．若该食品在4℃时的保鲜时间为192h，在12℃时保鲜时间为48h，则该食品在28℃时的保鲜时间为（    ）

A．2h B．3h C．4h D．6h

7．黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，，根据这些信息，可得（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

10．若，则下列关系式中一定成立的是（    ）

A． B．（）

C．（是第一象限角） D．

11．已知函数，，下列说法正确的是（    ）

A．只有一个零点

B．若有两个零点，则

C．若有两个零点，，则

D．若有四个零点，则

12．定义在R上的函数，若存在函数（a，b为常数），使得对一切实数x都成立，则称为函数的一个承托函数，下列命题中正确的是（    ）

A．函数是函数的一个承托函数

B．函数是函数的一个承托函数

C．若函数 是函数的一个承托函数，则a的取值范围是

D．值域是R的函数不存在承托函数

三、填空题

13．___________.

14．扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___________.

15．已知，则___________.

16．已知 ，则函数 _______．

四、解答题

17．已知，，.

（1）求及；

（2）若，求．

18．（1）求值：；

（2）设为正实数，已知，求的值.

19．已知关于的不等式的解集为.

(1)求实数的值；

(2)正实数满足，求的最小值；

20．已知函数，且函数的最小正周期为π．

(1)求函数的解析式；

(2)若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值，并指出此时的值．

21．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；

(3)解关于的不等式：.

22．如图所示，是一声边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场．

(1)设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式；

(2)当为多少时，S最大，并求最大值．

参考答案：

1．D

【分析】根据集合N中所含元素的可能性逐一判断即可.

【详解】对于A，当集合时，不是的子集，故A错误；

对于B，当集合时，不是的子集，故B错误；

对于C，当集合时，，故C错误；

对于D，因为，，且，所以，故D正确.

故选：D.

2．C

【分析】设幂函数，把已知点代入求出的值，进而即可计算出的值.

【详解】设幂函数，又幂函数图象过点，

∴，解得，∴，

∴.

故选：C.

3．C

【分析】根据与的推出关系判断

【详解】已知A，B为两个等高的几何体，由祖暅原理知，而不能推出，可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不相等，则是的必要不充分条件

故选：C

4．A

【分析】根据与的正负判断函数的单调性，从而得出正确结论．.

【详解】，，是减函数，排除CD，

，，是增函数，又排除B，

故选：A．

5．B

【分析】容易得出，，即得出，，从而得出，．

【详解】，.

又，即，，

，．

故选B.

【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，求解时注意总结规律，即对数的底数和真数同时大于1或同时大于0小于1，函数值大于0；若一个大于1，另一个大于0小于1，函数值小于0．

6．B

【分析】由题可得，代入再结合条件即得.

【详解】由题意有：①，②，

②式除以①式得，

则.

故选：B.

7．C

【分析】结合已知条件以及诱导公式、二倍角公式求得正确结果.

【详解】依题意可知，

所以

.

故选：C

8．C

【分析】将问题转化为与图象的四个交点横坐标之和的范围，应用数形结合思想，结合对数函数的性质求目标式的范围.

【详解】由题设，将问题转化为与的图象有四个交点，

，则在上递减且值域为；在上递增且值域为；在上递减且值域为，在上递增且值域为；

的图象如下：

所以时，与的图象有四个交点，不妨假设，

由图及函数性质知：，易知：，，

所以.

故选：C

9．ABD

【解析】根据函数解析式，逐项计算，即可得出结果.

【详解】因为，

所以，A正确；

，B正确；

，C不正确；

，D正确.

故选：ABD.

10．BC

【解析】由已知得，根据各选项对应函数的单调性判断大小即可.

【详解】由知：，

∴，，即A错误，B正确；

且，即，则有，故C正确；

的大小不确定，故D错误.

故选：BC

【点睛】思路点睛：注意各选项函数的形式，根据对应函数的单调性比较大小.

1、如：单调增函数；

2、对于，根据所在象限确定其范围即可应用的单调性判断大小；

3、由于无法确定的大小，的大小也无法确定.

11．CD

【分析】由函数解析式分析的性质并画出函数图象判断A，数形结合法判断B、C，结合二次函数性质讨论零点，且的位置情况求m的范围判断D.

【详解】由题设，时且递增，

时，在上递减，上递增且值域均为，又，

所以只有一个零点，A错误，其函数图象如下：

由图，若有两个零点，则或，B错误；

若两个零点，均在上，则，即，C正确；

要使有4个零点，即对应两个不同的值，

若零点分别为，且，

所以，当，即时，由，故排除；

若，有四个零点，此时，无解；

若，有四个零点，此时，无解；

若，，有四个零点，，可得.

综上，有四个零点时，D正确.

12．BC

【解析】由承托函数的定义依次判断即可.

【详解】解：对A，∵当时，，

∴对一切实数x不一定都成立，故A错误；

对B，令，则恒成立，

∴函数是函数的一个承托函数，故B正确；

对C，令，则，

若，由题意知，结论成立，

若，令，得，

∴函数在上为减函数，在上为增函数，

∴当时，函数取得极小值，也是最小值，为，

∵是函数的一个承托函数，

∴，

即，

∴，

若，当时，，故不成立，

综上，当时，函数是函数的一个承托函数，故C正确；

对D，不妨令，则恒成立，

故是的一个承托函数，故D错误.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．

13．4

【分析】根据指数对数运算性质化简计算即可

【详解】

故答案为：4.

14．4

【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．

【详解】根据扇形的面积公式得，．

故答案为：4

15．

【分析】根据同角三角函数基本关系，求出，再由角的变换及两角差的正切公式求出，即可得解.

【详解】，，

，，

，

，

.

故答案为：.

16．

【分析】采用换元法，令，即可得，即可求得函数解析式.

【详解】令，则，

故，即，

故答案为：.

17．（1）， 或 ；

（2）或 .

【分析】先求出集合A，，C，再根据集合的交并补的运算即可求得结果.

【详解】由已知或，

，

，

（1），或；

（2），

或，

所以或.

18．（1）；（2）

【分析】（1）将拆分成，结合完全平方式和指数对数运算性质化简即可；

（2），再结合立方差公式和平方和公式化简即可求解.

【详解】（1）

（2），，

，

所以.

19．(1).

(2)9.

【分析】（1）由一元二次不等式的解集可知和是方程的两个根，由此利用根与系数的关系，即可求得答案；

（2）由已知结合（1）可得，将变形为，展开后利用基本不等式即可求得答案.

【详解】（1）由题意可得和是方程的两个根，

由根与系数的关系可得 ，解得.

（2）正实数满足，由（1）可得，即，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为9.

20．(1)

(2)时，最小值为； 时，最大值为 2．

【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再由最小正周期可得解；

（2）利用三角函数的图象变换可得，再利用整体法可得解.

【详解】（1）∵函数

的最小正周期为π，

∴，解得，.

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，

得到函数的图象，

由，可得，

故当，即当时，函数取得最小值为；

当，即当时，函数取得最大值为 2．

21．(1)；

(2)函数在上是增函数，证明见解析；

(3).

【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；

（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；

（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，

即，可得，则，

所以，，则，因此，.

（2）证明：函数在上是增函数，证明如下：

任取、且，则

，

因为，则，，故，即.

因此，函数在上是增函数.

（3）解：因为函数是上的奇函数且为增函数，

由得，

由已知可得，解得.

因此，不等式的解集为.

22．(1)，．

(2)时，面积最大为

【分析】（1）利用三角函数定义，结合图形直接表示即可；

（2）令换元，然后由二次函数性质可解.

【详解】（1）延长交于，设，

则，，

，．

，．

（2）设，

，知，，，

．

当，即时，有最大值．

答：长方形停车场面积的最大值为平方米．