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浙江省杭州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（9套）-03解答题（提升题）2
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这是一份浙江省杭州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（9套）-03解答题（提升题）2，共32页。试卷主要包含了两点，O为坐标原点，x+2a+1，，两点等内容，欢迎下载使用。
浙江省杭州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（9套）-03解答题（提升题）2
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
1．（2023•滨江区一模）直线y1＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）与双曲线（k为常数，且k2≠0）相交于A（2，﹣4），B（4，n）两点，O为坐标原点．
（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式．
（2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
（3）求△OAB的面积．
2．（2023•萧山区一模）已知函数和函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1k2≠0）．
（1）若两函数的图象交于点A（1，4），点B（a，1），求函数y1，y2的表达式．
（2）若点C（﹣1，n）向上平移6个单位恰好落在函数y1上，又点C（﹣1，n）向右平移2个单位恰好落在函数y2上，且k1+k2＝0，求b的值．
二．抛物线与x轴的交点（共2小题）
3．（2023•西湖区一模）已知二次函数y＝x2﹣（a+2）x+2a+1，
（1）若a＝4，求函数的对称轴和顶点坐标．
（2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值．
（3）若抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若点A（m，n），B（2﹣m，p）是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p＞﹣8．
4．（2023•滨江区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（m，0）两点．
（1）当a＝1，b＝2时，求m的值．
（2）当0＜a＜2，c＝2时，
①求证：m＞1．
②点C（x1，y1），D（x2，y2）在该抛物线上，且x1＞x2，x1+x2＜2，试比较y1与y2的大小．
三．二次函数综合题（共1小题）
5．（2023•萧山区一模）已知二次函数y＝ax2+2x+1（a≠0）．
（1）若，试求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
（2）若该二次函数图象的顶点坐标为（s，t），求证：t＝s+1．
（3）若a＜0，且当自变量x满足0≤x≤m时，﹣2≤y≤2，求m的值．
四．四边形综合题（共3小题）
6．（2023•淳安县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE．
（1）如图1，若E是线段AC上任意一点，连接EF，DF，DE，求证：△ADE≌△CDF．
（2）在第（1）题的前提下，求证：BE＝EF．
（3）如图2，若E是线段AC延长线上一点，其他条件不变，且BE∥AF，求tan∠AFC的值．
7．（2023•临安区一模）如图，正方形ABCD，对角线AC与BD交于点O，E是线段OC上一点，以BE为边在BD的右下方作等边三角形BEF，连结DE，DF．
（1）求证：△ABE≌△ADE．
（2）∠BDF的度数改变吗？若不变，请求出这个角的值．
（3）若，求FD的最小值．
8．（2023•上城区一模）点E、F分别为正方形ABCD边CD、AD上一点，满足AF＝CE，连结BF和BE．
（1）求证：△AFB≌△CEB；
（2）过点E作EM⊥BF交AB于点M，垂足为点N．
①判断△MBE的形状，并说明理由；
②当M在AB边上时，设∠ABF＝α，△BMN和△BFA的面积分别是S1和S2，求证：．
五．圆周角定理（共1小题）
9．（2023•滨江区一模）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
六．圆的综合题（共3小题）
10．（2023•萧山区一模）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，点E是上一点，连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G，连接AC，AD，FG．
（1）若∠AFO＝60°，求∠CGO的度数．
（2）求证：AC2＝AG•CF．
（3）设∠AFO＝α，△CFG的面积为S1，△AOF的面积为S2，求证：＝tanα﹣1．
11．（2023•杭州一模）如图，点A，B，C分别是⊙O上的三等分点，连接AB，BC，CA．点D，E分别是AC，BC上的点，且BE＝CD．过点D作EO的垂线，垂足为H，与⊙O分别交于N、M，与边AB交于F点．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）探索FN与MD的数量关系，并加以证明；
（3）点E从点B沿BC方向运动到点C，点H也随之运动，若⊙O的半径为2，则点H运动的路径长是多少？
12．（2023•桐庐县一模）如图1，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点D是直径AB右侧半圆上一点，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC交DE于点P．
（1）求证：AC•PE＝AP•BC．
（2）连结OC、AD，若AD∥OC，求证：PE＝PD．
（3）如图2，连结CD，若CD是⊙O的切线，求证：PE＝PD．
七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2023•萧山区一模）如图，正方形ABCD中，点M是对角线BD上一点，连结AM并延长交BC于点E，连结CM．
（1）求证：AM＝CM．
（2）若∠CME＝45°，求的值．
八．相似形综合题（共2小题）
14．（2023•桐庐县一模）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与AD边相交于点E，若∠D＝60°．
（1）求：．
（2）如图2，连结CE并延长，与BA延长线相交于点F，求证：AF•DE＝CD2．
（3）在（2）条件下，连结DF，若AB＝4，求△DEF的面积．
15．（2023•西湖区一模）已知E是正方形ABCD边CD上任意一点，
（1）将△ADE沿AE翻折至△AEF，
①如图1，若F点恰好在对角线AC上，，求AB的长．
②如图2，若点E是CD中点，若S△ADE＝2，射线AF与BC边交于点G，求四边形EFGC的面积．
（2）如图3，点Q是边BC上任意一点，记DQ与AE的交于点H，射线AE与射线BC交于点P，求证：BP•HE＝AH•QC．
浙江省杭州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（9套）-03解答题（提升题）2
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
1．（2023•滨江区一模）直线y1＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）与双曲线（k为常数，且k2≠0）相交于A（2，﹣4），B（4，n）两点，O为坐标原点．
（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式．
（2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
（3）求△OAB的面积．
【答案】（1）y1＝x﹣6，；
（2）0＜x＜2或；
（3）6．
【解答】解：（1）把A（2，﹣4）代入y2＝得，﹣4＝，
解得k2＝﹣8，
∴y2＝﹣，
把点B（4，n）代入y2＝﹣得到，n＝﹣＝﹣2，
∴B（4，﹣2），
把A（2，﹣4），B（4，﹣2）代入y1＝k1x+b得，，
解得，
∴y1＝x﹣6，
（2）由图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞4；
（3）S△OAB＝×4×2＝6，
即△OAB的面积是6．
2．（2023•萧山区一模）已知函数和函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1k2≠0）．
（1）若两函数的图象交于点A（1，4），点B（a，1），求函数y1，y2的表达式．
（2）若点C（﹣1，n）向上平移6个单位恰好落在函数y1上，又点C（﹣1，n）向右平移2个单位恰好落在函数y2上，且k1+k2＝0，求b的值．
【答案】（1）y1＝，y2＝﹣x+5；
（2）b＝﹣6．
【解答】解：（1）∵点A（1，4），点B（a，1）在函数图象上，
∴k1＝1×4＝a×1，
∴k1＝4，a＝4，
∴函数y1的表达式为y1＝，B（4，1），
把点A（1，4），点B（4，1）代入y2＝k2x+b，得，
解得，
∴函数y2的表达式为y2＝﹣x+5；
（2）∵点C（﹣1，n）向上平移6个单位恰好落在函数y1上，
∴点（﹣1，n+6）在函数上，
∴k1＝﹣1×（n+6）＝﹣n﹣6，
∵点C（﹣1，n）向右平移2个单位恰好落在函数y2上，
∴点（1，n）在函数y2＝k2x+b上，
∴n＝k2+b，
∴k2＝n﹣b，
∵k1+k2＝0，
∴﹣n﹣6+（n﹣b）＝0，
∴b＝﹣6．
二．抛物线与x轴的交点（共2小题）
3．（2023•西湖区一模）已知二次函数y＝x2﹣（a+2）x+2a+1，
（1）若a＝4，求函数的对称轴和顶点坐标．
（2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值．
（3）若抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若点A（m，n），B（2﹣m，p）是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p＞﹣8．
【答案】（1）x＝3，（3，0）；
（2）a＝2；
（3）见详解．
【解答】解：（1）∵a＝4，
∴y＝x2﹣（4+2）x+8+1，
∴y＝x2﹣6x+9，
∴y＝（x﹣3）2，
∴函数的对称轴和顶点坐标分别为：直线x＝3，（3，0）；
（2）函数图象向下平移一个单位得y＝x2﹣（a+2）x+2a+1﹣1，
∴y＝x2﹣（a+2）x+2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝（a+2）2﹣4×2a＝0，
解方程得：a＝2；
（3）∵抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，
∴（﹣1，y0）为抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴，
∴a＝﹣4，
∴抛物线为：y＝x2+2x﹣7，
∵A（m，n），B（2﹣m，p）在抛物线上，
∴n＝m2+2m﹣7，p＝（2﹣m）2+2（2﹣m）﹣7，
∴n+p＝m2+2m﹣7+（m﹣2）2+2（2﹣m）﹣7，
∴n+p＝2（m﹣1）2﹣8，
∵A（m，n），B（2﹣m，p）是这条抛物线上不同的两点，
∴m≠2﹣m，
∴m≠1
∴n+p＞﹣8．
4．（2023•滨江区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（m，0）两点．
（1）当a＝1，b＝2时，求m的值．
（2）当0＜a＜2，c＝2时，
①求证：m＞1．
②点C（x1，y1），D（x2，y2）在该抛物线上，且x1＞x2，x1+x2＜2，试比较y1与y2的大小．
【答案】（1）﹣3；
（2）①见解析；②y1＜y2．
【解答】解：（1）当a＝1，b＝2时，y＝x2+2x+c，
把A（1，0）代入得，0＝1+2+c，
解得c＝﹣3，
∴y＝x2+2x﹣3，
把B（m，0）代入y＝x2+2x﹣3得，0＝m2+2m﹣3，
解得m＝1或﹣3；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（m，0）两点，
∴m＝﹣3；
（2）①把A（1，0），B（m，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得，
a+b+c＝0，am2+bm+c＝0，
∵c＝2，
∴a+b+2＝0，am2+bm+2＝0，
由b＝﹣a﹣2得到am2﹣（a+2）m+2＝0，
则Δ＝（a+2）2﹣4a×2＝（a﹣2）2≥0，
∴，
∴m1＝1（舍去），，
∵0＜a＜2，
∴m＞1．
②由①得b＝﹣a﹣2，c＝2，
∴y＝ax2﹣（a+2）x+2，
把C（x1，y1），D（x2，y2）代入得y1，y2，
∵x1＞x2，x1+x2＜2，
∴x1＜2﹣x2，
∵0＜a＜2，
∴2a﹣（a+2）＝a﹣2＜0，
∴a（x1+x2）＜0，
∴y1﹣y2＝（x1﹣x2），
∴y1＜y2．
三．二次函数综合题（共1小题）
5．（2023•萧山区一模）已知二次函数y＝ax2+2x+1（a≠0）．
（1）若，试求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
（2）若该二次函数图象的顶点坐标为（s，t），求证：t＝s+1．
（3）若a＜0，且当自变量x满足0≤x≤m时，﹣2≤y≤2，求m的值．
【答案】（1）该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣2+，0），（﹣2﹣，0）；
（2）证明见解答过程；
（3）m的值为3．
【解答】（1）解：当a＝时，y＝x2+2x+1，
令y＝0得0＝x2+2x+1，
解得x＝﹣2+或x＝﹣2﹣，
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣2+，0），（﹣2﹣，0）；
（2）证明：∵二次函数y＝ax2+2x+1图象的顶点坐标为（s，t），
∴s＝﹣＝﹣，t＝＝1﹣，
∴t＝1+s；
（3）解：在y＝ax2+2x+1中，令x＝0得y＝1，
由（2）知抛物线y＝ax2+2x+1顶点坐标为（﹣，1﹣），
∵a＜0，当0≤x≤m时，﹣2≤y≤2，
∴当x＝m时函数值最小为﹣2，当x＝﹣时，函数值（1﹣）最大为2，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴m的值为3．
四．四边形综合题（共3小题）
6．（2023•淳安县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE．
（1）如图1，若E是线段AC上任意一点，连接EF，DF，DE，求证：△ADE≌△CDF．
（2）在第（1）题的前提下，求证：BE＝EF．
（3）如图2，若E是线段AC延长线上一点，其他条件不变，且BE∥AF，求tan∠AFC的值．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）tan∠AFC的值是﹣2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB∥CD，∠ADC＝∠ABC＝60°，AD＝CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°，△ACD是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠DAE＝∠DCF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）．
（2）证明：∵AB＝CB，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AB＝AD，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE＝DE，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∴∠EDF＝∠CDE+∠CDF＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE，
∴BE＝EF．
（3）解：如图2，点E是线段AC延长线上一点，
∵AD＝CD，∠DAE＝∠DCF，AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，
∵BE∥CF，
∴△ECB∽△ACF，
∴＝，
∴CF•EC＝AC•CB，
作AH⊥BF于点H，设AC＝CB＝a，AE＝CF＝x，则EC＝x﹣a，
∴x（x﹣a）＝a2，
解关于x的方程得x1＝a，x2＝a（不符合题意，舍去），
∴CF＝a，
∵∠AHF＝90°，∠ACB＝60°，
∴AH＝AC•sin60°＝a，CH＝AC•cos60°＝a，
∴FH＝CF+CH＝a+a＝a，
∴tan∠AFC＝＝＝﹣2，
∴tan∠AFC的值是﹣2．
7．（2023•临安区一模）如图，正方形ABCD，对角线AC与BD交于点O，E是线段OC上一点，以BE为边在BD的右下方作等边三角形BEF，连结DE，DF．
（1）求证：△ABE≌△ADE．
（2）∠BDF的度数改变吗？若不变，请求出这个角的值．
（3）若，求FD的最小值．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）30°；
（3）2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ADE，
∴EB＝ED，
∵△BEF是等边三角形，
∴EB＝EF，∠BEF＝60°，
∴EB＝EF＝ED，
∴点E是△BDF是外心，
∴∠BDF＝∠BEF＝30°；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BCD＝90°，
∴BD＝BC＝4，
∵∠BDF＝30°，点E在线段OC上运动，
∴观察图象可知当点E与O重合时，AF的长最小，此时BF⊥DF，
∴DF＝BD•cos30°＝4×＝2．
∴DF的最小值为2．
8．（2023•上城区一模）点E、F分别为正方形ABCD边CD、AD上一点，满足AF＝CE，连结BF和BE．
（1）求证：△AFB≌△CEB；
（2）过点E作EM⊥BF交AB于点M，垂足为点N．
①判断△MBE的形状，并说明理由；
②当M在AB边上时，设∠ABF＝α，△BMN和△BFA的面积分别是S1和S2，求证：．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）①△MBE是等腰三角形，理由见解答；
②证明过程见解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠A＝∠C＝90°，
在△AFB和△CEB中，
，
∴△AFB≌△CEB（SAS）；
（2）①解：△MBE是等腰三角形，理由如下：
∵△AFB≌△CEB，
∴∠AFB＝∠CEB，
∵EM⊥BF，
∴∠BNM＝∠A＝90°，
∴∠BMN＝∠AFB，
∴∠BMN＝∠CEB，
∵AB∥CD，
∴∠EBM＝∠CEB，
∴∠BMN＝∠EBM，
∴EB＝EM，
∴△MBE是等腰三角形；
②证明：∵△AFB≌△CEB，
∴∠ABF＝∠CBE＝α，
∵∠BNM＝∠A＝90°，∠MBN＝∠FBA，
∴△BMN∽△BFA，
∵△BMN和△BFA的面积分别是S1和S2，
∴＝（）2，
如图，过点E作EG⊥AB于点G，
∵EB＝EM，
∴∠BEG＝∠MEG，BG＝MG＝BM，
∵∠EGB＝∠CBG＝∠C＝90°，
∴四边形EGBC是矩形，
∴EG∥BC，
∴∠BEG＝∠CBE＝α，
∴sin∠BEG＝sinα＝＝，
∴＝2sinα，
∴．
五．圆周角定理（共1小题）
9．（2023•滨江区一模）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
【答案】（1）见解析；
（2）GE的长为；
（3）见解析．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴BF＝CD；
（2）解：如图所示：连接BC，
由（1）得：，CD＝BF＝4，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，
解得：，
∴GE的长为；
（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，
∵，
∴，
在△OCG和△OBG中，
，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC为半径，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴．
六．圆的综合题（共3小题）
10．（2023•萧山区一模）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，点E是上一点，连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G，连接AC，AD，FG．
（1）若∠AFO＝60°，求∠CGO的度数．
（2）求证：AC2＝AG•CF．
（3）设∠AFO＝α，△CFG的面积为S1，△AOF的面积为S2，求证：＝tanα﹣1．
【答案】（1）75°；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【解答】（1）解：∵AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，
∴＝90°，
∴∠D＝∠E＝∠ACD＝∠BAC＝45°，
又∵∠AFO＝∠D+∠DAE＝60°，
∴∠DAE＝15°，
∴∠DCE＝∠DAE＝15°，
∴∠AGC＝90°﹣∠DCE＝75°；
（2）证明：∵∠ACG＝∠ACD+∠CDE＝45°+∠CDE，∠AFC＝∠D+∠DAE＝45°+∠DAE，
∴∠ACG＝∠AFC，
又∵∠ACF＝∠CAG＝45°，
∴△ACF∽△GAC，
∴，
∴AC2＝AG•CF．
（3）证明：∵S△ACD＝，S四边形ACGF＝AG•CF，
由（2）知AC2＝AG•CF，
∴S△ACD＝S四边形ACGF，
∴S△ACD﹣S△ACO＝S四边形ACGF﹣S△ACO，
∴S△AFD＝S△CGF，
∴＝＝﹣1＝﹣1＝tanα﹣1．
11．（2023•杭州一模）如图，点A，B，C分别是⊙O上的三等分点，连接AB，BC，CA．点D，E分别是AC，BC上的点，且BE＝CD．过点D作EO的垂线，垂足为H，与⊙O分别交于N、M，与边AB交于F点．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）探索FN与MD的数量关系，并加以证明；
（3）点E从点B沿BC方向运动到点C，点H也随之运动，若⊙O的半径为2，则点H运动的路径长是多少？
【答案】（1）证明见解答；
（2）FN＝MD，证明见解答；
（3）点H运动的路径长是．
【解答】（1）证明：∵点A，B，C分别是⊙O上的三等分点，
∴＝＝，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）解：FN＝MD，
证明：如图1，连接OC、OD、OE、EF，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠OBE＝∠OCD＝30°，
∵BE＝CD，
∴△OBE≌△OCD（SAS），
∴OE＝OD，∠BOE＝∠COD，
∴∠EOD＝∠COE+∠COD＝∠COE+∠BOE＝∠BOC＝120°，
∴∠OED＝∠ODE＝30°，
∵DH⊥EO交EO的延长线于点H，
∴∠DHE＝90°，
∴∠EDF＝60°，
∵∠CDE＝180°﹣∠EDF﹣∠ADF＝120°﹣∠ADF，∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝120°﹣∠ADF，
∴∠CDE＝∠AFD，
∵BC＝AC，BE＝CD，
∴CE＝AD，
∴△CDE≌△AFD（AAS），
∵DE＝FD，
∴△DEF是等边三角形，
∵EH⊥DF，
∴FH＝DH，NH＝MH，
∴FN＝MD．
（3）解：如图2，延长BO交AC于点K，连接并延长KH交AB于点L，
∵∠OBC＝∠OBA＝30°，
∴BK平分∠ABC，
∴BK⊥AC，AK＝CK，
∴∠OKD＝∠OHD＝90°，
取OD的中点I，连接IK、IH，则IK＝IH＝IO＝ID＝OD，
∴K、H、O、D四点都在以OD为直径的圆上，
∴∠OKH＝∠ODH＝30°，
∴∠OKH＝∠OBC，
∴KH∥BC，
∴点H在过点K与BC平行的直线上运动，
∴线段KL就是点E从点B运动到点C时点H的运动路径，
∵∠OKC＝90°，∠OCK＝30°，OC＝2，
∴OK＝OC＝1，
∴AK＝CK＝＝＝，
∵∠A＝60°，∠AKL＝∠ACB＝60°，
∴∠ALK＝60°，
∴△ALK是等边三角形，
∵KL＝AK＝，
∴点H运动的路径长是．
12．（2023•桐庐县一模）如图1，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点D是直径AB右侧半圆上一点，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC交DE于点P．
（1）求证：AC•PE＝AP•BC．
（2）连结OC、AD，若AD∥OC，求证：PE＝PD．
（3）如图2，连结CD，若CD是⊙O的切线，求证：PE＝PD．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）证明见解答．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴BC⊥AB，
∵DE⊥AB于点E，AC交DE于点P，
∴PE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴＝，
∴AC•PE＝AP•BC．
（2）如图1，延长AD、BC交于点F，
∵AD∥OC，
∴＝＝1，
∵PE∥CB，
∴△APE∽△ACB，
∴＝，
∵PD∥CF，
∴△APD∽△ACF，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝1，
∴PE＝PD．
（3）如图2，连结AD并延长AD、BC交于点G，连结BD、OD、OC，
∵CB、CD都是⊙O的切线，
∴CB＝CD，∠OCB＝∠OCD，
∴OC⊥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AG⊥BD，
∴AG∥OC，
∴＝＝1，
∵PE∥CB，
∴△APE∽△ACB，
∴＝，
∵PD∥CG，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝1，
∴PE＝PD．
七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2023•萧山区一模）如图，正方形ABCD中，点M是对角线BD上一点，连结AM并延长交BC于点E，连结CM．
（1）求证：AM＝CM．
（2）若∠CME＝45°，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）1．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADM＝∠CDM＝45°，
在△ADM和△CDM中，
，
∴△ADM≌△CDM（SAS），
∴AM＝CM；
（2）解：∵△ADM≌△CDM，
∴∠AMD＝∠CMD，
∵∠CME＝45°，
∴∠AMC＝135°．
∴∠AMD＝∠CMD＝∠AMC＝67.5°，
∵∠ADM＝∠CDM＝45°，
∴∠DAM＝∠DCM＝67.5°，
∴∠DMC＝∠DCM＝67.5°，
∴DC＝DM．
设正方形的边长为a，则AB＝CD＝DM＝a，BD＝AB＝a，
∴BM＝BD﹣DM＝（1）a．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABM＝45°，
∴∠ABM＝∠CME＝45°．
∵∠AMD＝∠CMD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAM＝∠BCM，
∴△ABM∽△CME，
∴．
∴＝﹣1．
八．相似形综合题（共2小题）
14．（2023•桐庐县一模）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与AD边相交于点E，若∠D＝60°．
（1）求：．
（2）如图2，连结CE并延长，与BA延长线相交于点F，求证：AF•DE＝CD2．
（3）在（2）条件下，连结DF，若AB＝4，求△DEF的面积．
【答案】（1）；
（2）证明见解析部分；
（3）4．
【解答】（1）解：如图1中，过点A作AH⊥BE于点H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB＝30°，
∴AB＝AE，
∵AH⊥BE，
∴BH＝EH，
∵cos∠ABH＝＝，
∴＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BF∥CD，AB＝CD，
∵AB＝AE，
∴AE＝CD，
∵AF∥CD，
∴△AFE∽△DCE，
∴＝，
∴CD2＝AF•DE；
（3）解：连接DF，过点F作FH⊥AE于点H．
∵AD∥BC，
∴∠FAH＝∠ABC＝60°，
∴FH＝AF•cos60°＝AF，
∵CD＝4，
∴AF•DE＝CD2＝16，
∵S△DEF＝•DE•FH＝•AF•DE＝4．
15．（2023•西湖区一模）已知E是正方形ABCD边CD上任意一点，
（1）将△ADE沿AE翻折至△AEF，
①如图1，若F点恰好在对角线AC上，，求AB的长．
②如图2，若点E是CD中点，若S△ADE＝2，射线AF与BC边交于点G，求四边形EFGC的面积．
（2）如图3，点Q是边BC上任意一点，记DQ与AE的交于点H，射线AE与射线BC交于点P，求证：BP•HE＝AH•QC．
【答案】（1）①；
②1；
（2）证明见解答过程．
【解答】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，∠ACD＝45°，AB＝CD，
设AB＝x＝CD，
∵，
∴，
∵将△ADE沿AE翻折至△AEF，
∴△ADE≌△AEF，
∴，
∴，即，
解得，
即；
②分别延长AE，BC，交于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝BC，
∴∠M＝∠DAE，∠D＝∠ECM，
∵点E是CD中点，
∴，
∴，△ADE≌△MCE（AAS），
解得：，
∴，
∵将△ADE沿AE翻折至△AEF，
∴△ADE≌△AEF，
∴∠DAE＝∠FAE，
∴∠M＝∠FAE，
∴AG＝MG，
设CG＝t，则，，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：AB2+BG2＝AG2，
即，
解得：，
∴，
∴四边形EFGC的面积＝；
（2）证明：设AD＝x，CQ＝m，CP＝y，则BP＝x+y，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAH＝∠QPH，∠ADH＝∠PQH，
∴△ADH∽△PQH，
∴，
∴xPH＝（m+y）AH，
又∵∠AED＝∠PEC，
∴△ADE∽△PCE，
∴，
∴，
∴yAH+yHE＝xPH﹣xHE，
即yAH+（x+y）HE＝xPH，
∴yAH+（x+y）HE＝（m+y）AH，
∴（x+y）HE＝mAH，
∴，
∴，
即BP•HE＝AH•QC．
浙江省杭州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（9套）-03解答题（提升题）2
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
1．（2023•滨江区一模）直线y1＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）与双曲线（k为常数，且k2≠0）相交于A（2，﹣4），B（4，n）两点，O为坐标原点．
（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式．
（2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
（3）求△OAB的面积．
2．（2023•萧山区一模）已知函数和函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1k2≠0）．
（1）若两函数的图象交于点A（1，4），点B（a，1），求函数y1，y2的表达式．
（2）若点C（﹣1，n）向上平移6个单位恰好落在函数y1上，又点C（﹣1，n）向右平移2个单位恰好落在函数y2上，且k1+k2＝0，求b的值．
二．抛物线与x轴的交点（共2小题）
3．（2023•西湖区一模）已知二次函数y＝x2﹣（a+2）x+2a+1，
（1）若a＝4，求函数的对称轴和顶点坐标．
（2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值．
（3）若抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若点A（m，n），B（2﹣m，p）是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p＞﹣8．
4．（2023•滨江区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（m，0）两点．
（1）当a＝1，b＝2时，求m的值．
（2）当0＜a＜2，c＝2时，
①求证：m＞1．
②点C（x1，y1），D（x2，y2）在该抛物线上，且x1＞x2，x1+x2＜2，试比较y1与y2的大小．
三．二次函数综合题（共1小题）
5．（2023•萧山区一模）已知二次函数y＝ax2+2x+1（a≠0）．
（1）若，试求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
（2）若该二次函数图象的顶点坐标为（s，t），求证：t＝s+1．
（3）若a＜0，且当自变量x满足0≤x≤m时，﹣2≤y≤2，求m的值．
四．四边形综合题（共3小题）
6．（2023•淳安县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE．
（1）如图1，若E是线段AC上任意一点，连接EF，DF，DE，求证：△ADE≌△CDF．
（2）在第（1）题的前提下，求证：BE＝EF．
（3）如图2，若E是线段AC延长线上一点，其他条件不变，且BE∥AF，求tan∠AFC的值．
7．（2023•临安区一模）如图，正方形ABCD，对角线AC与BD交于点O，E是线段OC上一点，以BE为边在BD的右下方作等边三角形BEF，连结DE，DF．
（1）求证：△ABE≌△ADE．
（2）∠BDF的度数改变吗？若不变，请求出这个角的值．
（3）若，求FD的最小值．
8．（2023•上城区一模）点E、F分别为正方形ABCD边CD、AD上一点，满足AF＝CE，连结BF和BE．
（1）求证：△AFB≌△CEB；
（2）过点E作EM⊥BF交AB于点M，垂足为点N．
①判断△MBE的形状，并说明理由；
②当M在AB边上时，设∠ABF＝α，△BMN和△BFA的面积分别是S1和S2，求证：．
五．圆周角定理（共1小题）
9．（2023•滨江区一模）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
六．圆的综合题（共3小题）
10．（2023•萧山区一模）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，点E是上一点，连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G，连接AC，AD，FG．
（1）若∠AFO＝60°，求∠CGO的度数．
（2）求证：AC2＝AG•CF．
（3）设∠AFO＝α，△CFG的面积为S1，△AOF的面积为S2，求证：＝tanα﹣1．
11．（2023•杭州一模）如图，点A，B，C分别是⊙O上的三等分点，连接AB，BC，CA．点D，E分别是AC，BC上的点，且BE＝CD．过点D作EO的垂线，垂足为H，与⊙O分别交于N、M，与边AB交于F点．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）探索FN与MD的数量关系，并加以证明；
（3）点E从点B沿BC方向运动到点C，点H也随之运动，若⊙O的半径为2，则点H运动的路径长是多少？
12．（2023•桐庐县一模）如图1，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点D是直径AB右侧半圆上一点，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC交DE于点P．
（1）求证：AC•PE＝AP•BC．
（2）连结OC、AD，若AD∥OC，求证：PE＝PD．
（3）如图2，连结CD，若CD是⊙O的切线，求证：PE＝PD．
七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2023•萧山区一模）如图，正方形ABCD中，点M是对角线BD上一点，连结AM并延长交BC于点E，连结CM．
（1）求证：AM＝CM．
（2）若∠CME＝45°，求的值．
八．相似形综合题（共2小题）
14．（2023•桐庐县一模）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与AD边相交于点E，若∠D＝60°．
（1）求：．
（2）如图2，连结CE并延长，与BA延长线相交于点F，求证：AF•DE＝CD2．
（3）在（2）条件下，连结DF，若AB＝4，求△DEF的面积．
15．（2023•西湖区一模）已知E是正方形ABCD边CD上任意一点，
（1）将△ADE沿AE翻折至△AEF，
①如图1，若F点恰好在对角线AC上，，求AB的长．
②如图2，若点E是CD中点，若S△ADE＝2，射线AF与BC边交于点G，求四边形EFGC的面积．
（2）如图3，点Q是边BC上任意一点，记DQ与AE的交于点H，射线AE与射线BC交于点P，求证：BP•HE＝AH•QC．
浙江省杭州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（9套）-03解答题（提升题）2
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
1．（2023•滨江区一模）直线y1＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）与双曲线（k为常数，且k2≠0）相交于A（2，﹣4），B（4，n）两点，O为坐标原点．
（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式．
（2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
（3）求△OAB的面积．
【答案】（1）y1＝x﹣6，；
（2）0＜x＜2或；
（3）6．
【解答】解：（1）把A（2，﹣4）代入y2＝得，﹣4＝，
解得k2＝﹣8，
∴y2＝﹣，
把点B（4，n）代入y2＝﹣得到，n＝﹣＝﹣2，
∴B（4，﹣2），
把A（2，﹣4），B（4，﹣2）代入y1＝k1x+b得，，
解得，
∴y1＝x﹣6，
（2）由图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞4；
（3）S△OAB＝×4×2＝6，
即△OAB的面积是6．
2．（2023•萧山区一模）已知函数和函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1k2≠0）．
（1）若两函数的图象交于点A（1，4），点B（a，1），求函数y1，y2的表达式．
（2）若点C（﹣1，n）向上平移6个单位恰好落在函数y1上，又点C（﹣1，n）向右平移2个单位恰好落在函数y2上，且k1+k2＝0，求b的值．
【答案】（1）y1＝，y2＝﹣x+5；
（2）b＝﹣6．
【解答】解：（1）∵点A（1，4），点B（a，1）在函数图象上，
∴k1＝1×4＝a×1，
∴k1＝4，a＝4，
∴函数y1的表达式为y1＝，B（4，1），
把点A（1，4），点B（4，1）代入y2＝k2x+b，得，
解得，
∴函数y2的表达式为y2＝﹣x+5；
（2）∵点C（﹣1，n）向上平移6个单位恰好落在函数y1上，
∴点（﹣1，n+6）在函数上，
∴k1＝﹣1×（n+6）＝﹣n﹣6，
∵点C（﹣1，n）向右平移2个单位恰好落在函数y2上，
∴点（1，n）在函数y2＝k2x+b上，
∴n＝k2+b，
∴k2＝n﹣b，
∵k1+k2＝0，
∴﹣n﹣6+（n﹣b）＝0，
∴b＝﹣6．
二．抛物线与x轴的交点（共2小题）
3．（2023•西湖区一模）已知二次函数y＝x2﹣（a+2）x+2a+1，
（1）若a＝4，求函数的对称轴和顶点坐标．
（2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值．
（3）若抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若点A（m，n），B（2﹣m，p）是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p＞﹣8．
【答案】（1）x＝3，（3，0）；
（2）a＝2；
（3）见详解．
【解答】解：（1）∵a＝4，
∴y＝x2﹣（4+2）x+8+1，
∴y＝x2﹣6x+9，
∴y＝（x﹣3）2，
∴函数的对称轴和顶点坐标分别为：直线x＝3，（3，0）；
（2）函数图象向下平移一个单位得y＝x2﹣（a+2）x+2a+1﹣1，
∴y＝x2﹣（a+2）x+2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝（a+2）2﹣4×2a＝0，
解方程得：a＝2；
（3）∵抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，
∴（﹣1，y0）为抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴，
∴a＝﹣4，
∴抛物线为：y＝x2+2x﹣7，
∵A（m，n），B（2﹣m，p）在抛物线上，
∴n＝m2+2m﹣7，p＝（2﹣m）2+2（2﹣m）﹣7，
∴n+p＝m2+2m﹣7+（m﹣2）2+2（2﹣m）﹣7，
∴n+p＝2（m﹣1）2﹣8，
∵A（m，n），B（2﹣m，p）是这条抛物线上不同的两点，
∴m≠2﹣m，
∴m≠1
∴n+p＞﹣8．
4．（2023•滨江区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（m，0）两点．
（1）当a＝1，b＝2时，求m的值．
（2）当0＜a＜2，c＝2时，
①求证：m＞1．
②点C（x1，y1），D（x2，y2）在该抛物线上，且x1＞x2，x1+x2＜2，试比较y1与y2的大小．
【答案】（1）﹣3；
（2）①见解析；②y1＜y2．
【解答】解：（1）当a＝1，b＝2时，y＝x2+2x+c，
把A（1，0）代入得，0＝1+2+c，
解得c＝﹣3，
∴y＝x2+2x﹣3，
把B（m，0）代入y＝x2+2x﹣3得，0＝m2+2m﹣3，
解得m＝1或﹣3；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（m，0）两点，
∴m＝﹣3；
（2）①把A（1，0），B（m，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得，
a+b+c＝0，am2+bm+c＝0，
∵c＝2，
∴a+b+2＝0，am2+bm+2＝0，
由b＝﹣a﹣2得到am2﹣（a+2）m+2＝0，
则Δ＝（a+2）2﹣4a×2＝（a﹣2）2≥0，
∴，
∴m1＝1（舍去），，
∵0＜a＜2，
∴m＞1．
②由①得b＝﹣a﹣2，c＝2，
∴y＝ax2﹣（a+2）x+2，
把C（x1，y1），D（x2，y2）代入得y1，y2，
∵x1＞x2，x1+x2＜2，
∴x1＜2﹣x2，
∵0＜a＜2，
∴2a﹣（a+2）＝a﹣2＜0，
∴a（x1+x2）＜0，
∴y1﹣y2＝（x1﹣x2），
∴y1＜y2．
三．二次函数综合题（共1小题）
5．（2023•萧山区一模）已知二次函数y＝ax2+2x+1（a≠0）．
（1）若，试求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
（2）若该二次函数图象的顶点坐标为（s，t），求证：t＝s+1．
（3）若a＜0，且当自变量x满足0≤x≤m时，﹣2≤y≤2，求m的值．
【答案】（1）该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣2+，0），（﹣2﹣，0）；
（2）证明见解答过程；
（3）m的值为3．
【解答】（1）解：当a＝时，y＝x2+2x+1，
令y＝0得0＝x2+2x+1，
解得x＝﹣2+或x＝﹣2﹣，
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣2+，0），（﹣2﹣，0）；
（2）证明：∵二次函数y＝ax2+2x+1图象的顶点坐标为（s，t），
∴s＝﹣＝﹣，t＝＝1﹣，
∴t＝1+s；
（3）解：在y＝ax2+2x+1中，令x＝0得y＝1，
由（2）知抛物线y＝ax2+2x+1顶点坐标为（﹣，1﹣），
∵a＜0，当0≤x≤m时，﹣2≤y≤2，
∴当x＝m时函数值最小为﹣2，当x＝﹣时，函数值（1﹣）最大为2，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴m的值为3．
四．四边形综合题（共3小题）
6．（2023•淳安县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE．
（1）如图1，若E是线段AC上任意一点，连接EF，DF，DE，求证：△ADE≌△CDF．
（2）在第（1）题的前提下，求证：BE＝EF．
（3）如图2，若E是线段AC延长线上一点，其他条件不变，且BE∥AF，求tan∠AFC的值．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）tan∠AFC的值是﹣2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB∥CD，∠ADC＝∠ABC＝60°，AD＝CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°，△ACD是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴∠DAE＝∠DCF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）．
（2）证明：∵AB＝CB，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AB＝AD，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE＝DE，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∴∠EDF＝∠CDE+∠CDF＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE，
∴BE＝EF．
（3）解：如图2，点E是线段AC延长线上一点，
∵AD＝CD，∠DAE＝∠DCF，AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，
∵BE∥CF，
∴△ECB∽△ACF，
∴＝，
∴CF•EC＝AC•CB，
作AH⊥BF于点H，设AC＝CB＝a，AE＝CF＝x，则EC＝x﹣a，
∴x（x﹣a）＝a2，
解关于x的方程得x1＝a，x2＝a（不符合题意，舍去），
∴CF＝a，
∵∠AHF＝90°，∠ACB＝60°，
∴AH＝AC•sin60°＝a，CH＝AC•cos60°＝a，
∴FH＝CF+CH＝a+a＝a，
∴tan∠AFC＝＝＝﹣2，
∴tan∠AFC的值是﹣2．
7．（2023•临安区一模）如图，正方形ABCD，对角线AC与BD交于点O，E是线段OC上一点，以BE为边在BD的右下方作等边三角形BEF，连结DE，DF．
（1）求证：△ABE≌△ADE．
（2）∠BDF的度数改变吗？若不变，请求出这个角的值．
（3）若，求FD的最小值．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）30°；
（3）2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ADE，
∴EB＝ED，
∵△BEF是等边三角形，
∴EB＝EF，∠BEF＝60°，
∴EB＝EF＝ED，
∴点E是△BDF是外心，
∴∠BDF＝∠BEF＝30°；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BCD＝90°，
∴BD＝BC＝4，
∵∠BDF＝30°，点E在线段OC上运动，
∴观察图象可知当点E与O重合时，AF的长最小，此时BF⊥DF，
∴DF＝BD•cos30°＝4×＝2．
∴DF的最小值为2．
8．（2023•上城区一模）点E、F分别为正方形ABCD边CD、AD上一点，满足AF＝CE，连结BF和BE．
（1）求证：△AFB≌△CEB；
（2）过点E作EM⊥BF交AB于点M，垂足为点N．
①判断△MBE的形状，并说明理由；
②当M在AB边上时，设∠ABF＝α，△BMN和△BFA的面积分别是S1和S2，求证：．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）①△MBE是等腰三角形，理由见解答；
②证明过程见解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠A＝∠C＝90°，
在△AFB和△CEB中，
，
∴△AFB≌△CEB（SAS）；
（2）①解：△MBE是等腰三角形，理由如下：
∵△AFB≌△CEB，
∴∠AFB＝∠CEB，
∵EM⊥BF，
∴∠BNM＝∠A＝90°，
∴∠BMN＝∠AFB，
∴∠BMN＝∠CEB，
∵AB∥CD，
∴∠EBM＝∠CEB，
∴∠BMN＝∠EBM，
∴EB＝EM，
∴△MBE是等腰三角形；
②证明：∵△AFB≌△CEB，
∴∠ABF＝∠CBE＝α，
∵∠BNM＝∠A＝90°，∠MBN＝∠FBA，
∴△BMN∽△BFA，
∵△BMN和△BFA的面积分别是S1和S2，
∴＝（）2，
如图，过点E作EG⊥AB于点G，
∵EB＝EM，
∴∠BEG＝∠MEG，BG＝MG＝BM，
∵∠EGB＝∠CBG＝∠C＝90°，
∴四边形EGBC是矩形，
∴EG∥BC，
∴∠BEG＝∠CBE＝α，
∴sin∠BEG＝sinα＝＝，
∴＝2sinα，
∴．
五．圆周角定理（共1小题）
9．（2023•滨江区一模）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
【答案】（1）见解析；
（2）GE的长为；
（3）见解析．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴BF＝CD；
（2）解：如图所示：连接BC，
由（1）得：，CD＝BF＝4，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，
解得：，
∴GE的长为；
（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，
∵，
∴，
在△OCG和△OBG中，
，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC为半径，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴．
六．圆的综合题（共3小题）
10．（2023•萧山区一模）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，点E是上一点，连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G，连接AC，AD，FG．
（1）若∠AFO＝60°，求∠CGO的度数．
（2）求证：AC2＝AG•CF．
（3）设∠AFO＝α，△CFG的面积为S1，△AOF的面积为S2，求证：＝tanα﹣1．
【答案】（1）75°；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【解答】（1）解：∵AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，
∴＝90°，
∴∠D＝∠E＝∠ACD＝∠BAC＝45°，
又∵∠AFO＝∠D+∠DAE＝60°，
∴∠DAE＝15°，
∴∠DCE＝∠DAE＝15°，
∴∠AGC＝90°﹣∠DCE＝75°；
（2）证明：∵∠ACG＝∠ACD+∠CDE＝45°+∠CDE，∠AFC＝∠D+∠DAE＝45°+∠DAE，
∴∠ACG＝∠AFC，
又∵∠ACF＝∠CAG＝45°，
∴△ACF∽△GAC，
∴，
∴AC2＝AG•CF．
（3）证明：∵S△ACD＝，S四边形ACGF＝AG•CF，
由（2）知AC2＝AG•CF，
∴S△ACD＝S四边形ACGF，
∴S△ACD﹣S△ACO＝S四边形ACGF﹣S△ACO，
∴S△AFD＝S△CGF，
∴＝＝﹣1＝﹣1＝tanα﹣1．
11．（2023•杭州一模）如图，点A，B，C分别是⊙O上的三等分点，连接AB，BC，CA．点D，E分别是AC，BC上的点，且BE＝CD．过点D作EO的垂线，垂足为H，与⊙O分别交于N、M，与边AB交于F点．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）探索FN与MD的数量关系，并加以证明；
（3）点E从点B沿BC方向运动到点C，点H也随之运动，若⊙O的半径为2，则点H运动的路径长是多少？
【答案】（1）证明见解答；
（2）FN＝MD，证明见解答；
（3）点H运动的路径长是．
【解答】（1）证明：∵点A，B，C分别是⊙O上的三等分点，
∴＝＝，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）解：FN＝MD，
证明：如图1，连接OC、OD、OE、EF，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠OBE＝∠OCD＝30°，
∵BE＝CD，
∴△OBE≌△OCD（SAS），
∴OE＝OD，∠BOE＝∠COD，
∴∠EOD＝∠COE+∠COD＝∠COE+∠BOE＝∠BOC＝120°，
∴∠OED＝∠ODE＝30°，
∵DH⊥EO交EO的延长线于点H，
∴∠DHE＝90°，
∴∠EDF＝60°，
∵∠CDE＝180°﹣∠EDF﹣∠ADF＝120°﹣∠ADF，∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝120°﹣∠ADF，
∴∠CDE＝∠AFD，
∵BC＝AC，BE＝CD，
∴CE＝AD，
∴△CDE≌△AFD（AAS），
∵DE＝FD，
∴△DEF是等边三角形，
∵EH⊥DF，
∴FH＝DH，NH＝MH，
∴FN＝MD．
（3）解：如图2，延长BO交AC于点K，连接并延长KH交AB于点L，
∵∠OBC＝∠OBA＝30°，
∴BK平分∠ABC，
∴BK⊥AC，AK＝CK，
∴∠OKD＝∠OHD＝90°，
取OD的中点I，连接IK、IH，则IK＝IH＝IO＝ID＝OD，
∴K、H、O、D四点都在以OD为直径的圆上，
∴∠OKH＝∠ODH＝30°，
∴∠OKH＝∠OBC，
∴KH∥BC，
∴点H在过点K与BC平行的直线上运动，
∴线段KL就是点E从点B运动到点C时点H的运动路径，
∵∠OKC＝90°，∠OCK＝30°，OC＝2，
∴OK＝OC＝1，
∴AK＝CK＝＝＝，
∵∠A＝60°，∠AKL＝∠ACB＝60°，
∴∠ALK＝60°，
∴△ALK是等边三角形，
∵KL＝AK＝，
∴点H运动的路径长是．
12．（2023•桐庐县一模）如图1，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点D是直径AB右侧半圆上一点，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC交DE于点P．
（1）求证：AC•PE＝AP•BC．
（2）连结OC、AD，若AD∥OC，求证：PE＝PD．
（3）如图2，连结CD，若CD是⊙O的切线，求证：PE＝PD．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）证明见解答．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴BC⊥AB，
∵DE⊥AB于点E，AC交DE于点P，
∴PE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴＝，
∴AC•PE＝AP•BC．
（2）如图1，延长AD、BC交于点F，
∵AD∥OC，
∴＝＝1，
∵PE∥CB，
∴△APE∽△ACB，
∴＝，
∵PD∥CF，
∴△APD∽△ACF，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝1，
∴PE＝PD．
（3）如图2，连结AD并延长AD、BC交于点G，连结BD、OD、OC，
∵CB、CD都是⊙O的切线，
∴CB＝CD，∠OCB＝∠OCD，
∴OC⊥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AG⊥BD，
∴AG∥OC，
∴＝＝1，
∵PE∥CB，
∴△APE∽△ACB，
∴＝，
∵PD∥CG，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝1，
∴PE＝PD．
七．相似三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2023•萧山区一模）如图，正方形ABCD中，点M是对角线BD上一点，连结AM并延长交BC于点E，连结CM．
（1）求证：AM＝CM．
（2）若∠CME＝45°，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）1．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADM＝∠CDM＝45°，
在△ADM和△CDM中，
，
∴△ADM≌△CDM（SAS），
∴AM＝CM；
（2）解：∵△ADM≌△CDM，
∴∠AMD＝∠CMD，
∵∠CME＝45°，
∴∠AMC＝135°．
∴∠AMD＝∠CMD＝∠AMC＝67.5°，
∵∠ADM＝∠CDM＝45°，
∴∠DAM＝∠DCM＝67.5°，
∴∠DMC＝∠DCM＝67.5°，
∴DC＝DM．
设正方形的边长为a，则AB＝CD＝DM＝a，BD＝AB＝a，
∴BM＝BD﹣DM＝（1）a．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABM＝45°，
∴∠ABM＝∠CME＝45°．
∵∠AMD＝∠CMD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAM＝∠BCM，
∴△ABM∽△CME，
∴．
∴＝﹣1．
八．相似形综合题（共2小题）
14．（2023•桐庐县一模）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与AD边相交于点E，若∠D＝60°．
（1）求：．
（2）如图2，连结CE并延长，与BA延长线相交于点F，求证：AF•DE＝CD2．
（3）在（2）条件下，连结DF，若AB＝4，求△DEF的面积．
【答案】（1）；
（2）证明见解析部分；
（3）4．
【解答】（1）解：如图1中，过点A作AH⊥BE于点H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB＝30°，
∴AB＝AE，
∵AH⊥BE，
∴BH＝EH，
∵cos∠ABH＝＝，
∴＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BF∥CD，AB＝CD，
∵AB＝AE，
∴AE＝CD，
∵AF∥CD，
∴△AFE∽△DCE，
∴＝，
∴CD2＝AF•DE；
（3）解：连接DF，过点F作FH⊥AE于点H．
∵AD∥BC，
∴∠FAH＝∠ABC＝60°，
∴FH＝AF•cos60°＝AF，
∵CD＝4，
∴AF•DE＝CD2＝16，
∵S△DEF＝•DE•FH＝•AF•DE＝4．
15．（2023•西湖区一模）已知E是正方形ABCD边CD上任意一点，
（1）将△ADE沿AE翻折至△AEF，
①如图1，若F点恰好在对角线AC上，，求AB的长．
②如图2，若点E是CD中点，若S△ADE＝2，射线AF与BC边交于点G，求四边形EFGC的面积．
（2）如图3，点Q是边BC上任意一点，记DQ与AE的交于点H，射线AE与射线BC交于点P，求证：BP•HE＝AH•QC．
【答案】（1）①；
②1；
（2）证明见解答过程．
【解答】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，∠ACD＝45°，AB＝CD，
设AB＝x＝CD，
∵，
∴，
∵将△ADE沿AE翻折至△AEF，
∴△ADE≌△AEF，
∴，
∴，即，
解得，
即；
②分别延长AE，BC，交于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝BC，
∴∠M＝∠DAE，∠D＝∠ECM，
∵点E是CD中点，
∴，
∴，△ADE≌△MCE（AAS），
解得：，
∴，
∵将△ADE沿AE翻折至△AEF，
∴△ADE≌△AEF，
∴∠DAE＝∠FAE，
∴∠M＝∠FAE，
∴AG＝MG，
设CG＝t，则，，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：AB2+BG2＝AG2，
即，
解得：，
∴，
∴四边形EFGC的面积＝；
（2）证明：设AD＝x，CQ＝m，CP＝y，则BP＝x+y，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAH＝∠QPH，∠ADH＝∠PQH，
∴△ADH∽△PQH，
∴，
∴xPH＝（m+y）AH，
又∵∠AED＝∠PEC，
∴△ADE∽△PCE，
∴，
∴，
∴yAH+yHE＝xPH﹣xHE，
即yAH+（x+y）HE＝xPH，
∴yAH+（x+y）HE＝（m+y）AH，
∴（x+y）HE＝mAH，
∴，
∴，
即BP•HE＝AH•QC．
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