新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第1章 章末检测试卷(一)(含解析)

章末检测试卷(一)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．若集合X＝{x|x>－1}，下列关系式中成立的为(　　)

A．0⊆X   B．{0}∈X

C．∅∈X   D．{0}⊆X

答案　D

解析　选项A，元素0与集合之间为∈或∉的关系，错误；选项B，集合{0}与集合X之间为⊆或⊇的关系，错误；选项C，∅与集合X之间为⊆或⊇的关系，错误；选项D，集合{0}是集合X的子集，故{0}⊆X正确．

2．已知命题p：“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题綈p为(　　)

A．某班至多有一个男生爱踢足球

B．某班至少有一个男生不爱踢足球

C．某班所有的男生都不爱踢足球

D．某班所有的女生都爱踢足球

答案　B

解析　命题p：“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，即命题綈p为“某班至少有一个男生不爱踢足球”．

3．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数是(　　)

A．1  B．3  C．4  D．6

答案　C

解析　易知A＝{1,2}，又A∪B＝{0,1,2}，所以集合B可以是{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．

4．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为(　　)

A．－2   B．2

C．4   D．2或4

答案　A

解析　若a＝2，则|a|＝2，不符合集合元素的互异性，则a≠2；若|a|＝2，则a＝2或－2，可知a＝2舍去，而当a＝－2时，a－2＝－4，符合题意；若a－2＝2，则a＝4，|a|＝4，不符合集合元素的互异性，则a－2≠2.综上，可知a＝－2.

5.已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A等于(　　)

A．{3}   B．{0,1,2,4,7,8}

C．{1,2}   D．{1,2,3}

答案　C

解析　由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁UB)∩A＝{1,2}．

6．“”是“>0”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　∵“”⇒“>0”，“>0”⇒“或”

∴“”是“>0”的充分不必要条件．

7．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　若a＝0，则不等式等价为2x＋3>0，对于∀x∈R不成立，

若a≠0，则解得a>，

∴命题p为真命题的a的取值范围为，

∴命题p为假命题的a的取值范围是.

8．满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是(　　)

答案　C

解析　由题图A，闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关K1，因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充分不必要条件．由题图B，闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，若要使灯泡R亮，则开关K1必须闭合．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的必要不充分条件．由题图C，闭合开关K1可使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，开关K1一定是闭合的．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件．由题图D，闭合开关K1但不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，灯泡R亮也可不闭合开关K1，只要闭合开关K2即可．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的既不充分又不必要条件．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．已知U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则(　　)

A．M∩N＝{4,6}   B．M∪N＝U

C．(∁UN)∪M＝M   D．(∁UM)∩N＝∁UM

答案　BCD

解析　由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}知，∁UM＝{2,6}，∁UN＝{3,7}，

M∪N＝U，(∁UN)∪M＝M，(∁UM)∩N＝∁UM.

10．设集合S＝{x|－2≤x≤8}，T＝{x|0<x<4}，若集合P⊆(∁RT)∩S，则P可以是(　　)

A．{x|－2≤x≤0}   B．{x|5≤x≤7}

C．{x|－2≤x≤8}   D．{x|1≤x≤5}

答案　AB

解析　(∁RT)∩S＝{x|－2≤x≤0或4≤x≤8}．

11．下列命题中，真命题是(　　)

A．若x，y∈R且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1

B．∀x∈R,2x<x2

C．a＋b＝0的充要条件是＝－1

D．若∃x∈R，x2＋m≤0，则m的取值范围是{m|m≤0}

答案　AD

解析　当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，故C错误；若m>0，则x2＋m>0，所以若∃x∈R，x2＋m≤0，则m的取值范围是{m|m≤0}，故D正确．

12．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为(　　)

A．2  B．－  C.  D．3

答案　BC

解析　由x2＋x－6＝0，可得x＝2或x＝－3.

对于ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；

当a≠0时，x＝－.

由题意知p⇏q，q⇒p，则可得a≠0，此时应有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.

综上可得，a＝－或a＝.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．命题“对任意x∈R，都有x3≥0”的否定为______________________________________．

答案　存在x∈R，使得x3<0

解析　“对任意x∈R”的否定为“存在x∈R”，“x3≥0”的否定为“x3<0”．所以命题“对任意x∈R，都有x3≥0”的否定为“存在x∈R，使得x3<0”．

14．若集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<a}，

(1)若A⊆B，则实数a的取值范围是________．

(2)若a＝1，则A∩(∁RB)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)

答案　(1){a|a>2}　(2){x|1≤x≤2}

解析　(1)若A⊆B，则a>2.

(2)∵B＝{x|x<1}，∴∁RB＝{x|x≥1}．

∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．

15．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．

答案　{m|m>1}

解析　由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，

得AB，即即m>1.

16．若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．

答案　3

解析　具有伙伴关系的元素组是－1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：

(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；

(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5>0.

解　(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，

因此，綈p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，

即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．

(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，

因而是存在量词命题；

又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，

因此，綈p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，

即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”．

18．(12分)已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}．

求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)∁R(A∩B)．

解　由已知得B＝{x|x≥－3}，

(1)A∩B＝{x|－3≤x≤－2}．

(2)A∪B＝{x|x≥－4}．

(3)∁R(A∩B)＝{x|x<－3或x>－2}．

19．(12分)已知集合P＝{2，x，y}，Q＝{2x,2，y2}，且P＝Q，求x，y的值．

解　∵P＝Q，∴或

解得或或

由元素的互异性可知x≠y，

故x＝0，y＝1或x＝，y＝.

20．(12分)已知A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x－1>0}．

(1)求A∩B和A∪B；

(2)若记符号A－B＝{x|x∈A且x∉B}，在图中把表示“集合A－B”的部分用阴影涂黑，并求出A－B.

解　(1)由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}．

所以A∩B＝{x|1<x<2}，A∪B＝{x|x>－1}．

(2)集合A－B如图中的阴影部分所示．

由于A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，

又A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，

所以A－B＝{x|－1<x≤1}．

21．(12分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．

(1)若a＝3，求(∁RP)∩Q；

(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解　因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.

(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，∁RP＝{x|x<4或x>7}，

Q＝{x|－2≤x≤5}，

所以(∁RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}．

(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即PQ，

即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，

解得0≤a≤2，

即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}．

22．(12分)已知a≥，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．

证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤.

证明　因为a≥，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图象的对称轴方程为x＝＝，且0<≤1，当x＝时，y＝＋c.

先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即＋c≤1，所以c≤.

再证充分性：

因为c≤，当x＝时，y的最大值为＋c≤＋＝1，

所以对于任意x∈{x|0≤x≤1}，y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1.

即充分性成立．