备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十三章 §13.4 不等式的证明

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§13.4　不等式的证明考试要求　1.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法与放缩法.2.掌握柯西不等式的用法．知识梳理1．比较法(1)作差比较法已知a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法．(2)作商比较法由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为作商比较法．2．综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或由因导果法．3．分析法从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．4．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．5．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．6．柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)一般形式的柯西不等式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当a≥0，b≥0时，≥.(　√　)(2)用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假设为“a，b，c全不为0”．(　×　)(3)若实数x，y满足不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(　√　)(4)若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则n≥m.(　√　)教材改编题1．若a>b>1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是(　　)A．x>y   B．x<y  C．x≥y   D．x≤y答案　A解析　x－y＝a＋－＝a－b＋＝.由a>b>1，得ab>1，a－b>0，所以>0，即x－y>0，所以x>y.2．已知a，b∈R＋，a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)A．1   B．2C．4   D．8答案　B解析　因为a，b∈R＋，且a＋b＝2，所以＋＝·(a＋b)＝≥＝2(当且仅当a＝b＝1时，等号成立)，即＋的最小值为2.3．函数f(x)＝3＋的最大值为________．答案　解析　函数的定义域为[5,6]，且f(x)>0，f(x)≤·＝，当且仅当3＝，即x＝时取等号，所以f(x)的最大值为. 题型一　综合法与分析法证明不等式例1 已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集为M.(1)求M；(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|<|4＋ab|.(1)解　由|x＋1|＋|x－1|<4，得或或解得－2<x<2，所以M＝(－2,2)．(2)证明　要证2|a＋b|<|4＋ab|，只需证4(a2＋2ab＋b2)<a2b2＋8ab＋16，只需证a2b2－4a2－4b2＋16>0，即证(a2－4)(b2－4)>0.因为a，b∈(－2,2)，所以a2<4，b2<4，所以a2－4<0，b2－4<0.所以(a2－4)(b2－4)>0，所以原不等式成立．思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．跟踪训练1 已知a，b，c为正数，且满足a＋b＋c＝1.证明：(1)1－a≤；(2)2a2＋b2＋c2≥.证明　(1)因为1－a＝b＋c，只需证b＋c≤，即证(b＋c)2≤2(b2＋c2)，即(b－c)2≥0，(b－c)2≥0显然成立，故原式得证．(2)由(1)知，b2＋c2≥，故2a2＋b2＋c2≥2a2＋＝2a2＋＝a2－a＋＝2＋≥，当且仅当a＝，b＝c＝时取等号，故原式得证． 题型二　放缩法证明不等式例2 (1)设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|<a.证明　由a>0，|x－1|<，可得|2x－2|<，又|y－2|<，则|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)|≤|2x－2|＋|y－2|<＋＝a.即|2x＋y－4|<a.(2)设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1.证明　由2n≥n＋k>n(k＝1,2，…，n)，得≤<.当k＝1时，≤<；当k＝2时，≤<；…；当k＝n时，≤<，∴＝≤＋＋…＋<＝1.∴原不等式成立．思维升华 常用的放缩方法有(1)①舍去或加上一些项，如2＋>2；②将分子或分母放大(缩小)，如<，>，<，>(k∈N*，k>1)等．(2)利用函数的单调性．(3)真分数性质“若0<a<b，m>0，则<”．跟踪训练2 求证：＋＋＋…＋<2.证明　∵<＝－(n∈N*，n>1)，∴＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋＝1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－<2.∴原不等式成立． 题型三　柯西不等式例3 (2022·全国甲卷)已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明：(1)a＋b＋2c≤3；(2)若b＝2c，则＋≥3.证明　(1)方法一　(平方转化基本不等式证明)因为a2＋b2＋4c2＝3，所以(a＋b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2＋2(ab＋2bc＋2ac)≤3＋(a2＋b2)＋[b2＋(2c)2]＋[a2＋(2c)2]＝3＋2[a2＋b2＋(2c)2]＝9，当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号，又a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3.方法二　(柯西不等式证明)因为a2＋b2＋4c2＝3，所以根据柯西不等式有3×3＝(a2＋b2＋4c2)·(12＋12＋12)≥(a＋b＋2c)2，当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号．又a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3.(2)因为b＝2c，所以根据(1)有a＋4c≤3，所以＋＝≥＝≥＝3，当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号．思维升华 (1)利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题．(2)利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此，一定不能忘记检验等号成立的条件．跟踪训练3 (2022·咸阳模拟)已知函数f(x)＝|x＋2|＋2|x－1|(x∈R)的最小值为m.(1)求m的值；(2)设a，b，c均为正数，2a＋2b＋c＝m，求a2＋b2＋c2的最小值．解　(1)由题意得f(x)＝当x≤－2时，f(x)≥6；当－2<x<1时，3<f(x)<6；当x≥1时，f(x)≥3，综上，f(x)min＝3，故m＝3.(2)因为2a＋2b＋c＝3，由柯西不等式可得，(a2＋b2＋c2)(22＋22＋12)≥(2a＋2b＋c)2＝9，所以a2＋b2＋c2≥1，当且仅当即时，等号成立．所以a2＋b2＋c2的最小值为1.课时精练1．设函数f(x)＝|x＋3|＋|x－1|，x∈R，不等式f(x)<6的解集为M.(1)求M；(2)当a2∈M，b2∈M时，证明：|ab＋2|>|a＋b|.(1)解　由题意得f(x)＝|x＋3|＋|x－1|＝当x<－3时，由－2x－2<6，得－4<x<－3；当－3≤x≤1时，由4<6，得－3≤x≤1；当x>1时，由2x＋2<6，得1<x<2.综上，不等式f(x)<6的解集M＝{x|－4<x<2}．(2)证明　由a2∈M，b2∈M，得0≤a2<2,0≤b2<2.要证|ab＋2|>|a＋b|，只需证(ab＋2)2>2(a＋b)2，只需证a2b2＋4ab＋4>2a2＋4ab＋2b2，只需证a2b2－2a2－2b2＋4>0，只需证(a2－2)(b2－2)>0，因为a2－2<0，b2－2<0，所以(a2－2)(b2－2)>0成立，即原不等式成立．2．(2022·全国乙卷)已知a，b，c都是正数，且＝1，证明：(1)abc≤；(2)＋＋≤.证明　(1)因为a，b，c都是正数，1＝≥＝3，所以abc≤，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．(2)因为b>0，c>0，所以b＋c≥2.又因为a>0，所以≤，同理得≤，≤.利用不等式的性质得＋＋≤＋＋＝ ＝＝，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．3．(2020·全国Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥.证明　(1)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋bc＋ca＝－(a2＋b2＋c2)．∵abc＝1，∴a，b，c均不为0，∴a2＋b2＋c2>0，∴ab＋bc＋ca＝－(a2＋b2＋c2)<0.(2)不妨设max{a，b，c}＝a，由a＋b＋c＝0，abc＝1可知，a>0，b<0，c<0，∵a＝－b－c，a＝，∴a3＝a2·a＝＝≥＝4.当且仅当b＝c时，取等号，∴a≥，即max{a，b，c}≥.4．已知函数f(x)＝＋2(t>0)，且函数f(x)的最小值为5.(1)求t的值；(2)若a，b，c均为正实数，且2a＋b＋c＝t，求＋＋的最小值．解　(1)因为t>0，所以f(x)＝|x＋2|＋2|x－t|＝即f(x)＝则f(x)在(－∞，t)上单调递减，在(t，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(t)＝t＋2，由题意，得t＋2＝5，解得t＝3.(2)由(1)知，2a＋b＋c＝3，＋＋＝(2a＋b＋c)≥2＝×(1＋2＋1)2＝，当且仅当a＝，b＝，c＝时取等号，所以＋＋的最小值为.5．已知函数f(x)＝|2x－2|＋|2x＋3|.(1)解不等式f(x)＋|x－1|≤10；(2)若f(x)的最小值为t，a＋3b＝t，求a2＋b2的最小值．解　(1)由f(x)＋|x－1|≤10可得3|x－1|＋|2x＋3|≤10.当x≤－时，则有3－3x－(2x＋3)＝－5x≤10，解得x≥－2，此时－2≤x≤－；当－<x<1时，则有3－3x＋2x＋3＝6－x≤10，解得x≥－4，此时－<x<1；当x≥1时，则有3x－3＋2x＋3＝5x≤10，解得x≤2，此时1≤x≤2.综上所述，不等式f(x)＋|x－1|≤10的解集为{x|－2≤x≤2}．(2)由绝对值三角不等式可得f(x)＝|2x－2|＋|2x＋3|≥|(2x－2)－(2x＋3)|＝5，当且仅当(2x－2)(2x＋3)≤0，即－≤x≤1时，等号成立，故t＝5，所以a＋3b＝5，由柯西不等式可得(12＋32)(a2＋b2)≥(a＋3b)2＝25，即a2＋b2≥，当且仅当 即 时等号成立，故a2＋b2的最小值为.