备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 §9.6 双曲线

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知识梳理
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a).
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
5．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
(2)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).( √ )
教材改编题
1．已知曲线C的方程为eq \f(x2,k＋1)＋eq \f(y2,5－k)＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是( )
A．－10，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2eq \r(3)，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
答案 A
解析 易知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为ay＝±bx，由C的左焦点(－c,0)到其渐近线的距离是2eq \r(3)，可得eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b＝2eq \r(3)，则b2＝12，
由双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，得e＝eq \f(c,a)＝2，又c2＝a2＋b2，
解得a＝2，c＝4，
则双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.
(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是( )
A.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
答案 D
解析 由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上．
设该双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝4，,\f(42,a2)－\f(32,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\r(3)，))
故该双曲线的标准方程是eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线
例3 (1)(2022·北京)已知双曲线y2＋eq \f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则m＝________.
答案 －3
解析 方法一 依题意得m0)，则eq \f(1,a2)－eq \f(3,b2)＝1且eq \f(b,a)＝2，联立解得a＝eq \f(1,2)，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；
②若双曲线的焦点在y轴上，则可设eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \f(3,a2)－eq \f(1,b2)＝1，且eq \f(a,b)＝2，此时无解，综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.
方法二 由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线经过点(1，eq \r(3))，
∴λ＝4×12－(eq \r(3))2＝1，
∴双曲线方程为4x2－y2＝1.
思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＝±\f(b,a)x)).
(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq \f(b,a)，满足关系式e2＝1＋k2.
命题点2 离心率
例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(7),2) B.eq \f(\r(13),2) C.eq \r(7) D.eq \r(13)
答案 A
解析 设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，
在△F1PF2中，
|F1F2|＝eq \r(m2＋9m2－2×3m×m×cs 60°)
＝eq \r(7)m，
所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)
＝eq \f(\r(7)m,2m)＝eq \f(\r(7),2).
(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
答案 2((1，eq \r(5)]内的任意值均可)
解析 双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，
则2≥eq \f(b,a)，∴eq \f(b2,a2)≤4，∴e2＝eq \f(c2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)≤5，
又e＞1，∴e∈(1，eq \r(5)]，
∴填写(1，eq \r(5)]内的任意值均可．
思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
跟踪训练3 (1)(2023·聊城模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,k－1)＝1(00)，
双曲线焦距为2c，实轴长为2a，
则2c＝2eq \r(2)a，即c＝eq \r(2)a，
∴b2＝c2－a2＝a2，
∴双曲线方程为x2－y2＝a2，
将(4，－eq \r(10))代入得，a2＝16－10＝6，
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,6)－eq \f(y2,6)＝1.
(2)证明 由(1)知，F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，
∵M(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2＝3，
以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，
将M(3，m)代入得9＋3＝12，
∴M在以F1F2为直径的圆上．
(3)解 由(2)知，点M坐标为(3，eq \r(3))或(3，－eq \r(3))，
∵点M在第一象限，
∴M的坐标为(3，eq \r(3))，直线MF2的方程为y－eq \r(3)＝eq \f(－\r(3),2\r(3)－3)(x－3)＝－(2＋eq \r(3))(x－3)，
即y＝(－2－eq \r(3))x＋(6＋4eq \r(3))，
代入双曲线方程整理可得
(6－4eq \r(3))y2－4eq \r(3)(2－eq \r(3))y＋6＝0，
∵M的纵坐标为eq \r(3)，
∴N的纵坐标为eq \f(6,6－4\r(3)×\r(3))＝eq \f(1,\r(3)－2)＝－(eq \r(3)＋2)，
∴△F1MN的面积为S＝eq \f(1,2)|F1F2|·(eq \r(3)＋eq \r(3)＋2)＝2eq \r(3)×(2＋2eq \r(3))＝12＋4eq \r(3).
11．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,6)＝1有相同的焦距，一条渐近线方程为x－eq \r(3)y＝0，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－y2＝1或y2－eq \f(x2,3)＝1
B．x2－eq \f(y2,3)＝1或y2－eq \f(x2,3)＝1
C.eq \f(x2,3)－y2＝1或eq \f(y2,3)－x2＝1
D．x2－eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,3)－x2＝1
答案 A
解析 在椭圆eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,6)＝1中，c＝eq \r(10－6)＝2，
∴焦距2c＝4.
∵C的一条渐近线方程为x－eq \r(3)y＝0，
∴设C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为eq \f(x2,3λ)－eq \f(y2,λ)＝1.
当λ>0时，c＝eq \r(λ＋3λ)＝2，解得λ＝1，则C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1；
当λ0，b>0，e>\f(\r(6),2)))的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之比是eq \r(3)∶eq \r(2)，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(5) B.eq \f(3\r(2),2) C.eq \r(2) D.eq \f(\r(5),2)
答案 C
解析 过点A作AF⊥x轴，垂足为F，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，如图所示．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|OB|＝|OF2|＝c，
由渐近线的方程y＝eq \f(b,a)x可知y2＝eq \f(b,a)x2，
在Rt△OBE中，xeq \\al(2,2)＋eq \f(b2,a2)xeq \\al(2,2)＝c2，解得x2＝a(舍负)，
由已知得x1∶x2＝eq \r(3)∶eq \r(2)，即x1＝eq \f(\r(6),2)a，即|AF|2＝c2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)a))2＝c2－eq \f(3,2)a2，
因为离心率e>eq \f(\r(6),2)，
所以c2－eq \f(3,2)a2>0，
则点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)a，\r(c2－\f(3,2)a2)))，
代入双曲线方程可得eq \f(\f(3,2)a2,a2)－eq \f(c2－\f(3,2)a2,b2)＝1，化简得2a2＝c2，即e＝eq \r(2).
13．(2022·枣庄模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为双曲线在第二象限上的一点，B关于坐标原点O的对称点为C，直线CA与直线BF的交点M恰好为线段BF的中点，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．3 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
答案 B
解析 如图，设B(m，n)，
则C(－m，－n)，易知A(a,0)，F(c,0)，
由M为线段BF的中点得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋c,2)，\f(n,2)))，
又M在直线CA上，
故eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))共线，
又eq \(CA,\s\up6(→))＝(a＋m，n)，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋c,2)－a，\f(n,2)))，
故(a＋m)·eq \f(n,2)＝n·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋c,2)－a))，
整理得c＝3a，
故离心率e＝eq \f(c,a)＝3.
14．(2022·长沙模拟)已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过点F2作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则下列命题中正确的有________．(填序号)
①若|PF1|·|PF2|＝2，则eq \(PF1,\s\up6(―→))·eq \(PF2,\s\up6(―→))＝0；
②若eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，则双曲线的离心率e∈(1，eq \r(2)＋1]；
③△F1PQ周长的最小值为8；
④△AOB(O为坐标原点)的面积为定值．
答案 ①③④
解析 由题意知|PF1|－|PF2|＝2a，a2＋1＝c2，则|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4a2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝4a2＋4＝4c2＝|F1F2|2，从而PF1⊥PF2，所以eq \(PF1,\s\up6(―→))⊥eq \(PF2,\s\up6(―→))，即eq \(PF1,\s\up6(―→))·eq \(PF2,\s\up6(―→))＝0，故①正确；
在△PF1F2中，由正弦定理得eq \f(|PF1|,sin∠PF2F1)＝eq \f(|PF2|,sin∠PF1F2)，则eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(a,c)，解得|PF1|＝eq \f(c,a)|PF2|.
又|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝eq \f(2a2,c－a)>c－a，整理得c2－2ac－a20)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)