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备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第二章 §2.10 函数的图象
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这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第二章 §2.10 函数的图象，共15页。试卷主要包含了 函数图象自身的对称关系，结合选项知选A等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
1．利用描点法作函数图象的方法步骤：化简、列表、描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y＝f(x)eq \(――――――――――――――――――――→,\s\up7(a>1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变,0②y＝f(x)eq \(―――――――――――――――――――→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\d5(0(3)对称变换
①y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)．
②y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)．
③y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0，且a≠1)eq \(―――――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(a>0，且a≠1)．
(4)翻折变换
①y＝f(x)eq \(―――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.
②y＝f(x)eq \(―――――――――――→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．
常用结论
1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2. 函数图象自身的对称关系
(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝|f(x)|为偶函数．( × )
(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．( × )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( × )
(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( × )
教材改编题
1．函数y＝1－eq \f(1,x－1)的图象是( )
答案 B
解析 将函数y＝－eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得到y＝1－eq \f(1,x－1)的图象，故选B.
2．函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移1个单位长度得到的，
函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上，
所以作出f(x)，g(x)的图象如图所示，
故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点．
3．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.
答案 e－x＋1
解析 ∵f(x)＝e－x，
∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.
题型一 作函数图象
例1 作出下列各函数的图象：
(1)y＝|lg2(x＋1)|；
(2)y＝eq \f(2x－1,x－1)；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解 (1)将函数y＝lg2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|lg2(x＋1)|的图象，如图①所示．
(2)原函数解析式可化为y＝2＋eq \f(1,x－1)，故函数图象可由函数y＝eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②所示．
(3)因为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图③所示．
思维升华 函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图．
(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图．
(4)画函数的图象一定要注意定义域．
跟踪训练1 作出下列各函数的图象：
(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|；(3)y＝|lg2x－1|.
解 (1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≥1，,2x－1，x<1，))可见其图象是由两条射线组成，如图①所示．
(2)作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象，保留y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象中x≥0的部分，加上y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|的图象，如图②实线部分所示．
(3)先作出y＝lg2x的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|lg2x－1|的图象，如图③所示．
题型二 函数图象的识别
例2 (1)(2023·许昌质检)函数f(x)＝y＝eq \f(22x＋1ln|x|,2x)的图象大致为( )
答案 B
解析 由解析式知，定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝eq \f(2－2x＋1,2－x)·ln|－x|＝eq \f(1＋22x,2x)·ln|x|＝f(x)，
故y＝eq \f(22x＋1ln|x|,2x)为偶函数，排除D；
又f(1)＝0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(3ln 2,\r(2))<0，排除A，C.
(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是( )
A．y＝eq \f(－x3＋3x,x2＋1) B．y＝eq \f(x3－x,x2＋1)
C．y＝eq \f(2xcs x,x2＋1) D．y＝eq \f(2sin x,x2＋1)
答案 A
解析 对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝eq \f(1,5)sin 3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0＜x＜eq \f(π,2)时，0＜cs x＜1，故y＝eq \f(2xcs x,x2＋1)＜eq \f(2x,x2＋1)≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.
思维升华 识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断．
(2)利用函数的零点、极值点等判断．
(3)利用特殊函数值判断．
跟踪训练2 (1)(2022·吕梁模拟)函数f(x)＝eq \f(2xsin x,4x＋1)的大致图象为( )
答案 A
解析 因为f(x)＝eq \f(sin x,2x＋2－x)，所以f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝eq \f(－sin x,2－x＋2x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除C选项；
因为eq \f(π,4)<1(2)(2023·泉州模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－1－1，x≤1，,lg2x，x>1，))则函数y＝f(1－x)的图象大致为( )
答案 B
解析 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－1－1，x≤1，,lg2x，x>1，))
所以y＝g(x)＝f(1－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e－x－1，x≥0，,lg21－x，x<0，))
所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0，
故选项A，C错误；
当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减，
故选项D错误，选项B正确．
题型三 函数图象的应用
命题点1 利用图象研究函数的性质
例3 已知函数f(x)＝eq \f(2x,x－1)，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)在定义域上单调递减
B．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称
D．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴
答案 C
解析 因为f(x)＝eq \f(2x,x－1)＝eq \f(2x－1＋2,x－1)＝eq \f(2,x－1)＋2，所以该函数图象可以由y＝eq \f(2,x)的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称，在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，C正确，A，B错误；易知函数f(x)的图象是由y＝eq \f(2,x)的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，D错误．
命题点2 利用图象解不等式
例4 (2023·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为( )
A．(－eq \r(2)，0)∪(eq \r(2)，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－eq \r(2)，0)∪(eq \r(2)，2)
D．(－2，－eq \r(2))∪(0，eq \r(2))∪(2，＋∞)
答案 C
解析 根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示，
由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2>0，,fx>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2<0，,fx<0，))
解得x<－2或eq \r(2)故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－eq \r(2)，0)∪(eq \r(2)，2)．
命题点3 利用图象求参数的取值范围
例5 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2x－1|，x≤2，,－x＋5，x>2，))若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(1,3)∪{0} D．[1,3)∪{0}
答案 D
解析 因为关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，所以函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，
作出函数图象，如图所示，
所以当m∈[1,3)∪{0}时，函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，所以实数m的取值范围是[1,3)∪{0}．
思维升华 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
跟踪训练3 (1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln|x＋2－a|的图象，
则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增，
又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增，
所以a－2≤0，即a≤2.
所以a的最大值为2.
(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为eq \f(1,2)，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
课时精练
1．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象( )
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
答案 A
解析 将函数y＝2x的图象向右平移3个单位长度得到y＝2x－3的图象，再向下平移1个单位长度得到y＝2x－3－1的图象．
2．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图象大致为( )
答案 A
解析 方法一 (特值法)
取x＝1，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(1,3)))cs 1＝eq \f(8,3)cs 1>0；
取x＝－1，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－3))cs(－1)
＝－eq \f(8,3)cs 1<0.结合选项知选A.
方法二 令y＝f(x)，
则f(－x)＝(3－x－3x)cs(－x)
＝－(3x－3－x)cs x＝－f(x)，
所以函数y＝(3x－3－x)cs x是奇函数，
排除B，D；
取x＝1，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(1,3)))cs 1＝eq \f(8,3)cs 1>0，排除C，故选A.
3．(2023·黑龙江模拟)已知某个函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是( )
A．f(x)＝eq \f(ln|x－1|,x) B．f(x)＝eq \f(x,ln|x－1|)
C．f(x)＝eq \f(x－2,|x|－1) D．f(x)＝eq \f(x－2,xx－1)
答案 A
解析 对于B选项，函数f(x)＝eq \f(x,ln|x－1|)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≠0，,ln|x－1|≠0，))解得x≠0且x≠1且x≠2，故不满足，错误；
对于C选项，函数f(x)＝eq \f(x－2,|x|－1)有意义，则|x|－1≠0，解得x≠±1，故不满足，错误；
对于D选项，当x∈(0,1)时，f(x)＝eq \f(x－2,xx－1)>0，故不满足，错误．
故根据排除法得f(x)＝eq \f(ln|x－1|,x)与此图象最为符合．
4．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
答案 C
解析 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
5.已知f(x)是定义在[－5,5]上的偶函数，当－5≤x≤0时，f(x)的图象如图所示，则不等式eq \f(fx,sin x)<0的解集为( )
A．(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]
B．(－π，－2)∪(π，5]
C．[－5，－2)∪(0，π)∪(π，5]
D．[－5，－2)∪(π，5]
答案 A
解析 因为f(x)是定义在[－5,5]上的偶函数，观察图象结合偶函数性质得
f(x)>0的解集为[－5，－2)∪(2,5]，f(x)<0的解集为(－2,2)，
当x∈[－5,5]时，sin x>0的解集为[－5，－π)∪(0，π)，sin x<0的解集为(－π，0)∪(π，5]，
不等式eq \f(fx,sin x)<0等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>0，,sin x<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx<0，,sin x>0，))
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>0，,sin x<0，))解得x∈(－π，－2)∪(π，5]，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx<0，,sin x>0，))解得x∈(0,2)，
所以不等式eq \f(fx,sin x)<0的解集为(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]．
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－3x，x≥0，,－e－x＋1，x<0，))方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)，则下列判断正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(3,2)对称
B．函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减
C．当m∈(1,2)时，方程有3个不同的实数根
D．当m∈(－1,0)时，方程有4个不同的实数根
答案 D
解析 对于选项A，f(4)＝4，f(－1)＝1－e，
显然函数f(x)的图象不关于直线x＝eq \f(3,2)对称，故A错误；
对于选项B，f(x)＝－e－x＋1在(－∞，0)上单调递增，故B错误；
对于选项C，作出函数y＝|f(x)－1|的图象，如图所示，
当m∈(1,2)时，2－m∈(0,1)，结合图象可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有2个不同的实数根，故C错误；
对于选项D，当m∈(－1,0)时，2－m∈(2,3)，结合图象可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有4个不同的实数根，故D正确．
7．将函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则f(0)＋f(2)＝________.
答案 －2
解析 由函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，可得g(x)＝f(x＋1)＋1 ，
故f(x)＝g(x－1)－1，
所以f(0)＋f(2)＝g(－1)－1＋g(1)－1＝－g(1)＋g(1)－2＝－2.
8．(2023·衡水质检)函数f(x)＝eq \f(x＋1,x)的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝________.
答案 2
解析 因为f(x)＝eq \f(x＋1,x)＝eq \f(1,x)＋1，所以f(x)的图象关于点(0,1)对称，而直线y＝kx＋1过(0,1)点，故两图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0,1)对称，所以eq \f(y1＋y2,2)＝1，即y1＋y2＝2.
9．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≤0，,\f(1－x,x)，x>0.))
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)当f(x)≥2时，求实数x的取值范围．
解 (1)由题得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≤0，,\f(1,x)－1，x>0，))其图象如图所示，
(2)由题可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,x2≥2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,\f(1－x,x)≥2，))
解得x≤－eq \r(2)或0所以实数x的取值范围为(－∞，－eq \r(2)]∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))).
10．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x<0，,－x2＋2x，x≥0))是定义在R上的奇函数．
(1)请画出f(x)的大致图象并在图象上标注零点；
(2)已知a>1，若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)若函数φ(x)＝f(x)－ex，求φ(x)的零点个数．
解 (1)根据题意，列表如下，
f(x)的大致图象如图所示，其中有A，O，B三个零点，
(2)由(1)的函数图象可知，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，则－1(3)φ(x)＝f(x)－ex的零点即为f(x)与y＝ex图象交点的横坐标，
又y＝ex在R上单调递增，值域为(0，＋∞)，
结合(1)的图象，易知f(x)与y＝ex的图象在(－∞，0)有一个交点，即φ(x)只有一个零点．
11．函数f(x)＝eq \f(ax＋b,x＋c2)的图象如图所示，则下列结论不正确的是( )
A．a>0 B．b<0
C．c<0 D．abc<0
答案 D
解析 函数的定义域为{x|x≠－c}，
由图可知－c>0，则c<0，
由图可知f(0)＝eq \f(b,c2)<0，所以b<0，
由f(x)＝0，得ax＋b＝0，x＝－eq \f(b,a)，
由图可知－eq \f(b,a)>0，得eq \f(b,a)<0，所以a>0，
综上，a>0，b<0，c<0，abc>0.
12．(2023·济南模拟)若平面直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x<0，,\f(2,ex)，x≥0，))则f(x)的“和谐点对”有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 B
解析 作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y＝eq \f(2,ex)(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，
即f(x)的“和谐点对”有2个．
13．(2023·贵阳模拟)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq \f(1,2)，则m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10－\r(2),4)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10＋\r(2),4)))
答案 B
解析 ∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)，f(x＋1)＝2f(x)，
∴当x∈(1,2]时，f(x)＝2f(x－1)，即f(x)向右平移1个单位长度，纵坐标变为原来的2倍．
当x∈(2,3]时，f(x)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，如图所示，
令4(x－2)(x－3)＝－eq \f(1,2)，
解得x1＝eq \f(10－\r(2),4)，x2＝eq \f(10＋\r(2),4)，
所以要使对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq \f(1,2)，
则m≤eq \f(10－\r(2),4)，
∴m∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10－\r(2),4))).
14．(2023·成都模拟)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断不正确的是( )
A．函数y＝f(x)是奇函数
B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)
C．函数y＝f(x)的值域为[0,2eq \r(2)]
D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增
答案 A
解析 由题意得，当－4≤x<－2时，点B的轨迹是以(－2,0)为圆心，2为半径的eq \f(1,4)圆；
当－2≤x<2时，点B的轨迹是以原点为圆心，2eq \r(2)为半径的eq \f(1,4)圆；
当2≤x<4时，点B的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的eq \f(1,4)圆，如图所示．
此后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，故A不正确；
因为f(x)是以8为周期的周期函数，
所以f(x＋8)＝f(x)，
即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；
由图象可知，f(x)的值域为[0,2eq \r(2)]，故C正确；
由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)以8为周期，所以f(x)在[6，8]上的图象和在[－2，0]上的图象相同，即单调递增，故D正确．x
－2
－1
0
1
2
f(x)
0
－1
0
1
0
知识梳理
1．利用描点法作函数图象的方法步骤：化简、列表、描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y＝f(x)eq \(――――――――――――――――――――→,\s\up7(a>1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变,0
①y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)．
②y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)．
③y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0，且a≠1)eq \(―――――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(a>0，且a≠1)．
(4)翻折变换
①y＝f(x)eq \(―――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.
②y＝f(x)eq \(―――――――――――→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．
常用结论
1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2. 函数图象自身的对称关系
(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝|f(x)|为偶函数．( × )
(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．( × )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( × )
(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( × )
教材改编题
1．函数y＝1－eq \f(1,x－1)的图象是( )
答案 B
解析 将函数y＝－eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得到y＝1－eq \f(1,x－1)的图象，故选B.
2．函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移1个单位长度得到的，
函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上，
所以作出f(x)，g(x)的图象如图所示，
故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点．
3．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.
答案 e－x＋1
解析 ∵f(x)＝e－x，
∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.
题型一 作函数图象
例1 作出下列各函数的图象：
(1)y＝|lg2(x＋1)|；
(2)y＝eq \f(2x－1,x－1)；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解 (1)将函数y＝lg2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|lg2(x＋1)|的图象，如图①所示．
(2)原函数解析式可化为y＝2＋eq \f(1,x－1)，故函数图象可由函数y＝eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②所示．
(3)因为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图③所示．
思维升华 函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图．
(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图．
(4)画函数的图象一定要注意定义域．
跟踪训练1 作出下列各函数的图象：
(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|；(3)y＝|lg2x－1|.
解 (1)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≥1，,2x－1，x<1，))可见其图象是由两条射线组成，如图①所示．
(2)作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象，保留y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象中x≥0的部分，加上y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|的图象，如图②实线部分所示．
(3)先作出y＝lg2x的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|lg2x－1|的图象，如图③所示．
题型二 函数图象的识别
例2 (1)(2023·许昌质检)函数f(x)＝y＝eq \f(22x＋1ln|x|,2x)的图象大致为( )
答案 B
解析 由解析式知，定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝eq \f(2－2x＋1,2－x)·ln|－x|＝eq \f(1＋22x,2x)·ln|x|＝f(x)，
故y＝eq \f(22x＋1ln|x|,2x)为偶函数，排除D；
又f(1)＝0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(3ln 2,\r(2))<0，排除A，C.
(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是( )
A．y＝eq \f(－x3＋3x,x2＋1) B．y＝eq \f(x3－x,x2＋1)
C．y＝eq \f(2xcs x,x2＋1) D．y＝eq \f(2sin x,x2＋1)
答案 A
解析 对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝eq \f(1,5)sin 3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0＜x＜eq \f(π,2)时，0＜cs x＜1，故y＝eq \f(2xcs x,x2＋1)＜eq \f(2x,x2＋1)≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.
思维升华 识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断．
(2)利用函数的零点、极值点等判断．
(3)利用特殊函数值判断．
跟踪训练2 (1)(2022·吕梁模拟)函数f(x)＝eq \f(2xsin x,4x＋1)的大致图象为( )
答案 A
解析 因为f(x)＝eq \f(sin x,2x＋2－x)，所以f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝eq \f(－sin x,2－x＋2x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除C选项；
因为eq \f(π,4)<1
答案 B
解析 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－1－1，x≤1，,lg2x，x>1，))
所以y＝g(x)＝f(1－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e－x－1，x≥0，,lg21－x，x<0，))
所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0，
故选项A，C错误；
当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减，
故选项D错误，选项B正确．
题型三 函数图象的应用
命题点1 利用图象研究函数的性质
例3 已知函数f(x)＝eq \f(2x,x－1)，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)在定义域上单调递减
B．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称
D．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴
答案 C
解析 因为f(x)＝eq \f(2x,x－1)＝eq \f(2x－1＋2,x－1)＝eq \f(2,x－1)＋2，所以该函数图象可以由y＝eq \f(2,x)的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称，在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，C正确，A，B错误；易知函数f(x)的图象是由y＝eq \f(2,x)的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，D错误．
命题点2 利用图象解不等式
例4 (2023·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为( )
A．(－eq \r(2)，0)∪(eq \r(2)，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－eq \r(2)，0)∪(eq \r(2)，2)
D．(－2，－eq \r(2))∪(0，eq \r(2))∪(2，＋∞)
答案 C
解析 根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示，
由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2>0，,fx>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2<0，,fx<0，))
解得x<－2或eq \r(2)
命题点3 利用图象求参数的取值范围
例5 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2x－1|，x≤2，,－x＋5，x>2，))若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(1,3)∪{0} D．[1,3)∪{0}
答案 D
解析 因为关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，所以函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，
作出函数图象，如图所示，
所以当m∈[1,3)∪{0}时，函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，所以实数m的取值范围是[1,3)∪{0}．
思维升华 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
跟踪训练3 (1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln|x＋2－a|的图象，
则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增，
又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增，
所以a－2≤0，即a≤2.
所以a的最大值为2.
(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为eq \f(1,2)，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
课时精练
1．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象( )
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
答案 A
解析 将函数y＝2x的图象向右平移3个单位长度得到y＝2x－3的图象，再向下平移1个单位长度得到y＝2x－3－1的图象．
2．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图象大致为( )
答案 A
解析 方法一 (特值法)
取x＝1，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(1,3)))cs 1＝eq \f(8,3)cs 1>0；
取x＝－1，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－3))cs(－1)
＝－eq \f(8,3)cs 1<0.结合选项知选A.
方法二 令y＝f(x)，
则f(－x)＝(3－x－3x)cs(－x)
＝－(3x－3－x)cs x＝－f(x)，
所以函数y＝(3x－3－x)cs x是奇函数，
排除B，D；
取x＝1，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(1,3)))cs 1＝eq \f(8,3)cs 1>0，排除C，故选A.
3．(2023·黑龙江模拟)已知某个函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是( )
A．f(x)＝eq \f(ln|x－1|,x) B．f(x)＝eq \f(x,ln|x－1|)
C．f(x)＝eq \f(x－2,|x|－1) D．f(x)＝eq \f(x－2,xx－1)
答案 A
解析 对于B选项，函数f(x)＝eq \f(x,ln|x－1|)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≠0，,ln|x－1|≠0，))解得x≠0且x≠1且x≠2，故不满足，错误；
对于C选项，函数f(x)＝eq \f(x－2,|x|－1)有意义，则|x|－1≠0，解得x≠±1，故不满足，错误；
对于D选项，当x∈(0,1)时，f(x)＝eq \f(x－2,xx－1)>0，故不满足，错误．
故根据排除法得f(x)＝eq \f(ln|x－1|,x)与此图象最为符合．
4．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
答案 C
解析 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
5.已知f(x)是定义在[－5,5]上的偶函数，当－5≤x≤0时，f(x)的图象如图所示，则不等式eq \f(fx,sin x)<0的解集为( )
A．(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]
B．(－π，－2)∪(π，5]
C．[－5，－2)∪(0，π)∪(π，5]
D．[－5，－2)∪(π，5]
答案 A
解析 因为f(x)是定义在[－5,5]上的偶函数，观察图象结合偶函数性质得
f(x)>0的解集为[－5，－2)∪(2,5]，f(x)<0的解集为(－2,2)，
当x∈[－5,5]时，sin x>0的解集为[－5，－π)∪(0，π)，sin x<0的解集为(－π，0)∪(π，5]，
不等式eq \f(fx,sin x)<0等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>0，,sin x<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx<0，,sin x>0，))
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>0，,sin x<0，))解得x∈(－π，－2)∪(π，5]，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx<0，,sin x>0，))解得x∈(0,2)，
所以不等式eq \f(fx,sin x)<0的解集为(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]．
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－3x，x≥0，,－e－x＋1，x<0，))方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)，则下列判断正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(3,2)对称
B．函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减
C．当m∈(1,2)时，方程有3个不同的实数根
D．当m∈(－1,0)时，方程有4个不同的实数根
答案 D
解析 对于选项A，f(4)＝4，f(－1)＝1－e，
显然函数f(x)的图象不关于直线x＝eq \f(3,2)对称，故A错误；
对于选项B，f(x)＝－e－x＋1在(－∞，0)上单调递增，故B错误；
对于选项C，作出函数y＝|f(x)－1|的图象，如图所示，
当m∈(1,2)时，2－m∈(0,1)，结合图象可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有2个不同的实数根，故C错误；
对于选项D，当m∈(－1,0)时，2－m∈(2,3)，结合图象可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有4个不同的实数根，故D正确．
7．将函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则f(0)＋f(2)＝________.
答案 －2
解析 由函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，可得g(x)＝f(x＋1)＋1 ，
故f(x)＝g(x－1)－1，
所以f(0)＋f(2)＝g(－1)－1＋g(1)－1＝－g(1)＋g(1)－2＝－2.
8．(2023·衡水质检)函数f(x)＝eq \f(x＋1,x)的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝________.
答案 2
解析 因为f(x)＝eq \f(x＋1,x)＝eq \f(1,x)＋1，所以f(x)的图象关于点(0,1)对称，而直线y＝kx＋1过(0,1)点，故两图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0,1)对称，所以eq \f(y1＋y2,2)＝1，即y1＋y2＝2.
9．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≤0，,\f(1－x,x)，x>0.))
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)当f(x)≥2时，求实数x的取值范围．
解 (1)由题得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≤0，,\f(1,x)－1，x>0，))其图象如图所示，
(2)由题可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,x2≥2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,\f(1－x,x)≥2，))
解得x≤－eq \r(2)或0
10．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x<0，,－x2＋2x，x≥0))是定义在R上的奇函数．
(1)请画出f(x)的大致图象并在图象上标注零点；
(2)已知a>1，若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)若函数φ(x)＝f(x)－ex，求φ(x)的零点个数．
解 (1)根据题意，列表如下，
f(x)的大致图象如图所示，其中有A，O，B三个零点，
(2)由(1)的函数图象可知，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，则－1
又y＝ex在R上单调递增，值域为(0，＋∞)，
结合(1)的图象，易知f(x)与y＝ex的图象在(－∞，0)有一个交点，即φ(x)只有一个零点．
11．函数f(x)＝eq \f(ax＋b,x＋c2)的图象如图所示，则下列结论不正确的是( )
A．a>0 B．b<0
C．c<0 D．abc<0
答案 D
解析 函数的定义域为{x|x≠－c}，
由图可知－c>0，则c<0，
由图可知f(0)＝eq \f(b,c2)<0，所以b<0，
由f(x)＝0，得ax＋b＝0，x＝－eq \f(b,a)，
由图可知－eq \f(b,a)>0，得eq \f(b,a)<0，所以a>0，
综上，a>0，b<0，c<0，abc>0.
12．(2023·济南模拟)若平面直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x<0，,\f(2,ex)，x≥0，))则f(x)的“和谐点对”有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 B
解析 作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y＝eq \f(2,ex)(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，
即f(x)的“和谐点对”有2个．
13．(2023·贵阳模拟)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq \f(1,2)，则m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10－\r(2),4)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10＋\r(2),4)))
答案 B
解析 ∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)，f(x＋1)＝2f(x)，
∴当x∈(1,2]时，f(x)＝2f(x－1)，即f(x)向右平移1个单位长度，纵坐标变为原来的2倍．
当x∈(2,3]时，f(x)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，如图所示，
令4(x－2)(x－3)＝－eq \f(1,2)，
解得x1＝eq \f(10－\r(2),4)，x2＝eq \f(10＋\r(2),4)，
所以要使对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq \f(1,2)，
则m≤eq \f(10－\r(2),4)，
∴m∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10－\r(2),4))).
14．(2023·成都模拟)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断不正确的是( )
A．函数y＝f(x)是奇函数
B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)
C．函数y＝f(x)的值域为[0,2eq \r(2)]
D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增
答案 A
解析 由题意得，当－4≤x<－2时，点B的轨迹是以(－2,0)为圆心，2为半径的eq \f(1,4)圆；
当－2≤x<2时，点B的轨迹是以原点为圆心，2eq \r(2)为半径的eq \f(1,4)圆；
当2≤x<4时，点B的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的eq \f(1,4)圆，如图所示．
此后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，故A不正确；
因为f(x)是以8为周期的周期函数，
所以f(x＋8)＝f(x)，
即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；
由图象可知，f(x)的值域为[0,2eq \r(2)]，故C正确；
由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)以8为周期，所以f(x)在[6，8]上的图象和在[－2，0]上的图象相同，即单调递增，故D正确．x
－2
－1
0
1
2
f(x)
0
－1
0
1
0
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