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备战2024年高考总复习一轮（数学）第9章 解析几何 第7节 抛物线课件PPT
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这是一份备战2024年高考总复习一轮（数学）第9章 解析几何 第7节 抛物线课件PPT，共42页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础固本增分，研考点精准突破，距离相等等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 .微点拨若定点F在定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线.
2.抛物线的几何性质
微点拨四种不同抛物线方程的异同点
例1(1)(2022全国乙,文6)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )(2)(2020新高考Ⅰ,13)斜率为 的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|= .
解析:(1)设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,所以xA+1=2,
(2)如图所示,直线与抛物线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),准线方程为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.
规律方法 利用定义求距离或距离之和的一般思路(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理.(2)若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,由定义易得|PF|=x0+ ;若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.
对点训练1(1)(2022河南南阳期末)设抛物线y2=6x上一点P到其焦点F的距离为 ,O为坐标原点,则△POF的面积为 . (2)(2021北京,12)已知抛物线C:y2=4x,焦点为F,点M为抛物线C上的点,且|FM|=6,则M的横坐标是 ;作MN⊥x轴于N,则S△FMN= .
例2(1)(2022山东烟台一模)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2 ,则该抛物线的准线方程为( )A.x= B.x=-1C.x=-2D.x=-4(2)(2020全国Ⅲ,理5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( )
答案:(1)B (2)B
规律方法 1.求抛物线方程的方法(1)求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外,还可以利用统一方程法,即当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.(2)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2.确定抛物线几何性质的三个要点
答案:(1)C (2)C 解析:(1)如图所示,作MD⊥EG,垂足为D.
例3(1)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P是直线l上的动点.若点A在抛物线C上,且|AF|=5,则|PA|+|PO|(O为坐标原点)的最小值为( )(2)(2022安徽高考冲刺卷一)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A,B为抛物线上的两个动点,且∠AFB=120°,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则 的最小值为 .
解析:(1)不妨设A为第一象限内的点,坐标为(a,b),如下图所示,由抛物线的方程可得焦点F(1,0),则|AF|=a+1=5,解得a=4,所以A(4,4),所以点A关于直线x=-1的对称点为A'(-6,4),
(2)如图所示,过A,B作准线的垂线,垂足分别为C,D.
规律方法 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
(3) 已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是 .
答案:(1)B (2)B (3)5 解析:(1)抛物线x2=4y的焦点
(3)依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1引垂线,垂足为M1,则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,结合图形(图略)可知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是5.
(2)依题意可知直线l的斜率存在且不为0,不妨设直线l的斜率为正数,如图,过B作BC与抛物线的准线垂直,垂足为C,根据抛物线的定义可知|BF|=|BC|,
规律方法 求解抛物线与其他圆锥曲线的小综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.
答案:(1)A (2)B
1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 .微点拨若定点F在定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线.
2.抛物线的几何性质
微点拨四种不同抛物线方程的异同点
例1(1)(2022全国乙,文6)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )(2)(2020新高考Ⅰ,13)斜率为 的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|= .
解析:(1)设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,所以xA+1=2,
(2)如图所示,直线与抛物线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),准线方程为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.
规律方法 利用定义求距离或距离之和的一般思路(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理.(2)若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,由定义易得|PF|=x0+ ;若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.
对点训练1(1)(2022河南南阳期末)设抛物线y2=6x上一点P到其焦点F的距离为 ,O为坐标原点,则△POF的面积为 . (2)(2021北京,12)已知抛物线C:y2=4x,焦点为F,点M为抛物线C上的点,且|FM|=6,则M的横坐标是 ;作MN⊥x轴于N,则S△FMN= .
例2(1)(2022山东烟台一模)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2 ,则该抛物线的准线方程为( )A.x= B.x=-1C.x=-2D.x=-4(2)(2020全国Ⅲ,理5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( )
答案:(1)B (2)B
规律方法 1.求抛物线方程的方法(1)求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外,还可以利用统一方程法,即当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.(2)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2.确定抛物线几何性质的三个要点
答案:(1)C (2)C 解析:(1)如图所示,作MD⊥EG,垂足为D.
例3(1)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P是直线l上的动点.若点A在抛物线C上,且|AF|=5,则|PA|+|PO|(O为坐标原点)的最小值为( )(2)(2022安徽高考冲刺卷一)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A,B为抛物线上的两个动点,且∠AFB=120°,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则 的最小值为 .
解析:(1)不妨设A为第一象限内的点,坐标为(a,b),如下图所示,由抛物线的方程可得焦点F(1,0),则|AF|=a+1=5,解得a=4,所以A(4,4),所以点A关于直线x=-1的对称点为A'(-6,4),
(2)如图所示,过A,B作准线的垂线,垂足分别为C,D.
规律方法 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
(3) 已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是 .
答案:(1)B (2)B (3)5 解析:(1)抛物线x2=4y的焦点
(3)依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1引垂线,垂足为M1,则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,结合图形(图略)可知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是5.
(2)依题意可知直线l的斜率存在且不为0,不妨设直线l的斜率为正数,如图,过B作BC与抛物线的准线垂直,垂足为C,根据抛物线的定义可知|BF|=|BC|,
规律方法 求解抛物线与其他圆锥曲线的小综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.
答案:(1)A (2)B
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