2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第7讲抛物线课件

这是一份2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第7讲抛物线课件，共60页。PPT课件主要包含了BCD，x2＝8y，x＝－4或y＝2等内容，欢迎下载使用。

知识梳理 · 双基自测
知识点一　抛物线的定义平面内________________________________________________的点的轨迹叫抛物线．点_______叫抛物线的________，直线________叫抛物线的____________.注：l经过F时，与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹为过F与l垂直的一条直线．
与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等
知识点二　抛物线的标准方程与几何性质
归 纳 拓 展抛物线焦点弦的处理规律如图，直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，CA⊥l于C，BD⊥l于D，BM⊥AC于M，交OF于N(l为抛物线的准线)．
题组三　走向高考4．(2023·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝( 　　)A．7 B．6 C．5 D．4[解析]　因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D.
5．(多选题)(2022·全国高考真题)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( )A．C的准线为y＝－1 B．直线AB与C相切C．|OP|·|OQ|>|OA|2 D．|BP|·|BQ|>|BA|2
考点突破 · 互动探究
抛物线的定义及应用——多维探究
角度1　轨迹问题 动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是( 　　)A．直线　　　　　　　B．椭圆C．双曲线 D．抛物线
[解析]　设动圆的圆心为C半径为r，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆到直线x＝2距离为r＋1，即动圆圆心到定点(－2,0)和定直线x＝2的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为D.
角度2　到焦点与到定点距离之和最小问题 已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2 ＝1的圆心，则|MF|＋|MC|的最小值为( 　　)A．2 B．3C．4 D．5
[解析]　设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，所以C的坐标为(－1,2)，过M作l的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|，所以问题求|MF|＋|MC|的最小值，就转化为求|ME|＋|MC|的最小值，由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值为|CE|＝2－(－1)＝3，故选B.
[引申]本例中，(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值为____；最小值为______；(ⅱ)若N为⊙C上任一点，则|MF|＋|MN|的最小值为______.
角度4　到两定直线的距离之和最小问题 (2024·陕西西安质检)已知直线l：4x－3y＋6＝0，抛物线y2＝8x上一动点P(x0，y0)到直线l的距离为d，则d＋|x0|的最小值是________.
[解析]　如图所示：若PC⊥直线l，PB⊥抛物线准线且交y轴于A点，则d＝|PC|，|x0|＝|PA|，
名师点拨：利用抛物线的定义可解决的常见问题1．轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．2．距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．注：看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
【变式训练】1．(角度1)到定点A(0,2)的距离比到定直线l：y＝－1大1的动点P的轨迹方程为_________.[解析]　由题意知P到A的距离等于其到直线y＝－2的距离，故P的轨迹是以A为焦点，直线y＝－2为准线的抛物线，所以其方程为x2＝8y.
2．(角度2)(2024·江苏无锡等四地模拟)已知P(3,3)，M是抛物线y2＝4x上的动点(异于顶点)，过M作圆C：(x－2)2＋y2＝4的切线，切点为A，则|MA|＋|MP|的最小值为______.
抛物线的标准方程——自主练透
1.过点P(－3,2)的抛物线的标准方程为_____________________.
2．焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程为___________________，准线方程为____________________.
y2＝16x或x2＝－8y
∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.∴所求的抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y，对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2.
名师点拨：求抛物线的标准方程的方法1．求抛物线的标准方程常用待定系数法，若焦点位置确定，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．2．因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．一般焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2＝ay(a≠0)．
注：数形结合解题时，注意图形的对称性，不要丢解．已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定．
【变式训练】1．(2024·山东青岛调研)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(x,4)在C上，|MF|＝5，则C的方程为( 　　)A．x2＝4y B．x2＝－4yC．x2＝－2y D．x2＝2y
抛物线的几何性质——师生共研
名师点拨：1．求抛物线的焦点及准线方程的步骤：(1)把抛物线解析式化为标准方程形式；(2)明确抛物线开口方向；(3)求出抛物线标准方程中参数p的值；(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义的应用，通过定义将焦点弦长转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
3．在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．注意抛物线上点到焦点距离与到准线距离的转化，关注图中的直角梯形(直角三角形)．
直线与抛物线的综合问题——师生共研
1.(多选题)(2023·湖南湘潭摸底)已知直线l：y＝k(x－1)(k≠0)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点O为坐标原点，若线段AB的中点是M(m,1)，则( )A．k＝2 B．m＝3C．|AB|＝5 D．OA⊥OB
2．(2024·山西运城调研)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，圆M：(x－1)2＋y2＝1，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则9|AP|＋4|BQ|的最小值为________.
名师点拨：1．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联立，消元，用根与系数的关系“整体代入”求解．注意根据抛物线方程确定消x还是消y，一般消一次项变量．2．求解抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
2．(2024·江西稳派大联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，顶点为坐标原点O，过点F的直线l与C相交于A，B两点，当点O到直线l的距离最大时，|AB|＝4.(1)求C的标准方程；(2)过点B作BD⊥x轴于点D，记线段BD的中点为P，且△OAF与△OPF的面积之和为S，求S的最小值．
名师讲坛 · 素养提升
巧解抛物线的切线问题 1.(2024·江苏南通如皋调研)过点P(m，－2)向抛物线x2＝4y引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，直线AB恒过的定点为_____________.
2．(多选题)(2024·湖北九师联盟联考)已知抛物线C：x2＝－8y的焦点为F，过F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线l1，l2，且l1，l2相交于点P，则( )A．|PF|＝4B．点P在直线y＝2上C．△PAB为直角三角形D．△PAB面积的最小值为16
名师点拨：利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错．注意：(1)过抛物线C：x2＝2py(p>0)外一点P(x0，y0)引抛物线的两条切线，切点分别为A、B，则AB：x0x＝p(y0＋y)．(2)直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．
【变式训练】(2023·山西忻州模拟)已知抛物线C：x2＝2y，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2若l1⊥l2，且l1与l2交于点M，则△MAB的面积的最小值为______.