备战2024年高考总复习一轮（数学）第9章 解析几何 第3节 圆的方程课件PPT

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2.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2　　　r2⇔点M在圆上; (2)(x0-a)2+(y0-b)2　　　r2⇔点M在圆外; (3)(x0-a)2+(y0-b)2　　　r2⇔点M在圆内. 3.垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
常用结论1.圆心在过切点且垂直于切线的直线上.2.圆心在任一弦的垂直平分线上.3.两圆相切时,切点与两圆心三点共线.4.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
例1(1)(2022全国乙,文15)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　　　. (2)(2022天津河东一模)已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C的标准方程为　　　　　. 
(2)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,其圆心为C(a,b),半径为r(r>0),x2+y2+10x+10y=0可化简为(x+5)2+(y+5)2=50,其圆心为(-5,-5),半径为5 .∵两圆相切于原点O,且圆C过点(0,-6),
规律方法 求圆的方程的两种方法
对点训练1(1)(2022天津十二区县一模)圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是　　　　　　　　　　. (2)(2022全国甲,文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　. 
答案:(1)(x-2)2+(y-4)2=20　(2)(x-1)2+(y+1)2=5
即圆心M的坐标为(1,-1).设☉M的半径为r,则r2=(3-1)2+12=5.故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.(方法2)设圆心M(a,1-2a),☉M的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
例2(2022河南郑州二模)若平面上两点A(-2,0),B(1,0),动点P满足|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹与直线l:y=k(x-1)的公共点的个数为(　　)A.2B.1C.0D.与实数k的取值有关
规律方法 求与圆有关的轨迹方程的方法
对点训练2已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
解:(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).(2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
考向1借助目标函数的几何意义求最值例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求 的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.
规律方法 借助几何性质求最值的方法(1)形如μ= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(2)(2022山西怀仁期末)已知P为圆(x-1)2+(y-2)2=1上的动点,O为坐标原点,则向量 在向量a=(2,1)方向上投影的最大值为(　　)
答案:(1)D　(2)B
考向2借助圆的几何性质求最值例4(1)(2022安徽高考冲刺卷一)已知点P在圆x2-4x+y2-2y+3=0上运动,点Q在直线x+y+1=0上运动,则|PQ|的最小值为(　　)
规律方法 求与圆上的点有关的距离的方法圆上一动点到某一直线距离的最值应转化为圆心到直线的距离加半径或减半径;与圆上的点有关的距离的和的最值问题可化归为圆上一动点到某一点或某一直线距离的最值问题.
对点训练4(1) 已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP的面积的最小值为　　　　　. (2)已知点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是　　　　　. 
规律方法 建立函数关系式求最值的方法根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,利用基本不等式求最值是比较常用的.
对点训练5(2022山东济宁一模)等边三角形ABC的外接圆的半径为2,P是该圆上的动点,则 的最大值为(　　)A.4B.7C.8D.11