新高考数学一轮复习课件第7章平面解析几何第7讲 抛物线（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习课件第7章平面解析几何第7讲 抛物线（含解析），共48页。PPT课件主要包含了抛物线的定义，题组一，走出误区，定相切，答案1×，2×3×，题组二，走进教材，题组三，真题展现等内容，欢迎下载使用。

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 为抛物线的焦点，直线 l 为抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程和几何性质
【名师点睛】(1)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的
点的轨迹一定是抛物线.(
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2 ＝
－2ay(a>0)的通径长为 2a.(
2.(教材改编题)顶点在原点，且过点 P(－2,3)的抛物线的标准方程是____________________.
3. (教材改编题)抛物线 y2＝8x 上到其焦点 F 距离为 5的点的个数为________.答案：2
4.(2020 年全国Ⅰ)已知 A 为抛物线 C：y2＝2px(p>0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，
[例 1] (1)设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线 y2＝4x 的焦点，若 B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.
解析：如图 7-7-1，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交
则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为 4.
解析：由抛物线定义可知点 P 到准线 l 的距离等于点P 到焦点 F 的距离，由抛物线 y2 ＝4x 及直线方程 3x＋4y＋7＝0 可得直线与抛物线相离，∴点 P 到准线 l 的距离与点 P 到直线 3x＋4y＋7＝0 的距离之和的最小值为点 F(1,0)
【题后反思】应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线
1.动圆过点(1,0)，且与直线 x＝－1 相切，则动圆的圆
心的轨迹方程为________.
解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线 x＝－1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2＝4x.
2.设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，则点 P 到点
A(－1,1)的距离与点 P 到直线 x＝－1 的距离之和的最小值为________.
解析：如图 D69，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线
由抛物线的定义知点 P 到直线 x＝－1 的距离等于点 P到 F 的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P 到点A(－1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小，显然，连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值
1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线 3x－
4y－12＝0 与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为(
A.x2＝－12y或y2＝16xB.x2＝12y或y2＝－16xC.x2＝9y或y2＝12xD.x2＝－9y或y2＝－12x
解析：对于直线方程 3x－4y－12＝0，令 x＝0，得
y＝－3；令 y＝0，得 x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0).
当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，
此时抛物线的标准方程为 y2＝16x.故所求抛物线的标
准方程为 x2＝－12y 或 y2＝16x.
2.设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|＝5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的标准方程
)A.y2＝4x 或 y2＝8xB.y2＝2x 或 y2＝8xC.y2＝4x 或 y2＝16xD.y2＝2x 或 y2＝16x
【题后反思】抛物线标准方程的求法
(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而
求出抛物线的标准方程.
(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p 的值，这里要注意抛物线的标准方程有四种形式.若焦点在 x 轴上，设为 y2＝2px(p≠0)；若焦点在 y 轴上，设为x2＝2py(p≠0).
(3)如图 7-7-2，点 F 是抛物线 y2＝8x 的焦点，点 A，B 分别在抛物线 y2＝8x 及圆(x－2)2＋y2＝16 的实线部分上运动，且 AB 始终平行于 x 轴，则△ABF 的周长的取值范围是________.
解析：设 A(xA，yA)，B(xB，yB).抛物线的准线l：x＝
－2，焦点 F(2,0)，
由抛物线定义可得|AF|＝xA＋2，圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为点(2,0)，半径为4，∴△ABF的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，∴xB∈(2,6)，∴6＋xB∈(8,12).∴△ABF的周长的取值范围是(8,12).
在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【变式训练】1.(2021 年焦作期中)以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线Ω 与正方形 ABCD 有公共点，其中 A(2,2) ，B(4,2) ，
C(4,4)，则抛物线Ω的焦点 F 到准线 l 的最大距离为(
解析：由题意可得 D(2,4)，设抛物线Ω：x2＝2py，p>0，要使得抛物线Ω与正方形 ABCD 有公共点，其临界状态应该是过 B 或过 D，把 B，D 的坐标分别代入抛物线方程，
线的焦点 F 到准线 l 的最大距离为 4.
解析：由抛物线的方程可得 F(0,1)，准线方程为 y＝
－1，所以 A(0，－1)，
如图 D70，过点 P 作准线的垂线，垂足为 N，则由抛
物线的定义可得|PN|＝|PF|，
⊙活用抛物线焦点弦的四个结论
1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.
2.如图 7-7-3，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若 F 是 AC 的中
点，且|AF|＝4，则线段 AB 的长为(图 7-7-3
解析：如图 D71，设 l 与 x 轴交于点 M，过点 A 作 AD⊥l 交 l 于点 D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由 F是 AC 的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以 2p＝4，解得 p＝2，所以抛物线的方程为 y2＝4x.