浙江省+宁波市海曙区田莘耕中学2022-2023学年八年级下学期开学考试（竞赛）数学试题

田莘耕中学八年级数学竞赛试卷

考试时间：90分钟；总分：150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）

1．若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形,用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是(    ).

A．18 B．24 C．30 D．36

2．在△ABC中，已知，、分别是边、上的点，且，，，则等于(    ).

A． B． C． D．

3．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有10个不同的点，，……, 记（i ＝ 1，2，……，10），那么的值为(    ).

A．4 B．14 C．40 D．不能确定

4．若关于x的方程|x+1|+|x-1|= a有实根．则实数a的取值范围是(    ).

A．a≥0 B．a>0 C．a≥1 D．a≥2

5．在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使∠PAB、∠PBC、∠PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数(    ).

A．1 B．7 C．10 D．15

6．已知△ABC的两条高的长分别为5和20，若第三条高的长也是整数，则第三条高的长的最大值为(    ).

A．5 B．6 C．7 D．8

7．已知一次函数y=ax+b（a、b为常数，A为非零整数）的图象过点（98，19），它与x轴的交点为（p，0），与y轴交点为（0，q），若p是质数，q是正整数，那么满足条件的所有一次函数的个数为(    )．

A．0 B．1 C．2 D．大于2的整数

8．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，△ACD与△BCD的周长相等，△ABE与△CBE的周长相等，记△ABC的面积为S.若∠ACB=90°，则AD·CE与S的大小关系为(    ).

A．S=AD·CE B．S>AD·CE C．S<AD·CE D．无法确定

二、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分）

9．已知长分别为14，13，9，7的四条线段可以构成梯形，则在所有可能构成的梯形中，连接梯形两腰中点的线段长度的最大值是_________．

10．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝__________．

11．如果对任意的n个不大于1的非负实数总有成立，则正整数n的最大值为__________．

12．某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余每人获奖品7件；初二获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品9件．如果两个年级获奖人数不等，但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过100，那么两个年级获奖学生共有_______人.

13．如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0）、A（0，6）、B（4，6）、C（4，4）、D（6，4），E（6，0），若直线L经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线L的函数表达式是            .

14．一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k=1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼_____________米处．

15．设是方程所有根的绝对值之和，则的值为___________．

16．设表示最接近的整数(，为整数)，则的值为____________.

17．在等边中，D为边AB上一点，E为直线AC上一动点．如图所示，F为直线上方一点，且，若AF的最小值为，则AD的长是________．

18．若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是________.

三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)

19．（本题10分）解方程：（1） x2﹣﹣3 = 0

   解不等式：（2）

20.   （本题13分）试计算的值.

21.   （本题13分）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了环，环，环，环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到环）.

22．（本题16分）已知P是△ABC内任意一点（如图）．

（1）求证：（a+b+c）＜PA+PB+PC＜a+b+c；

（2）若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB+PC＜2．

23.   （本题18分）如图，为线段上一动点，分别过点作，，连接．已知，设．

  (1)用含的代数式表示的值；

  (2)探究：当点满足什么条件时，的值最小？最小值是多少？

  (3)根据(2)中的结论，请构造图形求代数式的最小值.

田莘耕中学八年级数学竞赛参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题,每题5分，共40分）

二、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分）

9、       10.5          10、           11、    7        12、_____25_____

13、        14、     150       15、   383       16、    5050     

17、        2            18、  3＜m≤4 

三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)

19.   (1) 解：当x<0时，原方程化为，解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）；

           当x<3时，原方程化为，解得或，

∴原方程的解为：.

    (2)

    解不等式①，得：x>-6；

    解不等式②，得：x<6；

   ∴ 不等式组的解集为：-6＜x＜6.

20.   解：∵2005×2006×2007×2008+1

=2005×（2005+3）×（2005+1）（2005+2）+1

=（20052+3×2005）×（20052+3×2005+2）+1

=（20052+3×2005）2+2（20052+3×2005）+1

=（20052+3×2005+1）2

∴=20052+3×2005+1；

∴-20062

=20052+3×2005+1-20062

=（2005+2006）（2005-2006）+3×2005+1=2005.

21.   解：设前5次射击所得平均环数为a，第10次击中x环，依题意

，                                                   ①

．                                               ②

由①得，从而．

由②得，所以，即第10次最少要得环．

22.   证明：(1) 由三角形两边之和大于第三边得

PA+PB＞c，PB+PC＞a，PC+PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得

PA+PB+PC＞（a+b+c）．

又由定理4可知

PA+PB＜a+b，PB+PC＜b+c，

PC+PA＜c+a．

把它们相加，再除以2，便得

PA+PB+PC＜a+b+c．

所以（a+b+c）＜PA+PB+PC＜a+b+c；

（2）解：过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图所示．

于是PA＜max{AD，AE}=AD，

PB＜BD+DP，PC＜PE+EC，

所以PA+PB+PC＜AD+BD+DP+PE+EC=AB+AE+EC=2．

23.   (1) ；

(2)      当三点共线时，的值最小，最小值为10.

(3)      解：如下图所示，作，过点作，过点作，使，．连接交于点，的长即为代数式的最小值．

过点作交的延长线于点，得矩形，

则，AF = BF = 12．

所以，即的最小值为13．