上海市重点中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题(无答案)

上海重点中学2022学年第二学期高二年级数学期末

2023.6

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分）

1.已知集合，，则______.

2.不等式的解集是______.

3.在的二项展开式中，含有项的系数为______.

4.甲和乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为______.

5.春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别是、，且两地同时下雨的概率为，则在春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为______.

6.2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的5名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲不能担任语言服务工作，则不同的选法共有______种.（结果用数值表示）

7.已知随机变量，且，则的最小值为______.

8.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.

9.如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则______.

10.近五年来某草原羊只数量与草地植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：

若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则______（填，，，）

11.设，为两个随机事件，①若，是互斥事件，，则；②若，是对立事件，则；③若，是独立事件，，，则；④若，，且，则，是独立事件.以上命题正确的序号为______.（填写序号）

12.设函数，若有且仅有两个整数满足，则实数的取值范围为______.

二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）

13.对于实数，，，且是的（    ）

A.充分非必要条件  B.必要非充分条件

C.充要条件  D.既非充分又非必要条件

14.用最小二乘法求回归方程是为了使（    ）

A.  B.

C.最小  D.最小

15.函数的大致图像为（    ）

A. B.

C. D.

16.已知定义在上的函数、，其导函数分别是、，且，，且为奇函数，则下列等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

三、解答题（本大题共5题，满分76分）

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数.

（1）若不等式的解集为，求的解集；

（2）当时，若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为中点，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某大学学院共有学生1000人，其中男生640人，女生360人.该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表.

（1）求的值，并估计学院学生5月份累计跑步里程在中的男生人数；

（2）从学院样本中5月份累计跑步里程不少于的学生中随机抽取3人，其中男生人数记为，求的分布及期望.

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）

已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.

（1）求粗圆的方程；

（2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；

（3）在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知函数，，.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）令当，若函数有两个零点，，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，证明：.