山东省德州市2022届高考数学二模试卷及答案

 高考数学二模试卷

一、单选题

1．已知集合 ， ，则 （　　） 

A． B． C． D．

2．已知m，n是两条不重合的直线， 是一个平面， ，则“ ”是“ ”的（　　） 

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知i是虚数单位，a，b均为实数，且 ，则点(a，b)所在的象限为（　　） 

A．一 B．二 C．三 D．四

4．已知 ，二项式 的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（　　） 

A．36 B．30 C．15 D．10

5．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（　　）

A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位

C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位

6．设随机变量X服从正态分布N(1， )，若 ，则 （　　） 

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6

7．已知函数 是偶函数，其导函数 的图象见下图，且 对 恒成立，则下列说法正确的是（　　） 

A． B．

C． D．

8．双曲线 的一条渐近线方程为 ， ， 分别为该双曲线的左右焦点， 为双曲线上的一点，则 的最小值为（　　） 

A．2 B．4 C．8 D．12

二、多选题

9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（　　） 

A．样本的众数为

B．样本的80%分位数为72

C．样本的平均值为66

D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人

10．已知O为坐标原点， ， ，  ，则下列结论正确的是（　　） 

A． 为等边三角形

B． 最小值为

C．满足 的点P有两个

D．存在一点P使得

11．某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为16 ，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠面成，如图②，则下列结论正确的是（　　） 

A．直线AD与平面DEF所成的角为

B．经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为

C．异面直线AD与CF所成角的余弦值为

D．球上的点到底面DEF的最大距离为

12．若函数 存在两个极值点 ，则（　　） 

A．函数 至少有一个零点 B． 或

C． D．

三、填空题

13．设函数 ，若 ，则 　     　． 

14．已知角θ的终边过点 ，且 ，则tanθ=　     　． 

15．已知抛物线 的焦点为F，O为坐标原点，A(t，1)是抛物线第一象限上的点， ，直线AF与抛物线的另一个交点为B，则 　     　． 

16．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段 ，记为第1次操作；再将剩下的两个区间 ， 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为　          　，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于 ，则需要操作的次数n的最小值为　     　．( ， ) 

四、解答题

17．已知数列{ }的首项 ，且满足 ． 

（1）证明 是等比数列，并求数列 的通项公式； 

（2）记 ，求{ }的前n项和 ． 

18．2021年12月17日，工信部发布的“十四五“促进中小企业发展规划》明确提出建立”百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”、“小巨人”、“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化，新颖化优势的中小企业下表是某地各年新增企业数量的有关数据：

参考公式：回归方程 中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为 ，

（1）请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测2023年此地新增企业的数量；

（2）若在此地进行考察，考察企业中有4个为“专精特新”企业，3个为普通企业，现从这7个企业中随机抽取3个，用X表示抽取的3个为“专精特新”全业个数，求随机变量X的分布列与期望．

19．在① ；② ；③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 

问题：已知 中，D为AB边上的一点，且BD=2AD，___________．

（1）若 ，求∠BCD大小； 

（2）若CD=CB，求cos∠ACB．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

20．《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．在《九章算术·商功》篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马” ，底面为边长为2的正方形，侧棱 ⊥面 ， ，E、F为边 、 上的点， ， ，点M为AD的中点． 

（1）若 ，证明：面PBM⊥面PAF； 

（2）是否存在实数 ，使二面角 的大小为 ？如果不存在，请说明理由；如果存在，求此时直线 与面 所成角的正弦值． 

21．已知 的两个顶点A，B的坐标分别为 ， ，圆E是 的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R， ，动点C的轨迹为曲线G． 

（1）求曲线G的方程；

（2）设直线l与曲线G交于M、N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点 ，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由． 

22．已知函数 ， ． 

（1）当 时，求 图象在( ，f( ))处的切线方程； 

（2）当 时，求 的极值； 

（3）若 ， 为函数 的导数， 恒成立，求a的取值范围． 

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】A

3．【答案】B

4．【答案】C

5．【答案】C

6．【答案】C

7．【答案】D

8．【答案】B

9．【答案】A,B,D

10．【答案】A,D

11．【答案】A,C

12．【答案】A,C,D

13．【答案】0或e

14．【答案】

15．【答案】40

16．【答案】；9

17．【答案】（1）证明：由题意得，

，

所以 ，

即 是等比数列，

则 的首项为 ，公比为3，所以 ，

所以 ．

（2）解：由（1）得： ， 

所以 ①，

②，

①－②得

，

所以 .

18．【答案】（1）解： ，

，

，

，

所以 ， ，

所以 ．

2023年，即当 时，由线性回归方程可得 ，

所以估计2023年此地新增企业的数量的为54家．

（2）解：由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，

因为 ， ， ， ，

所以X的分布列为

所以 ．

19．【答案】（1）解：若选①：

由正弦定理， ，因为 ，故 ，所以 ，即 ．．

又因为 ，所以 ，即

若选②：

因为 ， ，所以 ，显然 ，故 ．又因为

所以 ．

若选③：

由正弦定理， ，即 ，又 ，

所以 ，即 .又因为 ，所以 ．．

（①②③均可得 ）

若 ，△ABC为等腰三角形，且 ．

设腰长AC=BC=x，则

所以

由余弦定理

．

所以

所以

所以 ．

（2）解：取BD的中点E，连接CE，

由CB=CD得CE⊥AB

设AC=2t，在Rt△ACE中， ，

， ．．

由余弦定理得

20．【答案】（1）证明： 时，点E、F为 及 的中点． 

连接 与 交于点G，

在 和 中，

所以   ，于是 ．

而

所以

故 ，即 ．

又 ⊥面 ， 面 ，

所以 ．

因为 ， ， 面 ， 面 ，

所以 面 ．

又因为 面 ，所以面 面 ．

（2）解：连接AC，交EF于点Q，连接PQ，记BD与AC交于点O，如图：

因为 ， ，

所以 ，

因为 ，

所以 从而 ，

所以 为二面角 的一个平面角．

由题意， ，从而 ，

所以

于是 ，

所以 ， ．

如图，以AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴建立空间直角坐标系，．

于是 ， ， ， ， ，

， ， ，

设面PEF的一个法向量是

由   ，得：

取 ，则 ， ，则 ．

所以直线 与面 所成角为θ，则

．

21．【答案】（1）解：因为圆E为 的内切圆， 

所以 ，

所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆，

所以 ， ，则 ，

所以曲线G的方程为

（2）解：由 可知直线l的斜率存在，设直线l方程是 ， 

由平面图形OMDN是四边形，可知 ，代入到 ，

得

所以 ， ， ．

所以 ，

所以 ，

又点O到直线MN的距离 ，

由 ，得 ， ，

因为点D在曲线C上，所以将D点坐标代入椭圆方程得 ．

由题意四边形OMDN为平行四边形，

所以OMDN的面积为 ，

由 ，代入得 ，

故四边形OMDN的面积是定值，其定值为 ．

22．【答案】（1）解：当 时， ， 

，

故 ， ，

所以 ，即 ；

（2）解：因为 ， 

令 ，

当 时， 恒成立，

所以 单调递增，且 ，

则在(－∞，0)上 ， )在(－∞，0)上单调递减；

则在(0，+∞)上 )， )在(0，+∞)上单调递增；

且 ，所以，函数 的极小值为1－a，无极大值．

（3）解：已知 ， ， 

由 ，

即 在 恒成立，

即 在 恒成立．

设 ， ，

，

设 ，

，

由 可得 ， ，

所以 ，

则 在 上单调递减，可得 ，

所以 ， 在 上单调递减， ，

则a的取值范围是 ．