2022年山东省青岛市高考数学二模试卷

这是一份2022年山东省青岛市高考数学二模试卷，共16页。试卷主要包含了复数2i1-i的虚部是，若a>b，则，设O为坐标原点，抛物线C1，已知C等内容，欢迎下载使用。


2022年山东省青岛市高考数学二模试卷

1.（5分）已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={1,2,4,5}，B={1,3,5,7}，则A∪(∁UB)=()
A. {1,3,6} B. {2,4}
C. {1,2,4,5,6} D. {3,5,7}
2.（5分）复数2i1-i(i是虚数单位)的虚部是()
A. 1 B. -i C. 2 D. -2i
3.（5分）函数f(x)=2xx2-1的图象大致为()
A. B.
C. D.
4.（5分）二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为()
A. 146 B. 123 C. 523 D. 16
5.（5分）若a>b，则()
A. 1a>1b B. (12)a>(12)b
C. a>b D. a3>b3
6.（5分）下列函数中，以π2为周期且在区间(π4,π2)上单调递增的是()
A. y=sin4x B. y=cos4x C. y=tanx D. y=-tan2x
7.（5分）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几同体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，EF//平面ABCD，EF=2，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为()

A. 23π B. 43π C. 823π D. 4π
8.（5分）设O为坐标原点，抛物线C1：y2=2px(p>0)与双曲线C2：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，与C2在第一象限内的交点为M，若OM→=mOA→+nOB→(m,n∈R)，mn=18，则双曲线C2的离心率为()
A. 5+13 B. 5+12 C. 6+22 D. 6+223
9.（5分）已知C：x2+y2-6x=0，则下述正确的是()
A. 圆C的半径r=3
B. 点(1,22)在圆C的内部
C. 直线l：x+3y+3=0与圆C相切
D. 圆C'：(x+1)2+y2=4与圆C相交
10.（5分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，动点P在线段BD上，则下述正确的是()
A. PC1//AD1 B. PC1⊥A1C
C. PC1⊥平面A1BD D. PC1//平面AB1D1
11.（5分）已知函数f(x)的定义域为R，g(x)=f(2-x)-f(2+x)，h(x)=f(2-x)+f(x)，则下述正确的是()
A. g(x)为奇函数 B. g(x)为偶函数
C. h(x)的图象关于直线x=1对称 D. h(x)的图象关于点(1,0)对称
12.（5分）已知F(x)={lgx,00，b>0，则下述正确的是()
A. F(lg2022)=0 B. F(ab)=F(a)F(b)
C. F(ab)⩾F(a)+F(b) D. F(ab)=bF(a)
13.（5分）某校高二年级共有学生1000人，其中男生480人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高二全体学生中抽出一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则女生应抽取的人数为 ______.
14.（5分）若△ABC是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则MA→·(MB→+MC→)的值为 ______.
15.（5分）将等差数列{an}中的项排成如下数阵，已知该数阵第n行共有2n-1个数，若a1=2，且该数阵中第5行第6列的数为42，则an=______.

16.（5分）如图所示，A，B，C为三个村庄，AB=7km，AC=5km，BC=8km，则∠ACB=______；若村庄D在线段BC中点处，要在线段AC上选取一点E建一个加油站，使得该加油站到村庄A，B，C，D的距离之和最小，则该最小值为 ______km.

17.（12分）从①csinC-asinA=(3c-b)sinB；②sin2A+3cos2A=3两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答． 
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，_____，AB=23. 
(1)求角A； 
(2)若△ABC外接圆的圆心为O，cos∠AOB=1114，求BC的长．
18.（12分）已知等比数列{an}为递增数列，a1=1，a1+2是a2与a3的等差中项． 
(1)求数列{an}的通项公式； 
(2)若项数为n的数列{bn}满足：bi=bn+1-i(i=1,2,3,⋯,n)，我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{cn}为2k-1(k⩾2)项的“对称数列”，其中c1，c2，c3，⋯，ck是公差为2的等差数列，数列{cn}的最大项等于a4.记数列{cn}的前2k-1项和为S2k-1，若S2k-1=32，求k.
19.（12分）为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A指标的值．养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图． 
(1)根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中A指标值的中位数(结果保留两位小数)； 
 
(2)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中A指标的值X服从正态分布N(7.4,2.632). 
(ⅰ)若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液A指标的值不超过10.03的家禽数量(结果保留整数)； 
(ⅱ)在统计学中，把发生概率小于1％的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的．该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中A指标的值大于12.66，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由． 
参考数据： 
①0.022753≈0.00001，0.9772517≈0.7； 
②若X～N(μ,σ2)，则P(μ-σ⩽X⩽μ+σ)≈0.6827；P(μ-2σ⩽X⩽μ+2σ)≈0.9545.
20.（12分）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB=4，母线PH=22，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形． 
(1)设平面POH∩平面PBC=l；证明：l//BC； 
(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长．

21.（12分）已知函数f(x)=-2lnx+ax2+1. 
(1)讨论f(x)的单调性； 
(2)若f(x)有两个不同的零点x1，x2，x0为其极值点，证明：1x12+1x22>2f(x0).
22.（12分）已知点P(1,1)在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，△PF1F2的面积为62. 
(1)求椭圆C的方程； 
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：x2+y2=r2(0 (ⅰ)证明：k1k2=1； 
(ⅱ)证明：直线AB过定点．

答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为全集U={1,2,3,4,5,6,7}，B={1,3,5,7}， 
所以∁UB={2,4,6}， 
又A={1,2,4,5}，则A∪(∁UB)={1,2,4,5,6}， 
故选：C. 
由题意和补集、交集的运算依次求出∁UB和A∪(∁UB). 
此题主要考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．

2.【答案】A
【解析】解：∵2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i， 
∴2i1-i的虚部为1. 
故选：A. 
结合复数的四则运算，先对原式化简，再结合虚部的定义，即可求解． 
此题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．

3.【答案】A
【解析】解：由题可得函数f(x)定义域为{x|x≠±1}， 
且f(-x)=-2xx2+1=-f(x)， 
故函数为奇函数，故排除BD， 
由f(2)=43>0，f(12)=1-34=-43，故C错误， 
故选：A. 
求出函数定义域，可排除BD，再由特殊函数值可判断出答案． 
此题主要考查函数的图像，考查抽象概括能力，直观想象与逻辑推理能力，属于中档题．

4.【答案】C
【解析】解：从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数为：4C62=60， 
从24个节气中选取两个节气的事件总数有：C242=276， 
∴P=60276=523， 
故选：C. 
根据古典概型概率的计算公式，即可解出． 
此题主要考查了古典概型的概率，学生的数学运算能力，属于基础题．

5.【答案】D
【解析】解：对于A：当a=0，b=-1时，A错误； 
对于B：由于函数y=(12)x单调递减，故B错误； 
对于C：当a=-1，b=-2时，C错误； 
对于D：由于a>b，所以a3-b3=(a-b)[(a+b2)2+3b24]>0，故D正确． 
故选：D. 
直接利用不等式的性质和赋值法的应用求出结果． 
此题主要考查的知识要点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

6.【答案】B
【解析】解：A选项，T=2π4=π2，设y=sin4x=sint，因为x∈(π4,π2)，所以t=4x∈(π,2π). 
由y=sint函数图象性质可知在(π,2π)先减后增，所以A选项不正确． 
B选项，T=2π4=π2，设y=cos4x=cost，因为x∈(π4,π2)，所以t=4x∈(π,2π). 
由y=cost图象可知是正确的，所以B选项正确． 
C选项，T=π1=π，所以C选项不正确． 
D选项，T=π2，设y=-tan2x=-tant，因为x∈(π4,π2)，所以t=2x∈(π2,π). 
由y=-tant图象可知在(π2,π)单调递减，所以D选项不正确． 
故选：B. 
通过三角函数周期公式即可求出周期，再将定义域带入即可判断是否为单调递增． 
此题主要考查三角函数的周期性的单调性，属于简单题．

7.【答案】B
【解析】解：连接AC，BD交于点M，取EF中点O， 
则OM⊥面ABCD， 
取BC中点G，连接FG，作GH⊥EF， 
由题意可得HF=12，FG=32，则HG=22， 
则OM=HG=22， 
则OA=OM2+AM2=1， 
又OE=1， 
即OA=OB=OC=OD=OE=OF=1， 
即这个几何体的外接球的球心为O，半径为1， 
则这个几何体的外接球的体积为43π， 
故选：B. 
连接AC，BD交于点M，取EF中点O，证明OA=OB=OC=OD=OE=OF=1，然后结合球的体积公式求解即可． 
此题主要考查了球的体积，重点考查了空间几何体的外接球问题，属中档题．


8.【答案】C
【解析】解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)， 
则由题意可得，c=p2， 
即有抛物线方程为y2=4cx， 
令x=c，代入抛物线方程，可得y=±2c， 
代入双曲线方程，可得y=±bc2-a2a=±b2a， 
可设A(c,2c)，B(c,-2c)，M(c,b2a)， 
由OM→=mOA→+nOB→，即有{m+n=1m-n=b22ac， 
两式平方相减可得，4mn=1-(b22ac)2， 
由mn=18，可得，b2=2ac 
由b2=c2-a2，即为c2-2ac-a2=0， 
由e=ca可得，e2-2e-1=0， 
由e>1，可得e=6+22. 
故选：C. 
求出抛物线的焦点，即有2c=p，令x=c，分别代入抛物线方程和双曲线方程，求得A，B，M的坐标，再由OM→=mOA→+nOB→得到m，n的方程，再由mn=18，可得a，b，c的关系式，再由离心率公式计算即可得到． 
此题主要考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查平面向量的基本定理及运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．

9.【答案】ACD
【解析】解：圆C的方程即(x-3)2+y2=9，则圆的半径为3，选项A正确； 
(1-3)2+(22)2>9，则点(1,22)在圆的外部，选项B错误； 
圆心到直线x+3y+3=0的距离d=|3+0+3|1+3=3，则直线与圆相切，选项C正确； 
C与C'的圆心距d=(-1-3)2+02=4，由于1<4<5，故两圆相交，选项D正确． 
故选：ACD. 
将圆的方程化为标准方程，结合直线方程和圆的方程考查所给的选项是否正确即可． 
此题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．

10.【答案】BD
【解析】解：正方体ABCD-A1B1C1D1，动点P在线段BD上，如图， 
 
对于A，当P与B重合时，PC1//AD1，当P与B不重合时，PC1与AD1不平行，故A错误； 
对于B，∵A1C⊥BD，A1C⊥BC1，BD∩BC1=B， 
∴A1C⊥平面BDC1，∵C1P⊂平面BDC1，∴PC1⊥A1C，故B正确； 
对于C，当P与B重合时，PC1与BD所成角为π3， 
∴PC1与平面A1BD不垂直，故C错误； 
对于D，∵B1D1//BD，AD1//BC1，B1D1∩AD1=D1，BD∩BC1=B， 
∴平面BDC1//平面AB1D1， 
∵PC1⊂平面BDC1，∴PC1//平面AB1D1，故D正确． 
故选：BD. 
对于A，当P与B重合时，PC1//AD1，当P与B不重合时，PC1与AD1不平行；对于B，由A1C⊥BD，A1C⊥BC1，得到A1C⊥平面BDC1，再由线面垂直的性质得到PC1⊥A1C，即可判断；对于C，当P与B重合时，PC1与BD所成角为π3，判断C；对于D，推导出平面BDC1//平面AB1D1，判断D. 
此题主要考查命题真假的判断，考查线面垂直、线面平行、面面平行的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

11.【答案】AC
【解析】解：因为g(x)=f(2-x)-f(2+x)， 
所以g(-x)=f(2+x)-f(2-x)=-g(x)，即g(x)为奇函数，A正确，B错误； 
因为h(x)=f(2-x)+f(x)， 
所以h(2-x)=f(x)+f(2-x)=h(x)，即h(x)的图象关于x=1对称，C正确，D错误． 
故选：AC. 
由已知结合函数的奇偶性及对称性分别检验各选项即可判断． 
此题主要考查了函数的奇偶性及对称性的应用，属于基础题．

12.【答案】ACD
【解析】解：∵F(x)={lgx,00，b>0， 
∴F(lg2022)=0，故A正确； 
当a，b∈(0,1)时，F(ab)=F(a)+F(b)，故B错误； 
对于C，当a，b有一个大于等1时， 
假设a>1，0b>0，F(ab)>F(a)+F(b)=F(b)， 
当a，b都大于1时，F(ab)=F(a)+F(b)=0， 
当0 对于D，当a⩾1时，F(ab)=bF(a)=0， 
当0 故选：ACD. 
利用函数的性质、对数的性质、运算法则求解求解． 
此题主要考查命题真假的判断，考查函数的性质、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

13.【答案】 52
【解析】解：由分层抽样的性质得： 
女生应该抽取：100×1000-4801000=52. 
故答案为：52. 
利用分层抽样的性质直接求解． 
此题主要考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14.【答案】 -32
【解析】解：已知△ABC是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点， 
则AM=MD=32，AM→=MD→， 
又MB→+MC→=2MD→， 
则MA→·(MB→+MC→)=-2MA→2=-2×(32)2=-32， 
故答案为：-32. 
已知△ABC是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则AM=MD=32，AM→=MD→，又MB→+MC→=2MD→，然后结合平面向量数量积的运算求解即可． 
此题主要考查了平面向量数量积的运算，属基础题．


15.【答案】 2n
【解析】解：由图可知 
 
第5行第6列数为a21=42. 
d=a21-a121-1=42-221-1=2. 
所以an=2+(n-1)×2=2n. 
故答案为：2n. 
确定42为数列中的第几项，可以求出公差，从而确定等差数列的通项公式 
此题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．

16.【答案】 60°  47+5; 略
【解析】解：在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB=AC2+BC2-AB22AC·BC=25+64-4980=12， 
∵0°<∠ACB<180°，∴∠ACB=60°； 
如图：作D关于AC的对称点F，则DE=FE，DC=FC=4，∠ACB=∠ACB=60°， 
 
所以∠BCF=120°， 
当且仅当B，E，F三点共线时，BE+EF最小， 
BF2=BC2+CF2-2BC⋅CFcos∠BCF=82+42-2×8×4×(-12)=112，BF=47， 
所以AE+CE+BE+DE=AC+BE+EF⩾AC+BF=47+5. 
当且仅当B，E，F三点共线时，等号成立， 
故答案为：60°；47+5. 
在△ABC中，由余弦定理可得cos∠ACB，进而求∠ACB；如图：作D关于AC的对称点F，则DE=FE，DC=FC=4，∠ACB=∠ACB=60°， 
所以∠BCF=120°，当且仅当B，E，F三点共线时，BE+EF最小，计算即可． 
此题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，数形结合思想，属中档题．

17.【答案】解：（1）条件①： 
由正弦定理及csinC-asinA=(3c-b)sinB，知c2-a2=(3c-b)b，即b2+c2-a2=3bc， 
由余弦定理知，cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32， 
因为A∈（0，π），所以A=π6． 
条件②： 
因为sin2A+3cos2A=3，所以2sin（2A+π3）=3， 
因为A∈（0，π），所以2A+π3=2π3，即A=π6． 
（2）因为△ABC外接圆的圆心为O，所以∠AOB=2∠C， 
所以cos∠AOB=cos2∠C=1-2sin2∠C=1114， 
所以sin∠C=2114， 
在△ABC中，由正弦定理，知csinC=asinA，即232114=a12， 
所以BC=a=27．
【解析】 
(1)条件①：利用正弦定理化角为边，并结合余弦定理，即可得解； 
条件②：利用辅助角公式进行化简运算，即可得解； 
(2)根据圆的几何性质，可得∠AOB=2∠C，再由二倍角公式可得sin∠C的值，然后利用正弦定理，得解． 
此题主要考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，辅助角公式，二倍角公式是解答该题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

18.【答案】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则q＞1， 
因为a1+2是a2与a3的等差中项， 
所以a2+a3=2（a1+2），所以q+q2=6，解得q=2或-3（舍）， 
所以an=a1qn-1=2n-1． 
（2）由题意知，ck=a4=8， 
所以c1，c2，c3，⋯，ck是以8为末项，2为公差的等差数列， 
由ck=c1+（k-1）×2=8，得c1=10-2k， 
所以c1+c2+c3+⋯+ck=(c1+ck)·k2=k（9-k）， 
因为S2k-1=32， 
所以S2k-1=c1+c2+c3+⋯+ck+…+c2k-1=2（c1+c2+c3+⋯+ck）-ck=2k（9-k）-8=32，即k2-9k+20=0， 
解得k=4或5．
【解析】 
(1)结合等比数列的通项公式与等差中项的性质，求得公比q，再由等比数列的通项公式，得解； 
(2)由题意知，ck=a4=8，可确定c1，c2，c3，⋯，ck是以8为末项，2为公差的等差数列，根据等差数列的前n项和公式，由S2k-1=2(c1+c2+c3+⋯+ck)-ck，得解． 
此题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟练掌握等差中项的性质，等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式是解答该题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

19.【答案】解：（1）∵（0.02+0.06+0.14）×2=0.44＜0.5， 
（0.02+0.06+0.14+0.18）×2=0.80＞0.5， 
设这5000只家禽血液样本中A指标值的中位数为x， 
则（0.02+0.06+0.14）×2+0.18（x-7）=0.5， 
解得x≈7.17． 
（2）（i）∵μ+σ=7.4+2.63=10.03， 
∴P（X≤10.03）=P（X≤μ+σ）=1+P(μ-σ＜X＜μ+σ)2=0.84135， 
∴1000P（X≤10.03）≈841． 
（ii）∵12.66=μ+2σ， 
∴P（X＞12.66）=1-P(μ-2σ＜X＜μ+2σ)2≈0.02275， 
设‘’随机抽检的20只家禽中恰有3只血液中A指标的值大于12.66”为事件B， 
则P（B）=C203×（0.02275）3×（0.97725）17≈0.00798＜1%， 
∴判断这一天该养殖场的家禽健康状况不正常．
【解析】 
(1)设这5000只家禽血液样本中A指标值的中位数为x，可得(0.02+0.06+0.14)×2+0.18(x-7)=0.5，解得x. 
(2)(i)由μ+σ=7.4+2.63=10.03，可得P(X⩽10.03)=P(X⩽μ+σ)=1+P(μ-σ (ii)由12.66=μ+2σ，可得P(X>12.66)=1-P(μ-2σ 利用二项分布列概率计算公式即可判断出结论． 
此题主要考查了频率分布直方图的性质、中位数、正态分布的性质、二项分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20.【答案】解：（1）证明：∵四边形OBCH是正方形，∴BC∥OH， 
∵BC⊄平面POH，OH⊂平面POH， 
∴BC∥平面POH， 
∵BC⊂平面PBC，平面POH∩平面PBC=l， 
∴l∥BC； 
（2）∵圆锥的母线长为22，AB=4，∴OB=2，OP=2， 
以O为坐标原点，OH所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 
 
则P（0，0，2），B（0，2，0），D（1，0，0），C（2，2，0），M（0，1，1）， 
设DN→=λDC→=（λ，2λ，0），（0≤λ≤1）， 
ON→=OD→+DN→=（1+λ，2λ，0），MN→=ON→-OM→=（1+λ，2λ-1，-1）， 
OD→=（1，0，0）为平面PAB的一个法向量， 
设MN与平面PAB所成角为θ，1+λ=t， 
则sinθ=t5t2-12t+10=15-12t+10(1t)2=110(1t-35)2+75， 
∴当1t=35时，即λ=23时，sinθ最大，此时θ最大，MN→=（53，13，-1）， 
∴MN=|MN→|=(53)2+(13)2+(-1)2=353．
【解析】 
(1)推导出BC//OH，从而BC//平面POH，由此能证明l//BC； 
(2)以O为坐标原点，OH所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 
此题主要考查线面平行、线面垂直的判定与性质、向量法求线面角正弦值、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21.【答案】解：（1）∵f(x)=-2lnx+ax2+1， 
∴f'(x)=-2x2+2ax3(x＞0)， 
当a≥0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减； 
当a＜0时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜-a，由f′（x）＜0，解得x＞-a， 
∴f（x）在(0，-a)上单调递增，在(-a，+∞)上单调递减； 
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减； 
当a＜0时，f（x）在(0，-a)上单调递增，在(-a，+∞)上单调递减； 
（2）证明：由（1）可知，a＜0且f（x）的极大值，同时也是最大值为f(-a)=-ln(-a)，则x0=-a， 
为满足题意，必有f(-a)=-ln(-a)＞0，即-1＜a＜0； 
设h(x)=lnx-x，h'(x)=1x-1=1-xx， 
易知当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减， 
∴h（x）max=h（1）=-1＜0，从而lnx＜x， 
∴2f(x0)=-4ln(-a)=2ln(-1a)＜-2a， 
又∵x1，x2是函数f（x）的两个不同的零点， 
∴f(x1)=-2lnx1+ax12+1=0，f(x2)=-2lnx2+ax22+1=0， 
两式相减可得，-1a=x22-x122x12x22lnx2x1， 
设x2＞x1＞0，所以要证明1x12+1x22＞2f(x0)， 
只需证明1x12+1x22＞2×x22-x122x12x22lnx2x1，即证明lnx22x12＞2(x22-x12)x12+x22，即证lnx22x12＞2(x22x12-1)x22x12+1， 
设x22x12=t∈(1，+∞)，下面就只需证明lnt＞2(t-1)t+1(t＞1)， 
设g(t)=lnt-2(t-1)t+1，t＞1，则g'(t)=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2＞0， 
∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，则g(t)=lnt-2(t-1)t+1＞g(1)=0， 
∴lnt＞2(t-1)t+1(t＞1)成立，即1x12+1x22＞2f(x0)得证．
【解析】 
(1)对函数f(x)求导，分a⩾0及a<0判断导函数与0的关系，进而得到单调性； 
(2)分析可知-12(x22x12-1)x22x12+1，换元法构造新函数，利用导数即可得证． 
此题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．

22.【答案】解：（1）由题意1a2+1b2=1， 
又△PF1F2的面积为62，则12·2c·1=62， 
可得a2-b2=c2=32，解得a2=3，b2=32， 
所以椭圆C的方程为x23+2y23=1，； 
（2）证明：（ⅰ）设直线PA的方程为y=k1（x-1）+1， 
直线PB的方程为y=k2（x-1）+1， 
由题意可知|1-k1|1+k12=r，整理可得（1-r2）k12-2k1+1-r2=0， 
同理可得（1-r2）k22-2k2+1-r2=0， 
所以k1，k2是方程（1-r2）x2-2x+1-r2=0的两根， 
所以k1•k2=1； 
（ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+m， 
联立{y=kx+mx2+2y2=3，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-3=0， 
所以x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-31+2k2， 
y1+y2=k（x1+x2）+2m=2m1+2k2，y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=m2-3k21+2k2， 
∵k1k2=y1-1x1-1·y2-1x2-1=y1y2-(y1+y2)+1x1x2-(x1+x2)+1=1， 
∴3k2+4km+m2+2m-3=0，∴m+3k+3=0或m+k-1=0， 
当m=1-k时，直线AB的方程为y=kx-k+1， 
即y=k（x+1）+1此时直线AB过点P（1，1），舍去， 
当m=-3-3k时，直线AB的方程为y=kx-3k-3， 
即y=k（x-3）-3，此时直线AB过点（3，-3）， 
∴直线AB过定点（3，-3）．
【解析】 
(1)利用1a2+1b2=1，结合三角形的面积公式，求出a，b，即可求椭圆C的方程； 
(2)(ⅰ)设直线PA的方程为y=k1(x-1)+1，直线PB的方程为y=k2(x-1)+1，由题意可知|1-k1|1+k12=r，可得k1，k2是方程(1-r2)x2-2x+1-r2=0的两根，利用韦达定理即可证明； 
(ⅱ)设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合k1k2=1，可得m与k的关系式，即可证明直线AB过定点． 
此题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中档题．