2022年山东省临沂市高考数学二模试卷

2022年山东省临沂市高考数学二模试卷

1.（5分）在复平面内，复数满足，则

A.  B.  C.  D.

2.（5分）设集合，，则

A.  B.  C.  D.

3.（5分）已知平面向量，，若，则

A.  B.  C.  D.

4.（5分）已知双曲线：的焦距为，实轴长为，则的渐近线方程为

A.  B.  C.  D.

5.（5分）已知随机变量服从正态分布，且，则

A.  B.  C.  D.

6.（5分）一个公司有名员工，其中位员工的月工资分别为、、、、、，另两位员工的月工资数据不清楚，那么位员工月工资的中位数不可能是

A.  B.  C.  D.

7.（5分）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为

A.  B.  C.  D.

8.（5分）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积根据此公式，若，且，则的面积为

A.  B.  C.  D.

9.（5分）对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是 
 

A.  B.  C.  D.

10.（5分）已知，，则使“”成立的一个必要不充分条件是

A.  B.
C.  D.

11.（5分）如图，已知椭圆：，、分别为左、右顶点，、分别为上、下顶点，、分别为左、右焦点，为椭圆上一点，则下列条件中能使得椭圆的离心率为的有
 

A.
B.
C. 轴，且
D. 四边形的内切圆过焦点，

12.（5分）如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，点在上，且，为线段上的点，则
 

A. 平面
B. 当为的中点时，直线与平面所成角的正切值为
C. 存在点，使得
D. 存在点，使得三棱锥的体积为

13.（5分）已知函数，则的值为 ______.

14.（5分）已知函数是偶函数，则______.

15.（5分）若圆：与圆：的公共弦的长为，则直线恒过定点的坐标为 ______.

16.（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图①是一个椭圆球形瓷凳，其轴截面为图②中的实线图形，两段曲线是椭圆的一部分，若瓷凳底面圆的直径为，高为，则______；利用祖暅原理可求得该椭圆球形瓷凳的体积为 ______.
 

17.（12分）已知数列的前项和为，， 
求的通项公式； 
记，求数列的前项和

18.（12分）已知函数，，且在上的最大值为 
求的解析式； 
将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若，求的值．

19.（12分）如图，是圆柱底面圆的直径，、为圆柱的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，、分别为、的中点． 
证明：平面； 
求平面与平面夹角的余弦值．
 

20.（12分）甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有个大小和质地相同的球，其中有个白球，个红球． 
甲、乙先后不放回地各摸出个球，求两球颜色相同的概率； 
甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为，求的分布列和期望．

21.（12分）已知函数 
若存在，使成立，求的取值范围； 
若，存在，，且当时，，求证：

22.（12分）已知抛物线：的焦点为，抛物线上的一点的横坐标为，为坐标原点， 
求抛物线的方程； 
若一直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，点为直线上的动点． 
①求证： 
②是否存在这样的点，使得为正三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因为， 
所以 
故选： 
利用复数的除法运算法则进行求解即可． 
此题主要考查了复数的除法运算，解答该题的关键是掌握复数除法的运算法则，属于基础题．
 

2.【答案】B

【解析】解：由题意可得，， 
 
故选： 
先化简，再运算即可求解． 
此题主要考查集合基本运算，属基础题．
 

3.【答案】D

【解析】解：根据题意，平面向量，， 
若，则，解可得， 
则，则，故； 
故选： 
根据题意，由向量垂直的判断方法可得，解可得的值，即可得的坐标，由此计算可得答案． 
此题主要考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
 

4.【答案】C

【解析】解：由已知得，双曲线的焦点在轴上， 
双曲线的焦距，解得， 
双曲线的是实轴长为，解得， 
则， 
即双曲线的渐近线方程为 
故选： 
由焦距和实轴长分别算出和的值，再利用可求出值，渐近线方程即可求解． 
此题主要考查了双曲线的性质，属于基础题．
 

5.【答案】B

【解析】解：随机变量服从正态分布，且， 
 
故选： 
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解． 
此题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 

6.【答案】D

【解析】解：该公司名员工的月工资分别为，，，，，， 
当其余两名员工的工资分别小于时，中位数：， 
当其余两名员工的工资分别大于时，中位数：， 
位员工月工资的中位数的取值区间为， 
位员工月工资的中位数不可能是 
故选： 
根据中位数的定义，由已知数据确定中位数的范围，由此判断正确选项． 
此题主要考查中位数的定义，属于基础题．
 

7.【答案】C

【解析】解：令，则展开式的各项系数和为，解得， 
所以二项式为， 
则展开式中含的项为， 
故的系数为， 
故选： 
令求出的值，然后根据二项式定理求出展开式中含的项，进而可以求解． 
此题主要考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

8.【答案】A

【解析】解：， 
， 
， 
， 
，， 
，解得：， 
，可得， 
， 
故选： 
根据，求出，再根据余弦定理以及，求出的值，代入三角形面积公式即可． 
此题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

9.【答案】AC

【解析】解：由散点图可知，线性相关系数的图像表示与成负相关，故，故正确； 
线性相关系数的图像表示与正相关，故，故错误； 
线性相关系数的点较线性相关系数的点密集，故，故，故正确，错误． 
故选： 
根据与成正相关或负相关可判断相关系数的正负，根据点的密集程度可比较相关性的大小，从而比较相关系数绝对值的大小． 
此题主要考查相关系数，考查学生的推理能力，属于基础题．
 

10.【答案】BC

【解析】解：对于，当时，满足，不满足， 
即推不出，不充分； 
当时，满足，不满足， 
即，推不出，不必要，故错误； 
对于，当时，满足，不满足，即推不出，不充分； 
当时，平方得， 
又， 
又，， 
能推出，是必要条件，故正确； 
对于，当时，满足，不满足，即推不出，不充分， 
当时，由，，， 
，能推出，是必要条件，故正确； 
对于，当时，满足，不满足， 
即推不出，不充分； 
当，时，满足，不满足， 
即推不出，不必要，故错误． 
故选： 
对于选项，取特殊值说明既不充分也不必要条件即可；对于，先取特殊值说明不充分，再同时平方证明必要性即可；对于，选取特殊值说明不充分，再结合基本不等式证明必要性即可． 
此题主要考查必要不充分条件的判断，考查不等式的性质、特殊值法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

11.【答案】BD

【解析】解：由椭圆：，可得，，，，，， 
对于，，即为，所以，即，不符题意，错误； 
对于，若，则，即，所以， 
即有，解得舍去，符合题意，正确； 
对于，若轴，且，所以， 
由，可得，解得，又，所以，不符题意，故错误； 
对于，若四边形的内切圆过焦点，， 
即四边形的内切圆的半径为，则，结合， 
所以，即，解得舍去或，所以，故正确． 
故选： 
由椭圆方程分别求得，，，，，，对选项一一分析，结合两点的距离公式、直线的斜率公式和离心率公式，解方程即可得到结论． 
此题主要考查椭圆的方程和性质，以及“黄金椭圆”的理解和运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

12.【答案】BD

【解析】解：对于，假设平面，则，易知，， 
故平面，故，这与矛盾，故假设不成立，故错误； 
对于，当为的中点时，取中点为，连接、， 
 
易知，平面，则平面， 
故即为与平面所成角， 
则，故正确； 
对于，取中点为，连接、， 
 
由，知平面，故， 
若，，则平面，则， 
过作交，于，则，即， 
易知不可能为，故不存在使得，故错误； 
对于，取中点为，连接，易知平面， 
 
若三棱锥的体积为， 
则， 
 
， 
故存在使时，三棱锥的体积为，故正确． 
故选： 
：假设平面，则可得平面，与已知矛盾，从而判断假设不成立；：取中点为，可证平面，为与平面所成角，解即可；：假设，可得平面，，几何图形即可判断假设不成立；：假设，求出的面积，判断面积是否小于或等于面积即可． 
本题充分考察空间里面的点线面位置关系，属于中档题．
 

13.【答案】

【解析】解：根据题意， 
当时，，则， 
当时，，则， 
则； 
故答案为： 
根据题意，由函数的解析式计算可得答案． 
此题主要考查分段函数的求值，涉及函数的解析式，属于基础题．
 

14.【答案】 2

【解析】解：因为函数是偶函数，定义域为， 
所以， 
即，所以， 
所以， 
故答案为： 
由偶函数的性质即可求解的值． 
此题主要考查函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 （-1，-）

【解析】解：根据题意，圆：，即， 
与圆：联立可得：，即两圆公共弦的方程为， 
又由两圆公共弦的长为，则点到直线的距离， 
则有，变形可得，则有， 
对于直线，则有，变形可得， 
则有，解可得，则的坐标为； 
故答案为： 
根据题意，联立两个圆的方程，变形可得两圆公共弦的方程，结合直线与圆的位置关系可得，将其代入直线的方程，分析可得答案． 
此题主要考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，属于中档题．
 

16.【答案】   44π; 略

【解析】解：第一空：如图以椭圆的中心建立坐标系，瓷登底面圆的直径为，高为，易得图中，故，解得； 
 
第二空：如图，图为旋转形成椭圆球形的一半，图为圆柱挖去等底等高圆锥形成的几何体，其底面半径为，高和半椭圆球形相等． 
 
设，即点纵坐标为，代入椭圆方程，解得， 
故圆的面积； 
根据祖暅原理可得图半椭圆球形的体积等于图几何体的体积． 
又该瓷凳底面圆的直径为，高为，即，，， 
故体积为， 
故该瓷凳的体积为 
故答案为： 
第一空：建立直角坐标系，代入点的坐标求出即可；第二空：由祖暅原理，给出底面半径为，高和半椭圆球形相等的圆柱挖去等底等高圆锥形成的几何体，求得截面面积相同，即体积相同，求出该几何体的体积，即可求得椭圆球形瓷凳的体积． 
此题主要考查空间几何体的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：（1）数列{}的前n项和为Sn，=1，Sn+1=2Sn+1， 
整理得：Sn+1+1=2（Sn+1）， 
故数列{Sn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列； 
所以， 
整理得， 
所以． 
（2）由（1）得：， 
所以，①， 
，②， 
①-②得：， 
整理得．

【解析】 
直接利用递推关系求出数列的通项公式； 
利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列和． 
此题主要考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：（1）∵函数（A＞0，0＜ω＜1），， 
∴函数f（x）的图象的一条对称轴为x==， 
∴ω×+=kπ+，k∈Z，即ω=+． 
∵ω∈（0，1），∴ω=，所以T=3π，f（x）=Asin（x+）． 
且f（x）在（0，）上，x+∈（，），函数f（x）的最大值为A=， 
∴f（x）=sin（x+）． 
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）=sin（2x+） 的图象， 
若=sin（α+），则sin（α+）=，∴ 
∴sin2α=-cos（2α+）=2-1=2×-1=-．

【解析】 
由题意，利用正弦函数的图象和性质，求出的解析式． 
由题意，利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用诱导公式、二倍角公式，求得的值． 
此题主要考查求三角函数解析式的方法，三角函数单调性及最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】（1）证明：取AA1的中点G，连接EG，FG，AC， 
因为EG∥AD，EG⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 
所以EG∥平面ABCD， 
因为AG∥CF，AG=CF，所以四边形AGFC是平行四边形， 
所以FG∥AC，又FG⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 
所以FG∥平面ABCD， 
因为FG⋂EG=G，所以平面EFG∥平面ABCD， 
因为EF⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD． 
（2）解：设AB=AA1=2BC=2CD=4， 
由AD=CD=BC，得∠DAB=∠ABC=60°， 
因为AC⊥BC，所以AC==2， 
由题意知CA，CB，CC1两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 
 
则A（2，0，0），A1（2，0，4），B（0，2，0），C1（0，0，4）， 
D（，-1，0），E（，-，2），F（0，0，2），O（，1，0） 
所以=（-，2），=（-，-1，2）， 
设平面OEF的一个法向量为=（x，y，z）， 
则，取x=，则y=9，z=6， 
∴平面OEF的一个法向量为=（，9，6）， 
又=（2，0，0）为平面BCC1的一个法向量， 
所以cos＜，＞==， 
所以平面OEF与平面BCC1夹角的余弦值为．

【解析】 
取的中点，连接，，，可证明四边形是平行四边形，从而证明平面平面，从而得证． 
由题意知，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可． 
此题主要考查线面平行的证明，二面角的相关计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．
 

20.【答案】解：（1）两球颜色相同分为都是红球或白球，其概率为； 
（2）依题意X=2，3，4，5， 
， 
X=3，就是前2个一个是红球，一个是白球，第3个是红球，， 
X=4，就是前3个有2个白球一个红球，第4个是红球，或前四个全是白球， 
， 
X=5，分为前4个球中有3个白球1个红球，第5个是红球，或者是前4个球中3个白球一个红球， 
第5个是白球， 
分布列为：

数学期望．

【解析】 
颜色相同分为个白球和个红球，按照计数原理组合即可； 
由题意求取的取值及对应的概率即可得解． 
此题主要考查离散型随机变量及其分布列，概率统计的实际应用等知识，属于中等题．
 

21.【答案】解：（1）由f（x）≤ax可得，即， 
设，则，设φ（x）=sinx-xcosx，φ′（x）=xsinx＞0， 
∴φ（x）在单调递增， 
∴， 
∴在上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，则， 
∴实数a的取值范围为； 
（2）证明：不妨设0＜＜， 
∵g（）=g（）， 
∴， 
∴， 
令y=x-sinx，y′=1-cosx≥0， 
∴函数y=x-sinx在（0，+∞）上单调递增， 
∴-sin＞-sin，即-＞sin-sin， 
∴， 
∴， 
下面证明， 
令，即证明，只要证明， 
令，则在（1，+∞）上恒成立， 
∴m（t）在（1，+∞）上单调递减，则m（t）＜m（1）=0， 
∴，即，得证．

【解析】 
依题意，，设，求出函数在上的最大值即可得解； 
先证明，再证明，综合即可得证． 
此题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于难题．
 

22.【答案】解：（1）因为抛物线H的方程为=2px，M抛物线H上且的横坐标为5， 
所以M的纵坐标为， 
当点M的坐标为时，过点M作MN⊥OF，垂足为N， 
因为，所以，所以， 
又，所以， 
所以，所以，又p＞0， 
所以p=2， 
同理当点M的坐标为时，p=2， 
所以抛物线H的方程为=4x； 
 
（2）证明：①设直线AB：x=my+1，A（，），B（，），C（-1，n）， 
由，得-4my-4=0， 
则， 
， 
， 
所以，所以； 
 
②假设存在这样的点C，设AB的中点为N，由①知N（2+1，2m）， 
∵CN⊥AB，∴，则n=2+4m，则C（-1，2+4m）， 
则， 
而， 
由得，， 
所以存在点．

【解析】 
由条件列方程求参数，由此可得抛物线的方程；设直线：，，，，联立方程得关于的表达式，结合韦达定理和向量的表示方法，即可求证；可假设存在点，设的中点为，由直线和垂直关系求出点，由韦达定理和弦长公式求得弦，结合即可求解具体的的值，进而求解点 
此题主要考查了抛物线的性质，属于中档题．