2021-2022学年广西玉林市高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年广西玉林市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. (    )

A.  B.  C.  D.

2. 设全集为，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 某研究小组在一项实验中获得一组关于，之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 函数的定义域为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某产品生产厂家的市场部在对家商场进行调研时，获得该产品的售价单位：元和销售量单位：百个之间的四组数据如表：

用最小二乘法求得销售量与售价之间的线性回归方程，那么表中实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

7. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线点法式方程为，化简得，类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 算法统宗是由明代数学家程大位所著的一部应用数学著作，其完善了珠算口诀，确立了算盘用法，并完成了由筹算到珠算的彻底转变，该书清初又传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著．书中卷八有这样一个问题：“今有物靠壁，一面尖堆，底脚阔一十八个，问共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的即为该物的总数，则总数(    )

A.  B.  C.  D.

10. 函数的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 已知是定义在上的偶函数，并满足：，当，，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 集合，则的子集个数为______．
14. 函数的值域为______．
15. 甲、乙、丙三人去图书馆借书，他们每人借的不是杂志就是小说每人只能借其中一种．
    如果甲借的是杂志，那么乙借的就是小说．
    甲或丙借的是杂志，但是不会两人都借杂志．
    乙和丙不会两人都借小说．
    则同时满足上述三个条件的不同借书方案有______种．
16. 已知奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 集合，．
    求；
    若集合，满足求实数的取值范围．
18. 中医药文化历史悠久，我国经历了数千年的艰难探索和发展，逐渐积淀成博大精深的中医药文化．某医药采购商计划购买千克乌天麻，购买数据如频率分布直方图所示．
    估计每千克乌天麻的平均支数同一组中的数据用该区间的中点值作代表；
    知生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择
    方案一：这千克乌天麻一律售价为元千克．
    方案二：这千克按规格不同售出，其售价如下：乌天麻规格在售元千克，规格在售价元千克，规格在售元千克，规格在售元千克．
    从采购商的角度考虑，应该选择哪种方案？请说明理由．

19. 已知函数．
    求，的值；
    由中求得的结果，你发现与有什么关系？并证明你的发现；
    求的值．
20. 为了增强学生体质，某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了名同学进行调查，其中男生比女生多人，表示对乒乓球运动没有兴趣的名同学中有名是女生．
    完成下列表格，并判断是否有的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”；

从被调查的“表示对乒乓球运动没有兴趣”的同学中，采取分层抽样方法抽取名同学，再从这名同学中任意抽取名，求抽取的人中有女生的概率．
参考公式：，．

21. 已知函数满足．
    Ⅰ求的解析式，并求在上的值域；
    Ⅱ若对，且，都有成立，求实数的取值范围．
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
    设点，若曲线，相交于，两点，求的值．
23. 已知函数．
    解不等式；
    设的最小值为，实数，满足，求证：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：全集为，，，
，则，
故选：．
求出的补集，求出即可．
本题考查了集合的运算，考查转化思想，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：分析散点图图象知，函数增长速度越来越慢，符合对数函数增长模型．
故选：．
分析散点图图象知，其增长速度越来越慢，从而确定正确的选项．
本题考查了函数模型的增长类型应用问题，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：要使有意义，则，解得，
的定义域为．
故选：．
可看出，要使得有意义，需满足，然后解出的范围即可．
本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由表中数据可知，，，
线性回归方程恒过样本中心点，
，解得．
故选：．
先由表中数据求得样本中心点，再代入线性回归方程，即可得解．
本题考查线性回归方程的应用，理解线性回归方程恒过样本中心点是解题的关键，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的图象与性质，是基础题．
由题意可得，且为偶数，结合，，求出的值．

【解答】

解：由题意，可得，且为偶数，
又，，或．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点，
则，
平面法向量为，
经过点，且法向量为的平面的方程为：
，
化简得．
故选：．
类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点，求出，利用平面法向量能求出平面方程．
本题考查平面方程的求法，考查向量坐标运算法则、类比推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，；
．
故选：．
容易得出，，从而得出，，的大小关系．
考查对数的换底公式，对数函数的单调性，指数的运算．
 

9.【答案】 

【解析】解：由程序框图可得，．
故选：．
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查复合函数的图象识别．属于基础题．
利用函数的奇偶性可排除一些选项，利用函数值与的关系可排除一些选项．从而得以解决．
【解答】
解：，
是偶函数，
可排除、，
由排除，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了函数的周期性和函数的奇偶性，能由已知抽象表达式推证函数的周期性，是解决本题的关键，函数值的转化要有较强的观察力，属于中档题．
先由，证明函数为周期为的周期函数，再利用周期性和对称性，将转化到时的函数值，具体是．
【解答】
解：，
，
，即函数的一个周期为．
．
是定义在上的偶函数，
．
当，，
．
．
故选D．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，是较难题．
利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或画出函数图象，数形结合得答案．
【解答】
解：设，则，
由，解得，
当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数．
当时，函数取得极大值也是最大值为．
方程化为．
解得或．
如图画出函数图象：

可得的取值范围是
故选C．  

13.【答案】 

【解析】解：．
则的子集个数为．
故答案为：．
先求出集合，然后根据一个集合中有个元素，它有个子集可求．
本题考查集合的子集的求法，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：当时，，
故，
当时，，
故，
故函数的值域为，
故答案为：．
由分段函数的性质知，先求各段上的值域，再求并集即可．
本题考查了分段函数的值域，利用了分类讨论的思想，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，如果甲借的是杂志，由可得乙借的就是小说，
由于，则丙借杂志，
此时甲和丙借的是杂志，与矛盾，
故甲借的小说，
故符合题意的借书有甲借小说，乙借杂志，丙借杂志，
甲借小说，乙借小说，丙借杂志，
有种方案；
故答案为：．
根据题意，假设甲借的是杂志，分析出行矛盾，可得甲借的小说，用列举法分析可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及合情推理的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为奇函数在区间上单调递减，且，
所以在上单调递减，且，
则不等式可转化为或，
解得，或，所以不等式的解集为．
故答案为：．
由奇函数的性质可得在上单调递减，且，则不等式可转化为或，解不等式组即可得解．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：，，
则；
由，解得，
，
，
，
，
解得．
实数的取值范围是． 

【解析】利用指数函数的单调性化简集合，再利用集合的运算性质即可得出；
由，可得，利用即可得出．
本题考查了指数函数的单调性、集合的运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：，所以该采购商购买的乌天麻每千克的平均支数为支；
方案一：采购总额为：元，
方案二：乌天麻规格在的数量为：千克，规格在的数量为：千克，规格在的数量为：千克，规格在的数量为：千克．
采购总额：元，
因为元元，所以从采购商的角度考虑，选择方案二． 

【解析】根据频率分布直方图求平均值即可得解；
分别计算方案一、二的采购额，根据采购总额比较方案优劣即可．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

19.【答案】解：；
．
由可发现，
证明如下：
当时，．
由知，
所以
． 

【解析】利用函数表达式直接求解．
猜想，再利用函数表达式进行化简证明；
由，能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

20.【答案】解：

计算，所以没有的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”；
因为对乒乓球运动没有兴趣的男生有人，女生有人，所以抽取人中男生人，可记为，，，女生人，记为、，则从人中抽取名同学有，，，，，，，，，，，，，，共个结果，其中有女生的有，，，，，，，，，共个结果，则抽取人中有女生的概率为． 

【解析】由题中的数据，即可解出；
列出总的基本事件数，再列出满足题意的基本事件数，即可解出．
本题考查了独立性检验，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：Ⅰ由条件，即的定义域关于原点对称，
取代入条件得，联立，求得．
当时，，又，为增函数，，为减函数，；
Ⅱ对，，，都有，
不妨设，则由恒成立，
也即可得函数在区间递增；
当，时，恒满足题意；
当，时，为两个在单调递增函数的和，
可得在单调递增，从而恒满足在递增，符合题意；
当，时，，其在递减，在递增，
若使在递增，则只需；
综上所述，当时，在递增，即即为所求． 

【解析】Ⅰ由得，联立可求得的解析式，进而可求得在上的值域；
Ⅱ原式可等价转化为在区间递增，对分、、三类讨论，可求得实数的取值范围．
本题考查了函数恒成立问题，考查了函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属中档题．
 

22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，转换为普通方程为，
曲线的极坐标方程为，整理得，
根据转换为直角坐标方程为．
把直线方程转换为参数方程为为参数，
代入，得到，
所以，，
故：． 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

23.【答案】解：当时，，得；
当时，，得；
当时，，得，
综上所述，原不等式解集为．
证明：由可知，时，；
时，；
时，，
所以函数的最小值为，则．
，
当且仅当，时等号成立． 

【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的证明等知识，属于基础题．
分情况讨论范围分别求出各段解集，再求它们的并集即可；
先求出的最小值，再利用二次函数的性质即可证明．