2022-2023学年陕西省榆林十中高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省榆林十中高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若集合A={x|lg7(x−2)<1}，B={x|x2−2x−3<0}，则∁R(A∩B)=( )
A. (−∞,2]∪[3,+∞)B. (−∞,−1]∪[3,+∞)
C. (2,3)D. (−1,9)
2. 下列有关回归分析的说法中不正确的是( )
A. 回归直线必过点(x−,y−)
B. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线
C. 当相关系数r>0时，两个变量正相关
D. 如果两个变量的线性相关性越弱，则|r|就越接近于0
3. 设0A. 127B. 129C. 126D. 125
4. 用反证法证明命题：“设a，b，c为实数，满足a+b+c是无理数，则a，b，c至少有一个是无理数”时，假设正确的是( )
A. 假设a，b，c都是有理数B. 假设a，b，c至少有一个是有理数
C. 假设a，b，c不都是无理数D. 假设a，b，c至少有一个不是无理数
5. 在等差数列{an}中，公差为d<0，若a8>0，a9<0，则当n=8时，a1+a2+…+an取最大值.类比上述性质，在等比数列{bn}中，b1>0，公比01，b8<1，则当n=7时( )
A. b1+b2+…+bn取最大值B. b1+b2+…+bn取最小值
C. b1⋅b2……bn取最大值D. b1⋅b2……bn取最小值
6. 已知圆C1：x2+y2=1和圆C2：(x−a)2+y2=16，其中a>0，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是( )
A. 37. 下列命题错误的是( )
A. 命题“若x2−4x+3=0，则x=3”的逆否命题为“若x≠3，则x2−4x+3≠0”
B. 若“p且q”为真命题，则p，q均为真命题
C. “x>−1”是“x2+4x+3>0”的充分不必要条件
D. 命题“∃x0∈R，x2−x+2>0”的否定是“∀∈R，x2−x+2>0”
8. 若m∈R，则“m=1”是“复数z=m2(1+i)+m(i−1)是纯虚数”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A=“x+y为奇数”，事件B=“x，y满足x+y<6”，则概率P(B|A)=( )
A. 12B. 13C. 25D. 35
10. 已知直线l的极坐标方程为ρ= 2sin(θ+π4)，圆C的方程为(x−1)2+y2=1，则直线l与圆C的位置关系是( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定
11. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
2 23= 223，3 38= 338，4 415= 4415，5 524= 5524，
则按照以上规律，若8 8n= 88n具有“穿墙术”，则n=( )
A. 7B. 35C. 48D. 63
12. 若x∈[1,2)，则1x+12−x的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 将参数方程x=1+2csθy=−2+2sinθ(θ为参数)，转化成普通方程为______
14. 设直线l：x=1+12ty= 32t(t为参数)与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，点M(1,0)，则|MA|+|MB|的值为______．
15. 若i是虚数单位，复数z满足|z|=2，则|z+4−3 i|的取值范围是______．
16. 如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=10，AD=8，则矩形花坛AMPN面积最小值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
设a>0，b>0，已知函数f(x)=|x+a|+|x−b|的最小值为2．
(1)求证：1a+1b+1ab≥3；
(2)∀t∈R，求证：sin4ta+cs4tb≥12．
18. (本小题12.0分)
如图是某市2016年至2022年农村居民人均可支配收入y(单位：万元)的折线图．
(1)根据图表的折线图数据，计算y与t的相关系数r，并判断y与t是否具有较高的线性相关程度(若0.30≤|r|<0.75，则线性相关程度一般，若|r|≥0.75，则线性相关程度较高，r精确到0.01)；
(2)是否可以用线性回归模型拟合y与t的关系，若可以用线性回归模型拟合y与t的关系，求出y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，并预测到哪年该市农村居民人均可支配收入超过2万元，若不可以用线性回归模型拟合y与t的关系，请说明理由．
(参考数据：i=17yi=9.73,i=17tiyi=41.72, i=17(yi−y−)2≈0.55, 7≈2.646.参考公式：相关系数r=i=1n(ti−t−)(yi−y−) i=1n(ti−t−)2 i=1n(yi−y−)2=i=1ntiyi−nt−y− i=1nti2−nt−2 i=1nyi2−ny−2，在回归方程y​=a​+b​t中，斜率和截距最小二乘估计公式分别为：
b =i=1n(ti−t−)(yi−y−)i=1n(ti−t−)2=i=1ntiyi−nt−y−i=1nti2−nt−2,a =y−−b t−)
19. (本小题12.0分)
挑选空间飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5、0.6、0.75，能通过文考关的概率分别是0.6、0.5、0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关
之间通过与否没有影响．
(1)求甲被录取成为空军飞行员的概率；
(2)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率．
20. (本小题12.0分)
甲、乙两校分别有120名、100名学生参加了某培训机构组织的自主招生培训，考试结果出来以后，培训机构为了进一步了解各校所培训学生通过自主招生的情况，从甲校随机抽取60人，从乙校随机抽取50人进行分析，相关数据如表．
(1)完成上面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关；
(2)现从甲、乙两校通过的学生中采取分层抽样的方法抽取5人，再从所抽取的5人种随机抽取2人，求2人全部来自于乙校的概率．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d．
参考数据：
21. (本小题12.0分)
已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=2−ty=1+t(t为参数)，曲线C1的方程为x2+y2−x=0，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线l和曲线C1的极坐标系方程；
(2)曲线C2：θ=α(ρ>0,0<α<π2)分别交直线l和曲线C1于M，N，求3|OM|+|ON|的最大值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=|2x−4|+|x+1|，x∈R．
(Ⅰ)解不等式f(x)≤9；
(Ⅱ)若方程f(x)=−x2+a在区间[0,2]有解，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵A={x|2∴A∩B=(2,3)，
则∁R(A∩B)=(−∞,2]∪[3,+∞)．
故选：A．
由已知先求出集合A，B，结合集合交集及补集运算的定义，可得答案．
本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：对于A选项，回归直线必过点(x−,y−)，A对；
对于B选项，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，B错；
对于C选项，当相关系数r>0时，两个变量正相关，C对；
对于D选项，如果两个变量的线性相关性越弱，则|r|就越接近于0，D对．
故选：B．
根据线性回归直线的性质可判断选项AB；根据相关系数的性质可判断CD，进而可得正确选项．
本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为0所以y=x2(1−2x)=x⋅x⋅(1−2x)≤[x+x+(1−2x)3]3=127，当且仅当x=1−2x，即x=13时取等号．
故选：A．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵“a，b，c至少有一个是无理数”的对立面是“a，b，c都是有理数”．
∴用反证法证明命题：“设a，b，c为实数，满足a+b+c是无理数，则a，b，c至少有一个是无理数”时，
假设正确的是：假设a，b，c都是有理数．
故选：A．
由“至少有一个”的对立面为“一个也没有”，也就是“都是”可得答案．
本题考查反证法，明确“至少有一个”的否定是关键，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：在等差数列{an}中，公差为d<0，数列递减，若a8>0，a9<0，则当n=8时，a1+a2+…+an取最大值．
类比上述性质，在等比数列{bn}中，b1>0，公比01，b8<1，
因为，差数列的前n项和可以类比到等比数列的前n项积，所以，当n=7时，b1⋅b2⋅…⋅bn取最大值．
故选C．
根据题意，类比推理即可．
本题考查类比推理，属于基础题，差数列的前n项和可以类比到等比数列的前n项积是关键．
6.【答案】C
【解析】解：圆C1：x2+y2=1和圆C2：(x−a)2+y2=16，其中a>0，则使得两圆相交的充要条件满足：4−1< (a−0)2+(0−0)2<1+4，(a>0)，
解得：3根据选项：(4,5)⊂(3,5)，
故充分不必要条件为：(4,5)．
故选：C．
直接利用两圆的位置关系和充分条件及必要条件求出结果．
本题考查的知识要点：两圆的位置关系，充分条件和必要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：选项A：命题“若x2−4x+3=0，则x=3”的逆否命题为
“若x≠3，则x2−4x+3≠0”.判断正确；
选项B：若“p且q”为真命题，则p，q均为真命题．判断正确；
选项C：由x2+4x+3>0可得x>−1或x<−3，
则“x>−1”是“x2+4x+3>0”的充分不必要条件．判断正确；
选项D：命题“∃x0∈R，x²−x+2>0”的否定是“∀∈R，x²−x+2≤0，判断错误．
故选：D．
利用逆否命题的规则判断选项A；利用命题的真值表判断选项B；利用充分不必要条件的定义判断选项C；利用特称命题的否定规则判断选项D．
本题考查命题间的关系，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由m=1，得z=m2(1+i)+m(i−1)=1+i+i−1=2i为纯虚数，
反之，由z=m2(1+i)+m(i−1)=(m2−m)+(m2+m)i为纯虚数，
可得m2−m=0m2+m≠0，解得m=1．
∴“m=1”是“复数z=m2(1+i)+m(i−1)是纯虚数”的充分必要条件．
故选：C．
由纯虚数的概念结合充分必要条件的判定得答案．
本题考查复数的基本概念，考查充分必要条件的判定，是基础题．
9.【答案】B
【解析】解：用(x,y)表示第1次掷骰子得到的点数为x，第2次掷骰子得到的点数为y，掷两次骰子，基本事件的个数为：6×6=36，
因为事件A=“x+y为奇数”，事件B=“x，y满足x+y<6”，记事件C=“x+y为奇数，且x+y<6”，所以事件A包含的基本事件个数为：3×3×2=18，事件C包含的基本事件个数为：3×2=6，
根据古典概率公式知，P(A)=3×3×26×6=12，P(C)=P(AB)=3×26×6=16，
由条件概率公式知，P(B|A)=P(AB)P(A)=1612=13．
故选：B．
先利用古典概率公式，求出P(A)=12，P(AB)=16，再利用条件概率公式即可求出结果．
本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】解：由已知可得直线l的极坐标方程为ρcsθ+ρsinθ=2，
∴直线l的直角坐标方程为x+y−2=0．
而圆C的圆心(1,0)到直线l的距离d=|1+0−2| 12+12= 22<1，
所以直线l与圆C相交．
故选：A．
根据直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，再由点线距离判定直线与圆的位置关系即可．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了归纳推理的问题，关键是发现规律，属于基础题．
观察已知式子，找到其中的规律，问题得以解决．
【解答】
解：2 23=2 222−1= 223，
3 38=3 332−1= 338，
4 415=4 442−1= 4415，
5 524=5 552−1= 5524
则按照以上规律8 8n= 88n，可得n=82−1=63．
故选D．
12.【答案】D
【解析】解：因为x∈[1,2)，
则1x+12−x=(1x+12−x)(x+2−x)=2+2−xx+x2−x≥2+2=4，
当且仅当x=2−x，即x=1时取等号．
故选：D．
利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
13.【答案】(x−1)2+(y+2)2=4
【解析】解：参数方程x=1+2csθy=−2+2sinθ(θ为参数)，转化成普通方程为(x−1)2+(y+2)2=4．
故答案为：(x−1)2+(y+2)2=4．
直接利用转换关系的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
14.【答案】163
【解析】解：将直线l：x=1+12ty= 32t(t为参数)的方程代入抛物线C：y2=4x中，
可得34t2=4+2t，即3t2−8t−16=0，
设A，B所对应的参数分别为t1，t2，
所以t1+t2=83，t1t2=−163，
设A在M上方，B在M下方，则t1>0，t2<0，
所以|MA|=t1，|MB|=−t2，
所以|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=t1−t2= (t1+t2)2−4t1t2=163，
故答案为：163．
将直线l的方程代入抛物线方程可得3t2−8t−16=0，由韦达定理可知t1+t2=83，t1t2=−163，利用A，B的几何意义将所求的|MA|+|MB|的值转为t1−t2，代入计算即可．
本题考查了直线的参数的方程中参数t的意义，属于中档题．
15.【答案】[3,7]
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，
则 a2+b2=2，即a2+b2=4，可知点Z(a,b)的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，
|z+4−3i|表示点Z(a,b)到点M(−4,3)的距离，
故|z+4−3i|的最大值为|OM|+r=5+2=7，最小值为|OM|−r=5−2=3，
∴|z+4−3i|的取值范围是[3,7]，
故答案为：[3,7]．
设z=a+bi(a,b∈R)，可得a2+b2=4，知点Z(a,b)的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，|z+4−3i|表示点Z(a,b)到点M(−4,3)的距离，进而求解结论．
本题考查复数的模、复数的几何意义，考查学生的运算求解能力，属基础题．
16.【答案】320
【解析】解：设BM=a，DN=b，a>0，b>0，则根据题意，有，△CBM∽△NDC，则有CBND=BMCD，即8b=a10，ab=80，
SAMPN=(a+10)(b+8)=8a+10b+ab+80≥2 8a×10b+160=320，
当且仅当，8a=10b，且ab=80，a>0，b>0，即a=10，b=8时等号成立，
所以，矩形花坛AMPN面积最小值为320．
故答案为：320．
设BBM=a，DN=b，由已知可得，△CBM∽△NDC，可推出ab=80.根据面积公式S△AMPN=8a+10b+160，用基本不等式即可求得最小值．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
17.【答案】证明：(1)因为a>0，b>0，f(x)=|x+a|+|x−b|≥|(x+a)−(x−b)|=a+b，
由题意得a+b=2，
于是1a+1b+1ab=b+a+1ab=3ab≥3(a+b2)2=3，
当且仅当a=b=1时取等号，
即1a+1b+1ab≥3．
(2)由柯西不等式得sin4ta+cs4tb=12(a+b)(sin4ta+cs4tb)≥12( asin4ta+ bcs4tb)2=12，
当且仅当asin4ta=bcs4tb，即asin2t=bcs2t=a+bsin2t+cs2t=2，
即sin2t=a2,cs2t=b2时取等号．
故sin4ta+cs4tb≥12．
【解析】(1)由绝对值三角不等式求出a+b=2，再利用基本不等式证明不等式；
(2)由柯西不等式进行证明．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据，可得t−=17×(1+2+3+4+5+6+7)=4，
i=17(ti−t−)2=28，
i=17yi=9.73,i=17tiyi=41.72, i=17(yi−y−)2≈0.55，
i=17(ti−t−)(yi−y−)=i=17tiyi−7t−y−=41.72−4×9.73=2.8，
所以r≈×2×2.646≈0.96．
因为r近似为0.96，所以y与t的线性相关程度较高．
(2)由(1)知，y与t的相关系数近似为0.96，说明y与t的线性相关程度较高，
从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
由t−=9.737=1.39及(1)得b =i=17(ti−t−)(yi−y−)i=17(ti−t−)2=2.828=0.10，a =y−−b t−=1.39−0.10×4=0.99，
所以y关于t的回归方程为y=0.10t+0.99．
因为y>2，所以0.10t+0.99>2，t>10.1，
所以到2026年该市农村居民人均可支配收入超过2万元．
【解析】(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据，可得r近似为0.96，进而判断 y与t是否具有较高的线性相关程度；
(2)计算可得 y关于t的回归方程为y=0.10t+0.99，可得2026年该市农村居民人均可支配收入超过2万元．
本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：设甲乙丙三位同学分别通过复检为事件A，B，C，甲乙丙同学通过文考为事件D，E，F，
可得P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(C)=0.75，P(D)=0.6，P(E)=0.5，P(F)=0.4，
(1)由题意，可得甲被录取成为空军飞行员的概率为：
P=1×1×P(A)×P(D)×1=1×1×0.5×0.6×1=0.3；
(2)由题意，甲乙丙三位同学分别通过复检，即为事件A，B，C，
利用独立事件的概率计算公式，可得甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率为：
P(A⋅B−⋅C−+A−⋅B⋅C−+A−⋅B−⋅C)=0.5×(1−0.6)×(1−0.75)+(1−0.5)×0.6×(1−0.75)+(1−0.5)×(1−0.6)×0.75=0.275．
【解析】(1)利用独立事件的概率乘法公式求解；
(2)利用独立事件的概率乘法公式求解．
本题主要考查了相互独立事件的概率的求解，n次独立重复试验恰好发生k得概率的求解，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意填写2×2列联表如下，
由上表数据算得：χ2=110×(20×20−40×30)260×50×60×50≈7.822>6.635，
所以有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关；
(2)按照分层抽样的方法，应从甲校中抽2 人，乙校中抽3人，甲校2 人记为A、B，乙校3人记为a、b、c，
从5 人中任取2人共有AB、Aa、Ab、Ac、Ba、Bb、Bc、ab、ac、bc10种情况，
其中2 人全部来自乙校的情况有ab、ac、bc共3种，所以所求事件的概率为P=310．
【解析】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．
(1)由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
(2)利用分层抽样法和列举法，求出基本事件数，计算对应的概率值．
21.【答案】解：(1)由题可知直线l的普通方程为x+y−3=0，
直线l的极坐标方程为ρcsθ+ρsinθ−3=0．
曲线C1的普通方程为x2+y2=x，
因为x=ρcsθ，y=ρsinθ，
所以C1的极坐标方程为ρ=csθ．
(2)直线l的极坐标方程为ρcsθ+ρsinθ−3=0，令θ=α，
则ρ=3csα+sinα=|OM|，所以3|OM|=csα+sinα．
又|ON|=csα，
所以3|OM|+|ON|=sinα+2csα= 5sin(α+φ)(tanφ=2)，
因为0<α<π2，则3|OM|+|ON|的最大值为 5．
【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
(2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
22.【答案】解：(Ⅰ)f(x)≤9可化为|2x−4|+|x+1|≤9，
故x>23x−3≤9，或−1≤x≤25−x≤9，或x<−1−3x+3≤9；
解得2综上，不等式的解集为[−2,4]；
(Ⅱ)由题意：f(x)=−x2+a⇔a=x2−x+5，x∈[0,2]．
故方程f(x)=−x2+a在区间[0,2]有解，
等价于函数y=a和函数y=x2−x+5的图象在区间[0,2]上有交点，
∵当x∈[0,2]时，y=x2−x+5∈[194,7]．
∴实数a的取值范围是[194,7]．
【解析】本题考查绝对值不等式的性质以及应用，方程有解问题，属于中档题．
(Ⅰ)通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；
(Ⅱ)根据题意，原问题可以等价于函数y=a和函数y=x2−x+5图象在区间[0,2]上有交点，结合二次函数的性质分析函数y=x2−x+5在x∈[0,2]时的值域，即可得答案．
通过人数
未通过人数
总计
甲校
乙校
30
总计
60
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
通过人数
未通过人数
总计
甲校
20
40
60
乙校
30
20
50
总计
50
60
110