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江苏省高考数学模拟试卷与解析
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这是一份江苏省高考数学模拟试卷与解析，共21页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省高考数学模拟试卷
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．
1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁UB）= ．
2．已知复数，则z的共轭复数的模为 ．
3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是 ．
4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．
5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为 ．
6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为 ．
7．若函数是偶函数，则实数a的值为 ．
8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为 ．
9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是 ．
10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为 ．
11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是 ．
12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是 ．
13．若函数同时满足以下两个条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．
则实数a的取值范围为 ．
14．若bm为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．
15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．
（1）求的值，
（2）求的值．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角．
（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；
（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．
（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；
（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．
18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．
（1）求V关于α的函数关系式；
（2）当α为何值时，V取得最大值；
（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．
19．设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1﹣3Sn=1．
（1）求证：数列{an}为等比数列；
（2）数列{an}是否存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；
（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，bp，bq成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．
20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．
三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）
21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．
B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．
C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）
23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．
D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
24．求函数的最大值．
四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．
（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．
26．设数列{an}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．
（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？
（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？
江苏省高考数学模拟试卷试题解析
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．
1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁UB）= （﹣1，0] ．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可
【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），
∴CuB=（﹣∞，0]∪[2，+∞），
∴A∩∁UB=（﹣1，0]，
故答案为：（﹣1，0]．
2．已知复数，则z的共轭复数的模为 ．
【考点】复数求模．
【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．
【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为
||=|z|====．
故答案为：．
3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是 ．
【考点】等可能事件的概率．
【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．
【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，
∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，
A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，
∴两数之积为偶数的概率是=．
故答案为：．
4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．
【考点】伪代码．
【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．
【解答】解：根据伪代码所示的顺序，
逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：
该程序的作用是
累加并输出S=++…+的值，
所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．
故答案为：．
5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为 ﹣=1 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=， =，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．
【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，
设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），
渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，
由题意可得=， =，
又a2+b2=c2，解得a=2，b=，
即有所求双曲线的方程为﹣=1．
故答案为：﹣=1．
6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为 ﹣2 ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．
【解答】解：由，可得0≤x≤4，
由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，
y=﹣在[0，4]递增，
可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，
可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．
故答案为：﹣2．
7．若函数是偶函数，则实数a的值为 ﹣ ．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．
【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴f（﹣）=f（），
即﹣=a，
∴a=﹣．
故答案为：﹣．
8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为 20 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．
【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，
底面正五边形中心到边距离为：tan54°，
h=，
则此正五棱锥体积为：×=20．
故答案为：20．
9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是 （1，3） ．
【考点】分段函数的应用．
【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．
【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，
即有f（x）递增；
故f（x）在R上单调递增．
由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得
或，
解得或，
即为1＜x≤或＜x＜3，
即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为 [，1） ．
【考点】余弦定理．
【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣， =﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．
【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣， =﹣=﹣．
∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．
∵⊥，
∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．
化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，
整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．
由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，
∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，
∵A∈（0，π），
∴cosA＜1，
∴cosA的取值范围是：[，1）．
故答案为：[，1）．
11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是 （0，1）∪[3，+∞） ．
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=ax的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
，
结合图象可知，
y=ax的图象过点（3，1）时为临界值a=3，
且当0＜a＜1时，一定成立；
故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．
12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是 {a|a≤﹣4或a≥0} ．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．
【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内单调
⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．
由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立
⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，
由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立
⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，
故答案为：a≤﹣4或a≥0．
故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．
13．若函数同时满足以下两个条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．
则实数a的取值范围为 （2，4） ．
【考点】全称命题；特称命题．
【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．
【解答】解：∵已知函数，
根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，
即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．
由f（x）≥0，求得x≤﹣1，
即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，
故，解得：a＞2；
根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，
∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，
解得：0＜a＜4，
综上可得：a∈（2，4），
故答案为：（2，4）
14．若bm为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为 64或65 ．
【考点】数列递推式．
【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{an}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．
【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，
设b1=t，即数列{an}中，不超过A的项恰有t项，
∴2t≤A＜2t+1，
同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，
可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，
故max{}≤A＜min{}，
由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，
∵d为正整数，∴d=1，2，3．
当d=1时，max{}=max{}=2t，
min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；
当d=2时，max{}=max{}=2t，
min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；
当d=3时，max{}=max{}=2t，
min{}=min{}=＞2t，适合题意．
此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．
∵b3=10，∴4≤t≤7，
∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．
∵f（3）=27A，b3=10，
∴210≤27A＜211，∴≤A＜．
当t=4时，24≤A＜，∴无解．
当t=5时，25≤A＜，∴无解．
当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．
当t=7时，27≤A＜，∴无解．
则26≤A＜．
∵A∈N*，∴A=64或A=65．
综上：A=64或65．
故答案为：64或65．
二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．
15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．
（1）求的值，
（2）求的值．
【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．
【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．
（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．
【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，
可得sin（）=，
cos（）=，
sin（2）=2sin（）cos（）==，
cos（2）=2×=．
=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sincos（2）==．
（2）∵，∴tan（2α+2β）===．
sin（2）=，
cos（2）=．
tan（2）=．
tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]= =，
解得=．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角．
（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；
（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．
（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．
【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，
∵BD⊥PA，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．
解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．
理由如下：
∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，
∴CD与AB有交点P，∴P∈l，
∴直线l∩平面ABCD=P，
∴直线l不能与平面ABCD平行．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．
（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；
（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）设P（x，y），由题意可得kPD•kPE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；
（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．
【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得kPD•kPE=﹣，
即有•=﹣，
化为+=1；
（2）设过F的直线为x=my+，
代入椭圆方程x2+2y2=4，
可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，
x1=my1+，x2=my2+，
由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，
解得M（﹣，），N（，﹣），
可得kAM+kBN=+，
通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+
=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+
=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．
即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．
18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．
（1）求V关于α的函数关系式；
（2）当α为何值时，V取得最大值；
（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；
（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；
（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．
【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，
∴r=，∴圆锥的高h===．
∴V==．
（2）V==≤=2．
当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．
∴当α=时，体积V取得最大值．
（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．
设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，
则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．
由△AOD∽△ACE得，
∴，解得R=3≈0.8．
∵0.8＞0.5，
∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．
19．设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1﹣3Sn=1．
（1）求证：数列{an}为等比数列；
（2）数列{an}是否存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；
（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，bp，bq成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．
【考点】数列的求和；等比关系的确定．
【分析】（1）通过Sn+1﹣3Sn=1与Sn﹣3Sn﹣1=1作差可知an+1=3an（n≥2），进而可知数列{an}是首项为1、公比为3的等比数列；
（2）通过（1）可知an=3n﹣1、Sn=（3n﹣1），假设存在满足题意的项ak，则3k﹣1=Sr+t﹣St，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；
（3）通过（1）可知bn=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，bp，bq成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．
【解答】（1）证明：∵Sn+1﹣3Sn=1，
∴当n≥2时，Sn﹣3Sn﹣1=1，
两式相减得：an+1=3an，
又∵Sn+1﹣3Sn=1，a1=1，
∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，
∴数列{an}是首项为1、公比为3的等比数列；
（2）解：结论：不存在满足题意的项ak；
理由如下：
由（1）可知an=3n﹣1，Sn==（3n﹣1），
假设数列{an}中存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，
则3k﹣1=Sr+t﹣St=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），
于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），
整理得：3r﹣x﹣=2，
显然r无解，故假设不成立，
于是不存在满足题意的项ak；
（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；
理由如下：
由（1）可知bn=，
假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，bp，bq成等差数列，
则2bp=b1+bq，即2=+，
整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，
∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），
∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，
∴当p≥3时不满足题意，
当p=2时，2=+即为： =+，
整理得： =，解得：q=3，
综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．
20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，
（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，
则a＞，在x＞0时恒成立，
设h（x）=，
则h′（x）==，
由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，
由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，
即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．
即a＞．
（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），
则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），
则切线斜率k=，
则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，
即y=x﹣1+lnm，
∵g（x）=ax，
∴，得m=e，a=．
即当a＞时，ax＞lnx恒成立．
当a=时，当x0≥时，
要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．
当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，
当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．
∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．
三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）
21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．
【解答】证明：如图示：
，
连结OD、AD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，AB=2AO，
∵DC是⊙O的切线，
∴∠CDO=90°，
∵DB=DC，
∴∠B=∠C，
∴△ADB≌△ODC，
∴AB=CO，
即2OA=OA+CA，
∴CA=AO．
B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．
【考点】几种特殊的矩阵变换．
【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．
【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，
则=，即=，
故a=﹣1，b=0，c=0，d=，
从而A﹣1=，
∴A﹣1B==．
C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）
23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．
【解答】解：由直线l过点，
可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），
直线AB的斜率k==，
即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，
由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），
可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，
即有圆心C（0，），r==，
直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点
即直线和圆相切，可得，
解得a=2或﹣6，
由a＞0，可得a=2．
D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
24．求函数的最大值．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：由得，即5≤x≤7，
由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，
∵5≤x≤7，
∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，
当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，
即2≤y2≤4，则≤y≤2，
即函数的最大值为2．
四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．
（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．
【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．
【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．
（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．
【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AP=AB=AD=2BC=2，
则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），
=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），
设异面直线PC与BD所成角为θ，
则cosθ===．
∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．
（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），
设平面PBC的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，
得=（1，0，1），
设平面PCD的法向量=（a，b，c），
则，取b=1，得=（1，2，2），
设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，
cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，
∴θ=135°，
∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．
26．设数列{an}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．
（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？
（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？
【考点】归纳推理．
【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；
（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．
【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；
若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；
若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；
（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，
则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，
若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，
a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，
即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，
则第十一层十一个数共有=144种不同取法．
江苏省高考数学模拟试卷
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．
1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁UB）= ．
2．已知复数，则z的共轭复数的模为 ．
3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是 ．
4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．
5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为 ．
6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为 ．
7．若函数是偶函数，则实数a的值为 ．
8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为 ．
9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是 ．
10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为 ．
11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是 ．
12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是 ．
13．若函数同时满足以下两个条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．
则实数a的取值范围为 ．
14．若bm为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．
15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．
（1）求的值，
（2）求的值．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角．
（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；
（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．
（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；
（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．
18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．
（1）求V关于α的函数关系式；
（2）当α为何值时，V取得最大值；
（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．
19．设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1﹣3Sn=1．
（1）求证：数列{an}为等比数列；
（2）数列{an}是否存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；
（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，bp，bq成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．
20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．
三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）
21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．
B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．
C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）
23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．
D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
24．求函数的最大值．
四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．
（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．
26．设数列{an}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．
（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？
（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？
江苏省高考数学模拟试卷试题解析
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．
1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁UB）= （﹣1，0] ．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可
【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），
∴CuB=（﹣∞，0]∪[2，+∞），
∴A∩∁UB=（﹣1，0]，
故答案为：（﹣1，0]．
2．已知复数，则z的共轭复数的模为 ．
【考点】复数求模．
【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．
【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为
||=|z|====．
故答案为：．
3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是 ．
【考点】等可能事件的概率．
【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．
【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，
∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，
A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，
∴两数之积为偶数的概率是=．
故答案为：．
4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．
【考点】伪代码．
【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．
【解答】解：根据伪代码所示的顺序，
逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：
该程序的作用是
累加并输出S=++…+的值，
所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．
故答案为：．
5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为 ﹣=1 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=， =，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．
【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，
设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），
渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，
由题意可得=， =，
又a2+b2=c2，解得a=2，b=，
即有所求双曲线的方程为﹣=1．
故答案为：﹣=1．
6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为 ﹣2 ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．
【解答】解：由，可得0≤x≤4，
由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，
y=﹣在[0，4]递增，
可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，
可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．
故答案为：﹣2．
7．若函数是偶函数，则实数a的值为 ﹣ ．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．
【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴f（﹣）=f（），
即﹣=a，
∴a=﹣．
故答案为：﹣．
8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为 20 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．
【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，
底面正五边形中心到边距离为：tan54°，
h=，
则此正五棱锥体积为：×=20．
故答案为：20．
9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是 （1，3） ．
【考点】分段函数的应用．
【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．
【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，
即有f（x）递增；
故f（x）在R上单调递增．
由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得
或，
解得或，
即为1＜x≤或＜x＜3，
即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为 [，1） ．
【考点】余弦定理．
【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣， =﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．
【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣， =﹣=﹣．
∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．
∵⊥，
∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．
化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，
整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．
由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，
∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，
∵A∈（0，π），
∴cosA＜1，
∴cosA的取值范围是：[，1）．
故答案为：[，1）．
11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是 （0，1）∪[3，+∞） ．
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=ax的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
，
结合图象可知，
y=ax的图象过点（3，1）时为临界值a=3，
且当0＜a＜1时，一定成立；
故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．
12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是 {a|a≤﹣4或a≥0} ．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．
【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内单调
⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．
由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立
⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，
由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立
⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，
故答案为：a≤﹣4或a≥0．
故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．
13．若函数同时满足以下两个条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．
则实数a的取值范围为 （2，4） ．
【考点】全称命题；特称命题．
【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．
【解答】解：∵已知函数，
根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，
即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．
由f（x）≥0，求得x≤﹣1，
即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，
故，解得：a＞2；
根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，
∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，
解得：0＜a＜4，
综上可得：a∈（2，4），
故答案为：（2，4）
14．若bm为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为 64或65 ．
【考点】数列递推式．
【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{an}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．
【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，
设b1=t，即数列{an}中，不超过A的项恰有t项，
∴2t≤A＜2t+1，
同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，
可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，
故max{}≤A＜min{}，
由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，
∵d为正整数，∴d=1，2，3．
当d=1时，max{}=max{}=2t，
min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；
当d=2时，max{}=max{}=2t，
min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；
当d=3时，max{}=max{}=2t，
min{}=min{}=＞2t，适合题意．
此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．
∵b3=10，∴4≤t≤7，
∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．
∵f（3）=27A，b3=10，
∴210≤27A＜211，∴≤A＜．
当t=4时，24≤A＜，∴无解．
当t=5时，25≤A＜，∴无解．
当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．
当t=7时，27≤A＜，∴无解．
则26≤A＜．
∵A∈N*，∴A=64或A=65．
综上：A=64或65．
故答案为：64或65．
二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．
15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．
（1）求的值，
（2）求的值．
【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．
【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．
（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．
【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，
可得sin（）=，
cos（）=，
sin（2）=2sin（）cos（）==，
cos（2）=2×=．
=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sincos（2）==．
（2）∵，∴tan（2α+2β）===．
sin（2）=，
cos（2）=．
tan（2）=．
tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]= =，
解得=．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角．
（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；
（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．
（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．
【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，
∵BD⊥PA，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．
解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．
理由如下：
∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，
∴CD与AB有交点P，∴P∈l，
∴直线l∩平面ABCD=P，
∴直线l不能与平面ABCD平行．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．
（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；
（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）设P（x，y），由题意可得kPD•kPE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；
（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．
【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得kPD•kPE=﹣，
即有•=﹣，
化为+=1；
（2）设过F的直线为x=my+，
代入椭圆方程x2+2y2=4，
可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，
x1=my1+，x2=my2+，
由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，
解得M（﹣，），N（，﹣），
可得kAM+kBN=+，
通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+
=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+
=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．
即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．
18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．
（1）求V关于α的函数关系式；
（2）当α为何值时，V取得最大值；
（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；
（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；
（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．
【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，
∴r=，∴圆锥的高h===．
∴V==．
（2）V==≤=2．
当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．
∴当α=时，体积V取得最大值．
（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．
设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，
则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．
由△AOD∽△ACE得，
∴，解得R=3≈0.8．
∵0.8＞0.5，
∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．
19．设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1﹣3Sn=1．
（1）求证：数列{an}为等比数列；
（2）数列{an}是否存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；
（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，bp，bq成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．
【考点】数列的求和；等比关系的确定．
【分析】（1）通过Sn+1﹣3Sn=1与Sn﹣3Sn﹣1=1作差可知an+1=3an（n≥2），进而可知数列{an}是首项为1、公比为3的等比数列；
（2）通过（1）可知an=3n﹣1、Sn=（3n﹣1），假设存在满足题意的项ak，则3k﹣1=Sr+t﹣St，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；
（3）通过（1）可知bn=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，bp，bq成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．
【解答】（1）证明：∵Sn+1﹣3Sn=1，
∴当n≥2时，Sn﹣3Sn﹣1=1，
两式相减得：an+1=3an，
又∵Sn+1﹣3Sn=1，a1=1，
∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，
∴数列{an}是首项为1、公比为3的等比数列；
（2）解：结论：不存在满足题意的项ak；
理由如下：
由（1）可知an=3n﹣1，Sn==（3n﹣1），
假设数列{an}中存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，
则3k﹣1=Sr+t﹣St=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），
于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），
整理得：3r﹣x﹣=2，
显然r无解，故假设不成立，
于是不存在满足题意的项ak；
（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；
理由如下：
由（1）可知bn=，
假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，bp，bq成等差数列，
则2bp=b1+bq，即2=+，
整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，
∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），
∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，
∴当p≥3时不满足题意，
当p=2时，2=+即为： =+，
整理得： =，解得：q=3，
综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．
20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，
（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，
则a＞，在x＞0时恒成立，
设h（x）=，
则h′（x）==，
由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，
由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，
即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．
即a＞．
（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），
则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），
则切线斜率k=，
则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，
即y=x﹣1+lnm，
∵g（x）=ax，
∴，得m=e，a=．
即当a＞时，ax＞lnx恒成立．
当a=时，当x0≥时，
要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．
当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，
当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．
∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．
三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）
21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．
【解答】证明：如图示：
，
连结OD、AD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，AB=2AO，
∵DC是⊙O的切线，
∴∠CDO=90°，
∵DB=DC，
∴∠B=∠C，
∴△ADB≌△ODC，
∴AB=CO，
即2OA=OA+CA，
∴CA=AO．
B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．
【考点】几种特殊的矩阵变换．
【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．
【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，
则=，即=，
故a=﹣1，b=0，c=0，d=，
从而A﹣1=，
∴A﹣1B==．
C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）
23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．
【解答】解：由直线l过点，
可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），
直线AB的斜率k==，
即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，
由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），
可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，
即有圆心C（0，），r==，
直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点
即直线和圆相切，可得，
解得a=2或﹣6，
由a＞0，可得a=2．
D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
24．求函数的最大值．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：由得，即5≤x≤7，
由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，
∵5≤x≤7，
∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，
当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，
即2≤y2≤4，则≤y≤2，
即函数的最大值为2．
四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．
（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．
【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．
【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．
（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．
【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AP=AB=AD=2BC=2，
则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），
=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），
设异面直线PC与BD所成角为θ，
则cosθ===．
∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．
（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），
设平面PBC的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，
得=（1，0，1），
设平面PCD的法向量=（a，b，c），
则，取b=1，得=（1，2，2），
设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，
cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，
∴θ=135°，
∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．
26．设数列{an}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．
（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？
（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？
【考点】归纳推理．
【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；
（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．
【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；
若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；
若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；
（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，
则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，
若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，
a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，
即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，
则第十一层十一个数共有=144种不同取法．
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