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江苏省高考数学模拟试卷与解析
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这是一份江苏省高考数学模拟试卷与解析，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省高考数学模拟试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知集合A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，则A∩B=________．
2．某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有________人．
3．已知i是虚数单位，且复数z1=2+bi，z2=1﹣2i，若是实数，则实数b=________．
4．根据如图所示的伪代码，已知输出值为1，则输入值x=________．
5．已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣2，2}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点的概率是________．
6．已知||=2，||=3，，的夹角为120°，则|+2|=________．
7．已知一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），则f（lgx）＜0的解集为________．
8．设α为锐角，若cos（α+）=，则cos（2α﹣）=________．
9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，若AB=2，∠BAD=60°．则当四棱锥P﹣ABCD的体积等于2时，则PC=________．
10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（4，3）引圆C：x2+（y﹣m）2=m2+1（0＜m＜4）的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点________．
11．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+，a11成等比数列．若p﹣q=10，则ap﹣aq=________．
12．若曲线y=alnx（a≠0）与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则=________．
13．已知▱ABCD的面积为2，P是边AD上任意一点，则|PB|2+|PC|2的最小值为________．
14．设函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，22015]内的所有零点的和为________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin（A+）=2cosA．
（1）若cosC=，求证：2a﹣3c=0；
（2）若B∈（0，），且cos（A﹣B）=，求sinB的值．
16．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=．已知PB=PC．
（1）若N为PA的中点，求证：DN∥平面PBC；
（2）若M为BC的中点，求证：MN⊥BC．
17．某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园，为达到社会和经济效益双丰收，园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形ABCD作为绿化区域，其余作为市民活动区域，其中△ABD区域种植花木后出售，△BCD区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为a元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍，若BC=6km，AD=CD=4km．
（1）若BD=2km，求绿化区域的面积；
（2）设∠BCD=θ，当θ取何值时，园林公司的总销售金额最大．
18．已知A，B是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左，右顶点，F为其右焦点，在直线x=4上任取一点P（点P不在x轴上），连结PA，PF，PB．若半焦距c=1，且2kPF=kPA+kPB
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线PF交椭圆于M，N，记△AMB、△ANB的面积分别为S1、S2，求的取值范围．
19．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），g（x）=．
（1）当a=1时，求f（x）的单调增区间；
（2）若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．
①求实数a的取值范围；
②求证：（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1．
20．已知数列{an}是等比数列．
（1）设a1=1，a4=8．
①若++…+=M（++…+），n∈N*，求实数M的值；
②若在与中插入k个数b1，b2，…，bk，使，b1，b2，…，bk，，成等差数列，求这k个数的和Sk；
（2）若一个数列{cn}的所有项都是另一个数列{dn}中的项，则称{cn}是{dn}的子数列，已知数列{bn}是公差不为0的等差数列，b1=a1，b2=a2，bm=a3，其中m是某个正整数，且m≥3，求证：数列{an}是{bn}的子数列．
选做题.[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）
21．如图，△BCD内接于⊙O，过B作⊙O的切线AB，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，且DB⊥BE．求证：DB=DC．
[选修4-2：矩阵与变换]
22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，3）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣4，y+2），求M2．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．若点P的坐标为（3，），求PA+PB的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），求函数f（x）=（a﹣1）+（b﹣1）的最大值．
解答题
25．如图，一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．若AC=BC=BE=2，
（1）BE边上是否存在一点M，使得AD和CM的夹角为60°？
（2）求锐二面角O﹣CE﹣B的余弦值．
26．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，且当n≥2时，2（Sn﹣Sn﹣1）=（n+1）（++…+）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：当n≥2时，4anan≤．
江苏省高考数学模拟试卷试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知集合A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1≤x＜1}．
【考点】交集及其运算．
【分析】由集合A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，
∴A∩B={x|﹣1≤x＜1}，
故答案为：{x|﹣1≤x＜1}
2．某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有600人．
【考点】概率的意义．
【分析】根据在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率是0.19，先求出高二女生的人数，问题得以解决．
【解答】解：∵在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率是0.19，
∴则高二女生人数为0.19×2000=380人，
则高三人数为2000﹣650﹣370﹣380=600人，
故答案为：600．
3．已知i是虚数单位，且复数z1=2+bi，z2=1﹣2i，若是实数，则实数b=﹣4．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得实数b的值．
【解答】解：∵z1=2+bi，z2=1﹣2i，
∴=，
又是实数，
∴4+b=0，即b=﹣4．
故答案为：﹣4．
4．根据如图所示的伪代码，已知输出值为1，则输入值x=﹣1．
【考点】伪代码．
【分析】算法的功能是求f（x）=的值，根据输出的值为1，分别求出当x≤0时和当x＞0时的x值．
【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）=的值，
当x≤0时，2x+1=1⇒x=﹣1；
当x＞0时，y=x+3=1⇒x无解．
综上x的值为：﹣1．
故答案为：﹣1．
5．已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣2，2}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点的概率是．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出满足条件的m，n的可能取值，由此能求出直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点的概率．
【解答】解：∵m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣2，2}，随机选取m，n，
∴基本事件总数n=3×2=6，
∵直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点，
∴k=﹣＜0，或m=0，n=﹣2，
∴m，n的可能取值为（0，﹣2），（﹣1，﹣2），（1，2），
∴直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点的概率是：
P==．
故答案为：．
6．已知||=2，||=3，，的夹角为120°，则|+2|=2．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】先将向量的模平方，利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的运算法则展开，求出值，再将值开方即可．
【解答】解：|+2|2=||2+4||2+4•═||2+4||2+4||•||cos120°=4+4×9+4×2×3×（﹣）=28，
∴|+2|=2，
故答案为：2
7．已知一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），则f（lgx）＜0的解集为（10，100）．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】由已知利用补集思想求出一元二次不等式f（x）＜0的解集（1，2），然后由1＜lgx＜2求解x的取值集合即可得到答案
【解答】解：由一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），得f（x）＜0的解集为（1，2），
∴lg10=1＜lgx＜2=lg100，
∴10＜x＜100，
故f（lgx）＜0的解集为（10，100），
故答案为：（10，100）
8．设α为锐角，若cos（α+）=，则cos（2α﹣）=．
【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．
【分析】由cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]，分别根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出答案．
【解答】解：∵α为锐角，
∴α+∈（，），α﹣∈（﹣，）
∵cos（α+）=，
∴sin（α+）=，
∴cos（α+）=sin[﹣（α+）]=sin（﹣α）=，
∴sin（α﹣）=﹣，
∴cos（α﹣）=，
∴cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]=cos（α+）cos（α﹣）﹣sin（α+）sin（α﹣）=×﹣×（﹣）=，
故答案为：
9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，若AB=2，∠BAD=60°．则当四棱锥P﹣ABCD的体积等于2时，则PC=．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据菱形的性质求出底面积和AC，根据棱锥的体积计算PA，利用勾股定理计算PC．
【解答】解：∵底面ABCD是菱形，若AB=2，∠BAD=60°．
∴S菱形ABCD=2S△ABD=2×=2．AC==2
∵PA⊥平面ABCD，
∴VP﹣ABCD==2×PA=2，
∴PA=3．
∴PC==．
故答案为：．
10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（4，3）引圆C：x2+（y﹣m）2=m2+1（0＜m＜4）的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（，﹣3）．
【考点】圆的切线方程．
【分析】求出切线长，写出以点P为圆心，切线长为半径的圆的方程，
两圆方程相减，得出直线AB的方程，从而求出直线AB所过定点．
【解答】解：平面直角坐标系xOy中，过点P（4，3）引圆C：x2+（y﹣m）2=m2+1（0＜m＜4）的两条切线，
则切线长为=，
∴以点P为圆心，切线长为半径的圆的方程为
（x﹣4）2+（y﹣3）2=42+（3﹣m）2﹣（m2+1），
∴直线AB的方程为[x2+（y﹣m）2]﹣[（x﹣4）2+（y﹣3）2]=（m2+1）﹣[16+（3﹣m）2﹣（m2+1）]，
整理得（4x+3y﹣1）﹣m（y+3）=0，
令，解得，
∴直线AB过定点（，﹣3）．
故答案为：（，﹣3）．
11．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+，a11成等比数列．若p﹣q=10，则ap﹣aq=15．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】设等差数列公差为d，由题意知d＞0，由a3，a4+，a11成等比数列列式求得公差，再由等差数列的通项公式求得ap﹣aq．
【解答】解：设等差数列公差为d，由题意知d＞0，
∵a3，a4+，a11成等比数列，
∴（a4+）2=a3a11，
∴=（1+2d）（1+10d），即44d2﹣36d﹣45=0，
解得d=或d=﹣（舍去），
∵p﹣q=10，则ap﹣aq=（p﹣q）d=10×．
故答案为：15．
12．若曲线y=alnx（a≠0）与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则=2．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出两个函数的导数，然后求出公共点的斜率，利用斜率相等且有公共点联立方程组即可求出a的值．
【解答】解：曲线y=alnx的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=，
曲线y=x2的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．
由曲线y=alnx（a≠0）与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，
可得，并且t=，
∴，解得lns=，∴s2=e．
则a=1，
∴=．
故答案为：．
13．已知▱ABCD的面积为2，P是边AD上任意一点，则|PB|2+|PC|2的最小值为4．
【考点】两点间距离公式的应用．
【分析】不妨设ABCD是矩形，BC=2，AB=1，设P（x，1）（0≤x≤2），|PB|2+|PC|2=x2+1+（x﹣2）2+1=2（x﹣1）2+4，即可求出|PB|2+|PC|2的最小值
【解答】解：不妨设ABCD是矩形，BC=2，AB=1，则
设P（x，1）（0≤x≤2），
|PB|2+|PC|2=x2+1+（x﹣2）2+1=2（x﹣1）2+4，
∴x=1时，|PB|2+|PC|2的最小值为4，
故答案为：4．
14．设函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，22015]内的所有零点的和为•．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．
【解答】解：当1≤x≤时，f（x）=8x﹣8，
所以g（x）=8（x﹣）2﹣8，此时当x=时，g（x）max=0；
当＜x≤2时，f（x）=16﹣8x，所以g（x）=﹣8（x﹣1）2+2＜0；
由此可得1≤x≤2时，g（x）max=0．
下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．
当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，由函数f（x）的定义知f（x）=f（）=…=f（），
因为1≤≤，
所以g（x）=（x﹣2n﹣2）2﹣8，
此时当x=3•2n﹣2时，g（x）max=0；
当3•2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，g（x）=﹣（x﹣2n﹣1）2+8＜0．
由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max=0．
综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间[2n﹣1，2n]上有1个零点，
从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为xn=3•2n﹣2，因此，所有这些零点的和为．
则当n=2015时，所有这些零点的和为•．
故答案为： •
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin（A+）=2cosA．
（1）若cosC=，求证：2a﹣3c=0；
（2）若B∈（0，），且cos（A﹣B）=，求sinB的值．
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
【分析】（1）化简sin（A+）=2cosA可得tanA=，又A为三角形内角．可求sinA的值，又cosC=，C为三角形内角，可求sinC的值，由正弦定理可得：a=sinA•2R，c=sinC•2R，代入等式右边即可证明．
（2）由B∈（0，），可求cosB=，由cos（A﹣B）=，利用同角三角函数关系式化简即可求值．
【解答】解：（1）证明：∵sin（A+）=2cosA
⇒sinA+cosA=2cosA
⇒sinA=cosA
⇒tanA=，A为三角形内角．
⇒A=，sinA=
又∵cosC=，C为三角形内角，
∴sinC==，
∵由正弦定理可得：a=sinA•2R，c=sinC•2R
∴2a﹣3c=2R×﹣3×=2﹣2=0．从而得证．
（2）∵B∈（0，），
∴A﹣B=﹣B∈（0，），
∵sin2（A﹣B）+cos2（A﹣B）=1，cos（A﹣B）=，
∴sin（A﹣B）=，
则sinB=sin[A﹣（A﹣B）]=sinAcos（A﹣B）﹣cosAsin（A﹣B）=﹣=．
16．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=．已知PB=PC．
（1）若N为PA的中点，求证：DN∥平面PBC；
（2）若M为BC的中点，求证：MN⊥BC．
【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）取PB的中点G，连接NG，CG，经C点作CM∥AD，交AB与点M，利用已知可证：NGABDC，从而得证四边形DCGN是平行四边形，得证DN∥CG，从而证明DN∥平面PBC．
（2）由（1）可求BC，BM，AM，由勾股定理可得AM⊥BC，又PB=PC，M为BC的中点，可证PM⊥BC，通过证明BC⊥平面PAM，即可得证BC⊥MN．
【解答】证明：（1）取PB的中点G，连接NG，CG，
∵N为PA的中点，
∴NGAB，
再，经C点作CM∥AD，交AB与点M，
∵ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=，
∴BM===1，AB=2，
∴NGABDC，即四边形DCGN是平行四边形，
∴DN∥CG，
∵DN⊄平面PBC，CG⊂平面PBC，
∴DN∥平面PBC．
（2）由（1）可得：BC=2，
∵M为BC的中点，可得：BM=1，
∴利用余弦定理可得：AM2=22+12﹣2×2×1×cos60°=3，
∴AM2+BM2=3+1=4=AB2，由勾股定理可得AM⊥BC，
又∵PB=PC，M为BC的中点，
∴PM⊥BC，
∴由AM∩PM=M，可得BC⊥平面PAM，
又MN⊂平面PAM，
∴BC⊥MN．
17．某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园，为达到社会和经济效益双丰收，园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形ABCD作为绿化区域，其余作为市民活动区域，其中△ABD区域种植花木后出售，△BCD区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为a元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍，若BC=6km，AD=CD=4km．
（1）若BD=2km，求绿化区域的面积；
（2）设∠BCD=θ，当θ取何值时，园林公司的总销售金额最大．
【考点】解三角形．
【分析】（1）若BD=2km，可得C，进而求出AB，即可求绿化区域的面积；
（2）设∠BCD=θ，求出园林公司的总销售金额，利用导数可得结论．
【解答】解：（1）△BCD中，cosC==，∴C=60°，
∴A=120°，
∴28=AB2+16﹣2AB•4•（﹣），
∴AB=2，
∴绿化区域的面积S=+=8；
（2）设AB=x，则x2+16﹣2x•4•cos=36+16﹣2×6×4×cosθ，
∴（x﹣6+8cosθ）（x+6）=0，
∴x=6﹣8cosθ（cosθ＜），
∴园林公司的总销售金额y=a•sinθ+3a•（6﹣8cosθ）•4sin=48a（sinθ﹣sinθcosθ）．
∴y′=﹣48a（cosθ﹣1）（2cosθ+1）
∵cosθ＜，∴cosθ=﹣，θ=120°时，函数取得最大值36a．
18．已知A，B是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左，右顶点，F为其右焦点，在直线x=4上任取一点P（点P不在x轴上），连结PA，PF，PB．若半焦距c=1，且2kPF=kPA+kPB
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线PF交椭圆于M，N，记△AMB、△ANB的面积分别为S1、S2，求的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）设P（4，t），（t≠0），A（﹣a，0），B（a，0），F（c，0）．利用斜率计算公式及其2kPF=kPA+kPB，c=1，a2=b2+c2，解出即可得出椭圆的标准方程．
（2）设直线PF的方程为：my+1=x，M（x1，y1），N（x2，y2）．（m≠0）．直线方程与椭圆方程联立化为：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，解得y1，2，不妨取：y1=，y2=，可得==，令m=tanθ，θ∈∪．即可得出．
【解答】解：（1）设P（4，t），（t≠0），A（﹣a，0），B（a，0），F（c，0）．
∴kPA=，kPF=，kPB=，
∵2kPF=kPA+kPB，∴2×=+，t≠0，
化为：a2=4c，
又c=1，a2=b2+c2，
联立解得c=1，a=2，b2=3．
∴椭圆C的方程为： =1．
（2）设直线PF的方程为：my+1=x，M（x1，y1），N（x2，y2）．（m≠0）．
联立，化为：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
解得y1，2==，
不妨取：y1=，y2=，
则==，
令m=tanθ，θ∈∪．
∴==﹣1∈∪（1，3）．
19．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），g（x）=．
（1）当a=1时，求f（x）的单调增区间；
（2）若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．
①求实数a的取值范围；
②求证：（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）把a=1代入函数解析式，求导后得到其单调区间，注意到函数的定义域．
（2）①先分离参数得到，令h（x）=．求导后得其极值点，求得函数极值，则使h（x）恰有三个零点的实数a的范围可求．
②由a==，再令，转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，再结合着的图象可得到=1
【解答】（1）当a=1时，＞0（x＞0），
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
（2）①令=0，
分离参数得，
令h（x）=，
由h′（x）===0，得x=1或x=e．
列表知，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．
即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．
而当x→0，h（x）→+∞，当x→+∞，h（x）→1，又h（1）=1，h（e）=；
结合函数的单调性可得，实数a的取值范围为（1，）．
②由①可知，0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，
a==，令，
则a=，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，
μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，
对于，
则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．
画其简图，
不妨设μ1＜μ2，则，
∴==
=
=[1﹣（1﹣a）+（1﹣a）]2=1
20．已知数列{an}是等比数列．
（1）设a1=1，a4=8．
①若++…+=M（++…+），n∈N*，求实数M的值；
②若在与中插入k个数b1，b2，…，bk，使，b1，b2，…，bk，，成等差数列，求这k个数的和Sk；
（2）若一个数列{cn}的所有项都是另一个数列{dn}中的项，则称{cn}是{dn}的子数列，已知数列{bn}是公差不为0的等差数列，b1=a1，b2=a2，bm=a3，其中m是某个正整数，且m≥3，求证：数列{an}是{bn}的子数列．
【考点】数列的应用．
【分析】（1）①由数列{an}是等比数列a1=1，a4=a1q3=8，求得q，求得数列{an}的通项公式，求得{}是以公比为的等差数列，{}是以公比为的等比数列，根据等比数列前n项和公式，将原式转化成2[1﹣（）2n]=M•[1﹣（）n]，求得M的值；
②根据等差数列的性质得：b1+bk=+=，即可求得Sk；
（2）分别求得{an}，{bn}的通项公式，根据已知条件，求得m=q+2，求得bk=a1+a1（q﹣1）（k﹣1），并求得an=a1+a1（q﹣1）（qn﹣2+qn﹣3+…+1），
当n≥3时，k=qn﹣2+qn﹣3+…+2，求得an=bk，当n=1或2时，a1=b1，a2=b2，即可证明数列{an}是{bn}的子数列．
【解答】解：（1）∵a1=1，a4=a1q3=8，
∴q=2，
∴an=2n﹣1，
①=（）n﹣1， =[（）n﹣1]2=（）n﹣1，
∴{}是以公比为的等差数列，{}是以公比为的等比数列，
++…+==2[1﹣（）2n]，
∴++…+== [1﹣（）n]，
∴2[1﹣（）2n]=M•[1﹣（）n]，解得M=，
②根据等差数列的性质得：b1+bk=+=，
Sk==，
（2）证明：设数列{an}的公比是q，an=a1qn﹣1，
设数列{bn}是公差是d，则bn=b1+（n﹣1）d，
∵b1=a1，b1=a2，bm=a3，
，
消去d，a1（q2﹣1）=（m﹣1）a1（q﹣1），即m=q+2，
∵d≠0，m是某个正整数，且m≥3，
∴q∈N，且q≥2，
∵d=a1（q﹣1），
bk=b1+（k﹣1）d=a1+a1（q﹣1）（k﹣1），
∵an=a1qn﹣1=a1+a1（qn﹣1﹣1），
=a1+a1（q﹣1）（qn﹣2+qn﹣3+…+1），
∴n≥3时，k=qn﹣2+qn﹣3+…+2，此时an=bk，
n=1或2时，a1=b1，a2=b2，
数列{an}中所有项都是数列{bn}的项，
数列{an}是数列{bn}的数列．
选做题.[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）
21．如图，△BCD内接于⊙O，过B作⊙O的切线AB，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，且DB⊥BE．求证：DB=DC．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】连接DE，交BC于点G．通过弦切角定理，得∠ABE=∠BCE，然后利用勾股定理可得DB=DC．
【解答】证明：如图，连接DE，交BC于点G．
由弦切角定理，得∠ABE=∠BCE． …
而∠ABE=∠CBE，故∠CBE=∠BCE，所以BE=CE． …
又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，
所以∠DCE=90°，由勾股定理可得DB=DC． …
[选修4-2：矩阵与变换]
22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，3）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣4，y+2），求M2．
【考点】几种特殊的矩阵变换．
【分析】利用矩阵变换，求出x，y，再利用矩阵变换，即可求M2．
【解答】解：由题意， =，
∴，∴x=0，y=﹣10，
=，
∴M2==．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．若点P的坐标为（3，），求PA+PB的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l的参数方程代入直角坐标方程，利用根与系数的关系、参数的几何意义即可得出．
【解答】解：圆C的方程为ρ=2sinθ，即ρsinθ，
化为直角坐标方程：x2+y2=2y，
直线l的参数方程为（t为参数），
代入上述方程可得：t2﹣3t+4=0，
∴t1+t2=3，
∴PA+PB=|t1+t2|=3．
[选修4-5：不等式选讲]
24．若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），求函数f（x）=（a﹣1）+（b﹣1）的最大值．
【考点】函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的解法．
【分析】由题意可得1，2是方程x2﹣ax+b=0的两根，运用韦达定理可得a=3，b=2，即有f（x）=2+，运用柯西不等式即可得到所求最大值．
【解答】解：关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），
可得1，2是方程x2﹣ax+b=0的两根，
即有1+2=a，1×2=b，
解得a=3，b=2，
则函数f（x）=（a﹣1）+（b﹣1）=2+，
由x﹣3≥0，4﹣x≥0可得3≤x≤4，
由柯西不等式可得，（2+）2≤（4+1）（x﹣3+4﹣x），
即有2+≤．
当2=，即为x=∈[3，4]时，
f（x）取得最大值．
解答题
25．如图，一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．若AC=BC=BE=2，
（1）BE边上是否存在一点M，使得AD和CM的夹角为60°？
（2）求锐二面角O﹣CE﹣B的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．
【分析】（1）以CB为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立如图所示的直角坐标系，求出点的坐标，利用直线之间的夹角转化为向量之间的夹角进行求解即可．
（2）设平面BCE的法向量，平面OCE的法向量．二面角O﹣CE﹣B是锐二面角，记为θ，利用空间向量的数量积求解cosθ即可．
【解答】解：（1）以CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴，建立如图所示的直角坐标系，
∵AC=BC=BE=2，∴CD=BE=2，
则C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），O（1，1，0），E（2，0，2）
D（0，0，2），
设M（2，0，t），（0≤t≤2），
则=（0，﹣2，2），=（2，0，t），
若AD和CM的夹角为60°，
|cos＜，＞|=||=||=||=cos60，
平方得t2=4，得t=2，
即M（2，0，2），即M位于E处时，AD和CM的夹角为60°．
（2）设平面OCE的法向量=（x0．y0．z0）．则平面BCE的法向量=（0，1，0），
=（2，0，2），=（1，1，0）．
∴，则，
令x0=﹣1，∴=（﹣1，1，1）．
∵二面角O﹣CE﹣B是锐二面角，记为θ，则
cosθ=|cos|===．
26．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，且当n≥2时，2（Sn﹣Sn﹣1）=（n+1）（++…+）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：当n≥2时，4anan≤．
【考点】数列递推式．
【分析】（1）当n≥2时，2（Sn﹣Sn﹣1）=（n+1）（++…+），令n=2，则2a2=3，解得a2=2．猜想an=n，可得Sn=，利用数学归纳法证明即可得出．
（2）要证明：4anan≤，（n≥2），即证明：4nn≤（n+2）n，即证明≥4，利用二项式定理展开： =+++…，即可证明．
【解答】（1）解：当n≥2时，2（Sn﹣Sn﹣1）=（n+1）（++…+），
令n=2，则2a2=3，化为：﹣a2﹣6=0，a2＞0，解得a2=2．
猜想an=n，
下面利用数学归纳法给出证明：
①n=1，2时成立．
②假设n=k时成立，则Sk=，可得==2，
∴++…+=2++…+=2=，
当n≥2时，2（Sk+1﹣Sk）=（k+2）（++…+）．
∴2ak+1=（k+2）×，
∴ak+1=k+1，
因此n=k+1时也成立．
综上可得：∀n∈N*，an=n成立．
（2）证明：要证明：4anan≤，（n≥2），即证明：4nn≤（n+2）n，
即证明≥4，
利用二项式定理展开： =+++…≥1+2+≥4，（n≥2）．
∴≥4成立，
∴4anan≤，（n≥2）．
江苏省高考数学模拟试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知集合A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，则A∩B=________．
2．某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有________人．
3．已知i是虚数单位，且复数z1=2+bi，z2=1﹣2i，若是实数，则实数b=________．
4．根据如图所示的伪代码，已知输出值为1，则输入值x=________．
5．已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣2，2}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点的概率是________．
6．已知||=2，||=3，，的夹角为120°，则|+2|=________．
7．已知一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），则f（lgx）＜0的解集为________．
8．设α为锐角，若cos（α+）=，则cos（2α﹣）=________．
9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，若AB=2，∠BAD=60°．则当四棱锥P﹣ABCD的体积等于2时，则PC=________．
10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（4，3）引圆C：x2+（y﹣m）2=m2+1（0＜m＜4）的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点________．
11．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+，a11成等比数列．若p﹣q=10，则ap﹣aq=________．
12．若曲线y=alnx（a≠0）与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则=________．
13．已知▱ABCD的面积为2，P是边AD上任意一点，则|PB|2+|PC|2的最小值为________．
14．设函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，22015]内的所有零点的和为________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin（A+）=2cosA．
（1）若cosC=，求证：2a﹣3c=0；
（2）若B∈（0，），且cos（A﹣B）=，求sinB的值．
16．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=．已知PB=PC．
（1）若N为PA的中点，求证：DN∥平面PBC；
（2）若M为BC的中点，求证：MN⊥BC．
17．某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园，为达到社会和经济效益双丰收，园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形ABCD作为绿化区域，其余作为市民活动区域，其中△ABD区域种植花木后出售，△BCD区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为a元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍，若BC=6km，AD=CD=4km．
（1）若BD=2km，求绿化区域的面积；
（2）设∠BCD=θ，当θ取何值时，园林公司的总销售金额最大．
18．已知A，B是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左，右顶点，F为其右焦点，在直线x=4上任取一点P（点P不在x轴上），连结PA，PF，PB．若半焦距c=1，且2kPF=kPA+kPB
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线PF交椭圆于M，N，记△AMB、△ANB的面积分别为S1、S2，求的取值范围．
19．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），g（x）=．
（1）当a=1时，求f（x）的单调增区间；
（2）若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．
①求实数a的取值范围；
②求证：（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1．
20．已知数列{an}是等比数列．
（1）设a1=1，a4=8．
①若++…+=M（++…+），n∈N*，求实数M的值；
②若在与中插入k个数b1，b2，…，bk，使，b1，b2，…，bk，，成等差数列，求这k个数的和Sk；
（2）若一个数列{cn}的所有项都是另一个数列{dn}中的项，则称{cn}是{dn}的子数列，已知数列{bn}是公差不为0的等差数列，b1=a1，b2=a2，bm=a3，其中m是某个正整数，且m≥3，求证：数列{an}是{bn}的子数列．
选做题.[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）
21．如图，△BCD内接于⊙O，过B作⊙O的切线AB，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，且DB⊥BE．求证：DB=DC．
[选修4-2：矩阵与变换]
22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，3）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣4，y+2），求M2．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．若点P的坐标为（3，），求PA+PB的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），求函数f（x）=（a﹣1）+（b﹣1）的最大值．
解答题
25．如图，一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．若AC=BC=BE=2，
（1）BE边上是否存在一点M，使得AD和CM的夹角为60°？
（2）求锐二面角O﹣CE﹣B的余弦值．
26．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，且当n≥2时，2（Sn﹣Sn﹣1）=（n+1）（++…+）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：当n≥2时，4anan≤．
江苏省高考数学模拟试卷试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知集合A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1≤x＜1}．
【考点】交集及其运算．
【分析】由集合A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，
∴A∩B={x|﹣1≤x＜1}，
故答案为：{x|﹣1≤x＜1}
2．某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有600人．
【考点】概率的意义．
【分析】根据在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率是0.19，先求出高二女生的人数，问题得以解决．
【解答】解：∵在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率是0.19，
∴则高二女生人数为0.19×2000=380人，
则高三人数为2000﹣650﹣370﹣380=600人，
故答案为：600．
3．已知i是虚数单位，且复数z1=2+bi，z2=1﹣2i，若是实数，则实数b=﹣4．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得实数b的值．
【解答】解：∵z1=2+bi，z2=1﹣2i，
∴=，
又是实数，
∴4+b=0，即b=﹣4．
故答案为：﹣4．
4．根据如图所示的伪代码，已知输出值为1，则输入值x=﹣1．
【考点】伪代码．
【分析】算法的功能是求f（x）=的值，根据输出的值为1，分别求出当x≤0时和当x＞0时的x值．
【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）=的值，
当x≤0时，2x+1=1⇒x=﹣1；
当x＞0时，y=x+3=1⇒x无解．
综上x的值为：﹣1．
故答案为：﹣1．
5．已知m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣2，2}，若随机选取m，n，则直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点的概率是．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出满足条件的m，n的可能取值，由此能求出直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点的概率．
【解答】解：∵m∈{﹣1，0，1}，n∈{﹣2，2}，随机选取m，n，
∴基本事件总数n=3×2=6，
∵直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点，
∴k=﹣＜0，或m=0，n=﹣2，
∴m，n的可能取值为（0，﹣2），（﹣1，﹣2），（1，2），
∴直线mx+ny+1=0上存在第二象限的点的概率是：
P==．
故答案为：．
6．已知||=2，||=3，，的夹角为120°，则|+2|=2．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】先将向量的模平方，利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的运算法则展开，求出值，再将值开方即可．
【解答】解：|+2|2=||2+4||2+4•═||2+4||2+4||•||cos120°=4+4×9+4×2×3×（﹣）=28，
∴|+2|=2，
故答案为：2
7．已知一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），则f（lgx）＜0的解集为（10，100）．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】由已知利用补集思想求出一元二次不等式f（x）＜0的解集（1，2），然后由1＜lgx＜2求解x的取值集合即可得到答案
【解答】解：由一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），得f（x）＜0的解集为（1，2），
∴lg10=1＜lgx＜2=lg100，
∴10＜x＜100，
故f（lgx）＜0的解集为（10，100），
故答案为：（10，100）
8．设α为锐角，若cos（α+）=，则cos（2α﹣）=．
【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．
【分析】由cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]，分别根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出答案．
【解答】解：∵α为锐角，
∴α+∈（，），α﹣∈（﹣，）
∵cos（α+）=，
∴sin（α+）=，
∴cos（α+）=sin[﹣（α+）]=sin（﹣α）=，
∴sin（α﹣）=﹣，
∴cos（α﹣）=，
∴cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]=cos（α+）cos（α﹣）﹣sin（α+）sin（α﹣）=×﹣×（﹣）=，
故答案为：
9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，若AB=2，∠BAD=60°．则当四棱锥P﹣ABCD的体积等于2时，则PC=．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据菱形的性质求出底面积和AC，根据棱锥的体积计算PA，利用勾股定理计算PC．
【解答】解：∵底面ABCD是菱形，若AB=2，∠BAD=60°．
∴S菱形ABCD=2S△ABD=2×=2．AC==2
∵PA⊥平面ABCD，
∴VP﹣ABCD==2×PA=2，
∴PA=3．
∴PC==．
故答案为：．
10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（4，3）引圆C：x2+（y﹣m）2=m2+1（0＜m＜4）的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（，﹣3）．
【考点】圆的切线方程．
【分析】求出切线长，写出以点P为圆心，切线长为半径的圆的方程，
两圆方程相减，得出直线AB的方程，从而求出直线AB所过定点．
【解答】解：平面直角坐标系xOy中，过点P（4，3）引圆C：x2+（y﹣m）2=m2+1（0＜m＜4）的两条切线，
则切线长为=，
∴以点P为圆心，切线长为半径的圆的方程为
（x﹣4）2+（y﹣3）2=42+（3﹣m）2﹣（m2+1），
∴直线AB的方程为[x2+（y﹣m）2]﹣[（x﹣4）2+（y﹣3）2]=（m2+1）﹣[16+（3﹣m）2﹣（m2+1）]，
整理得（4x+3y﹣1）﹣m（y+3）=0，
令，解得，
∴直线AB过定点（，﹣3）．
故答案为：（，﹣3）．
11．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+，a11成等比数列．若p﹣q=10，则ap﹣aq=15．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】设等差数列公差为d，由题意知d＞0，由a3，a4+，a11成等比数列列式求得公差，再由等差数列的通项公式求得ap﹣aq．
【解答】解：设等差数列公差为d，由题意知d＞0，
∵a3，a4+，a11成等比数列，
∴（a4+）2=a3a11，
∴=（1+2d）（1+10d），即44d2﹣36d﹣45=0，
解得d=或d=﹣（舍去），
∵p﹣q=10，则ap﹣aq=（p﹣q）d=10×．
故答案为：15．
12．若曲线y=alnx（a≠0）与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则=2．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出两个函数的导数，然后求出公共点的斜率，利用斜率相等且有公共点联立方程组即可求出a的值．
【解答】解：曲线y=alnx的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=，
曲线y=x2的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．
由曲线y=alnx（a≠0）与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，
可得，并且t=，
∴，解得lns=，∴s2=e．
则a=1，
∴=．
故答案为：．
13．已知▱ABCD的面积为2，P是边AD上任意一点，则|PB|2+|PC|2的最小值为4．
【考点】两点间距离公式的应用．
【分析】不妨设ABCD是矩形，BC=2，AB=1，设P（x，1）（0≤x≤2），|PB|2+|PC|2=x2+1+（x﹣2）2+1=2（x﹣1）2+4，即可求出|PB|2+|PC|2的最小值
【解答】解：不妨设ABCD是矩形，BC=2，AB=1，则
设P（x，1）（0≤x≤2），
|PB|2+|PC|2=x2+1+（x﹣2）2+1=2（x﹣1）2+4，
∴x=1时，|PB|2+|PC|2的最小值为4，
故答案为：4．
14．设函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，22015]内的所有零点的和为•．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．
【解答】解：当1≤x≤时，f（x）=8x﹣8，
所以g（x）=8（x﹣）2﹣8，此时当x=时，g（x）max=0；
当＜x≤2时，f（x）=16﹣8x，所以g（x）=﹣8（x﹣1）2+2＜0；
由此可得1≤x≤2时，g（x）max=0．
下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．
当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，由函数f（x）的定义知f（x）=f（）=…=f（），
因为1≤≤，
所以g（x）=（x﹣2n﹣2）2﹣8，
此时当x=3•2n﹣2时，g（x）max=0；
当3•2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，g（x）=﹣（x﹣2n﹣1）2+8＜0．
由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max=0．
综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间[2n﹣1，2n]上有1个零点，
从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为xn=3•2n﹣2，因此，所有这些零点的和为．
则当n=2015时，所有这些零点的和为•．
故答案为： •
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin（A+）=2cosA．
（1）若cosC=，求证：2a﹣3c=0；
（2）若B∈（0，），且cos（A﹣B）=，求sinB的值．
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
【分析】（1）化简sin（A+）=2cosA可得tanA=，又A为三角形内角．可求sinA的值，又cosC=，C为三角形内角，可求sinC的值，由正弦定理可得：a=sinA•2R，c=sinC•2R，代入等式右边即可证明．
（2）由B∈（0，），可求cosB=，由cos（A﹣B）=，利用同角三角函数关系式化简即可求值．
【解答】解：（1）证明：∵sin（A+）=2cosA
⇒sinA+cosA=2cosA
⇒sinA=cosA
⇒tanA=，A为三角形内角．
⇒A=，sinA=
又∵cosC=，C为三角形内角，
∴sinC==，
∵由正弦定理可得：a=sinA•2R，c=sinC•2R
∴2a﹣3c=2R×﹣3×=2﹣2=0．从而得证．
（2）∵B∈（0，），
∴A﹣B=﹣B∈（0，），
∵sin2（A﹣B）+cos2（A﹣B）=1，cos（A﹣B）=，
∴sin（A﹣B）=，
则sinB=sin[A﹣（A﹣B）]=sinAcos（A﹣B）﹣cosAsin（A﹣B）=﹣=．
16．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=．已知PB=PC．
（1）若N为PA的中点，求证：DN∥平面PBC；
（2）若M为BC的中点，求证：MN⊥BC．
【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）取PB的中点G，连接NG，CG，经C点作CM∥AD，交AB与点M，利用已知可证：NGABDC，从而得证四边形DCGN是平行四边形，得证DN∥CG，从而证明DN∥平面PBC．
（2）由（1）可求BC，BM，AM，由勾股定理可得AM⊥BC，又PB=PC，M为BC的中点，可证PM⊥BC，通过证明BC⊥平面PAM，即可得证BC⊥MN．
【解答】证明：（1）取PB的中点G，连接NG，CG，
∵N为PA的中点，
∴NGAB，
再，经C点作CM∥AD，交AB与点M，
∵ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=60°，DC=1，AD=，
∴BM===1，AB=2，
∴NGABDC，即四边形DCGN是平行四边形，
∴DN∥CG，
∵DN⊄平面PBC，CG⊂平面PBC，
∴DN∥平面PBC．
（2）由（1）可得：BC=2，
∵M为BC的中点，可得：BM=1，
∴利用余弦定理可得：AM2=22+12﹣2×2×1×cos60°=3，
∴AM2+BM2=3+1=4=AB2，由勾股定理可得AM⊥BC，
又∵PB=PC，M为BC的中点，
∴PM⊥BC，
∴由AM∩PM=M，可得BC⊥平面PAM，
又MN⊂平面PAM，
∴BC⊥MN．
17．某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园，为达到社会和经济效益双丰收，园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形ABCD作为绿化区域，其余作为市民活动区域，其中△ABD区域种植花木后出售，△BCD区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为a元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍，若BC=6km，AD=CD=4km．
（1）若BD=2km，求绿化区域的面积；
（2）设∠BCD=θ，当θ取何值时，园林公司的总销售金额最大．
【考点】解三角形．
【分析】（1）若BD=2km，可得C，进而求出AB，即可求绿化区域的面积；
（2）设∠BCD=θ，求出园林公司的总销售金额，利用导数可得结论．
【解答】解：（1）△BCD中，cosC==，∴C=60°，
∴A=120°，
∴28=AB2+16﹣2AB•4•（﹣），
∴AB=2，
∴绿化区域的面积S=+=8；
（2）设AB=x，则x2+16﹣2x•4•cos=36+16﹣2×6×4×cosθ，
∴（x﹣6+8cosθ）（x+6）=0，
∴x=6﹣8cosθ（cosθ＜），
∴园林公司的总销售金额y=a•sinθ+3a•（6﹣8cosθ）•4sin=48a（sinθ﹣sinθcosθ）．
∴y′=﹣48a（cosθ﹣1）（2cosθ+1）
∵cosθ＜，∴cosθ=﹣，θ=120°时，函数取得最大值36a．
18．已知A，B是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左，右顶点，F为其右焦点，在直线x=4上任取一点P（点P不在x轴上），连结PA，PF，PB．若半焦距c=1，且2kPF=kPA+kPB
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线PF交椭圆于M，N，记△AMB、△ANB的面积分别为S1、S2，求的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）设P（4，t），（t≠0），A（﹣a，0），B（a，0），F（c，0）．利用斜率计算公式及其2kPF=kPA+kPB，c=1，a2=b2+c2，解出即可得出椭圆的标准方程．
（2）设直线PF的方程为：my+1=x，M（x1，y1），N（x2，y2）．（m≠0）．直线方程与椭圆方程联立化为：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，解得y1，2，不妨取：y1=，y2=，可得==，令m=tanθ，θ∈∪．即可得出．
【解答】解：（1）设P（4，t），（t≠0），A（﹣a，0），B（a，0），F（c，0）．
∴kPA=，kPF=，kPB=，
∵2kPF=kPA+kPB，∴2×=+，t≠0，
化为：a2=4c，
又c=1，a2=b2+c2，
联立解得c=1，a=2，b2=3．
∴椭圆C的方程为： =1．
（2）设直线PF的方程为：my+1=x，M（x1，y1），N（x2，y2）．（m≠0）．
联立，化为：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
解得y1，2==，
不妨取：y1=，y2=，
则==，
令m=tanθ，θ∈∪．
∴==﹣1∈∪（1，3）．
19．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），g（x）=．
（1）当a=1时，求f（x）的单调增区间；
（2）若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．
①求实数a的取值范围；
②求证：（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）把a=1代入函数解析式，求导后得到其单调区间，注意到函数的定义域．
（2）①先分离参数得到，令h（x）=．求导后得其极值点，求得函数极值，则使h（x）恰有三个零点的实数a的范围可求．
②由a==，再令，转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，再结合着的图象可得到=1
【解答】（1）当a=1时，＞0（x＞0），
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
（2）①令=0，
分离参数得，
令h（x）=，
由h′（x）===0，得x=1或x=e．
列表知，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．
即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．
而当x→0，h（x）→+∞，当x→+∞，h（x）→1，又h（1）=1，h（e）=；
结合函数的单调性可得，实数a的取值范围为（1，）．
②由①可知，0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，
a==，令，
则a=，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，
μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，
对于，
则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．
画其简图，
不妨设μ1＜μ2，则，
∴==
=
=[1﹣（1﹣a）+（1﹣a）]2=1
20．已知数列{an}是等比数列．
（1）设a1=1，a4=8．
①若++…+=M（++…+），n∈N*，求实数M的值；
②若在与中插入k个数b1，b2，…，bk，使，b1，b2，…，bk，，成等差数列，求这k个数的和Sk；
（2）若一个数列{cn}的所有项都是另一个数列{dn}中的项，则称{cn}是{dn}的子数列，已知数列{bn}是公差不为0的等差数列，b1=a1，b2=a2，bm=a3，其中m是某个正整数，且m≥3，求证：数列{an}是{bn}的子数列．
【考点】数列的应用．
【分析】（1）①由数列{an}是等比数列a1=1，a4=a1q3=8，求得q，求得数列{an}的通项公式，求得{}是以公比为的等差数列，{}是以公比为的等比数列，根据等比数列前n项和公式，将原式转化成2[1﹣（）2n]=M•[1﹣（）n]，求得M的值；
②根据等差数列的性质得：b1+bk=+=，即可求得Sk；
（2）分别求得{an}，{bn}的通项公式，根据已知条件，求得m=q+2，求得bk=a1+a1（q﹣1）（k﹣1），并求得an=a1+a1（q﹣1）（qn﹣2+qn﹣3+…+1），
当n≥3时，k=qn﹣2+qn﹣3+…+2，求得an=bk，当n=1或2时，a1=b1，a2=b2，即可证明数列{an}是{bn}的子数列．
【解答】解：（1）∵a1=1，a4=a1q3=8，
∴q=2，
∴an=2n﹣1，
①=（）n﹣1， =[（）n﹣1]2=（）n﹣1，
∴{}是以公比为的等差数列，{}是以公比为的等比数列，
++…+==2[1﹣（）2n]，
∴++…+== [1﹣（）n]，
∴2[1﹣（）2n]=M•[1﹣（）n]，解得M=，
②根据等差数列的性质得：b1+bk=+=，
Sk==，
（2）证明：设数列{an}的公比是q，an=a1qn﹣1，
设数列{bn}是公差是d，则bn=b1+（n﹣1）d，
∵b1=a1，b1=a2，bm=a3，
，
消去d，a1（q2﹣1）=（m﹣1）a1（q﹣1），即m=q+2，
∵d≠0，m是某个正整数，且m≥3，
∴q∈N，且q≥2，
∵d=a1（q﹣1），
bk=b1+（k﹣1）d=a1+a1（q﹣1）（k﹣1），
∵an=a1qn﹣1=a1+a1（qn﹣1﹣1），
=a1+a1（q﹣1）（qn﹣2+qn﹣3+…+1），
∴n≥3时，k=qn﹣2+qn﹣3+…+2，此时an=bk，
n=1或2时，a1=b1，a2=b2，
数列{an}中所有项都是数列{bn}的项，
数列{an}是数列{bn}的数列．
选做题.[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）
21．如图，△BCD内接于⊙O，过B作⊙O的切线AB，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，且DB⊥BE．求证：DB=DC．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】连接DE，交BC于点G．通过弦切角定理，得∠ABE=∠BCE，然后利用勾股定理可得DB=DC．
【解答】证明：如图，连接DE，交BC于点G．
由弦切角定理，得∠ABE=∠BCE． …
而∠ABE=∠CBE，故∠CBE=∠BCE，所以BE=CE． …
又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，
所以∠DCE=90°，由勾股定理可得DB=DC． …
[选修4-2：矩阵与变换]
22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，3）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣4，y+2），求M2．
【考点】几种特殊的矩阵变换．
【分析】利用矩阵变换，求出x，y，再利用矩阵变换，即可求M2．
【解答】解：由题意， =，
∴，∴x=0，y=﹣10，
=，
∴M2==．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．若点P的坐标为（3，），求PA+PB的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l的参数方程代入直角坐标方程，利用根与系数的关系、参数的几何意义即可得出．
【解答】解：圆C的方程为ρ=2sinθ，即ρsinθ，
化为直角坐标方程：x2+y2=2y，
直线l的参数方程为（t为参数），
代入上述方程可得：t2﹣3t+4=0，
∴t1+t2=3，
∴PA+PB=|t1+t2|=3．
[选修4-5：不等式选讲]
24．若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），求函数f（x）=（a﹣1）+（b﹣1）的最大值．
【考点】函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的解法．
【分析】由题意可得1，2是方程x2﹣ax+b=0的两根，运用韦达定理可得a=3，b=2，即有f（x）=2+，运用柯西不等式即可得到所求最大值．
【解答】解：关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），
可得1，2是方程x2﹣ax+b=0的两根，
即有1+2=a，1×2=b，
解得a=3，b=2，
则函数f（x）=（a﹣1）+（b﹣1）=2+，
由x﹣3≥0，4﹣x≥0可得3≤x≤4，
由柯西不等式可得，（2+）2≤（4+1）（x﹣3+4﹣x），
即有2+≤．
当2=，即为x=∈[3，4]时，
f（x）取得最大值．
解答题
25．如图，一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．若AC=BC=BE=2，
（1）BE边上是否存在一点M，使得AD和CM的夹角为60°？
（2）求锐二面角O﹣CE﹣B的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．
【分析】（1）以CB为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立如图所示的直角坐标系，求出点的坐标，利用直线之间的夹角转化为向量之间的夹角进行求解即可．
（2）设平面BCE的法向量，平面OCE的法向量．二面角O﹣CE﹣B是锐二面角，记为θ，利用空间向量的数量积求解cosθ即可．
【解答】解：（1）以CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴，建立如图所示的直角坐标系，
∵AC=BC=BE=2，∴CD=BE=2，
则C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），O（1，1，0），E（2，0，2）
D（0，0，2），
设M（2，0，t），（0≤t≤2），
则=（0，﹣2，2），=（2，0，t），
若AD和CM的夹角为60°，
|cos＜，＞|=||=||=||=cos60，
平方得t2=4，得t=2，
即M（2，0，2），即M位于E处时，AD和CM的夹角为60°．
（2）设平面OCE的法向量=（x0．y0．z0）．则平面BCE的法向量=（0，1，0），
=（2，0，2），=（1，1，0）．
∴，则，
令x0=﹣1，∴=（﹣1，1，1）．
∵二面角O﹣CE﹣B是锐二面角，记为θ，则
cosθ=|cos|===．
26．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，且当n≥2时，2（Sn﹣Sn﹣1）=（n+1）（++…+）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：当n≥2时，4anan≤．
【考点】数列递推式．
【分析】（1）当n≥2时，2（Sn﹣Sn﹣1）=（n+1）（++…+），令n=2，则2a2=3，解得a2=2．猜想an=n，可得Sn=，利用数学归纳法证明即可得出．
（2）要证明：4anan≤，（n≥2），即证明：4nn≤（n+2）n，即证明≥4，利用二项式定理展开： =+++…，即可证明．
【解答】（1）解：当n≥2时，2（Sn﹣Sn﹣1）=（n+1）（++…+），
令n=2，则2a2=3，化为：﹣a2﹣6=0，a2＞0，解得a2=2．
猜想an=n，
下面利用数学归纳法给出证明：
①n=1，2时成立．
②假设n=k时成立，则Sk=，可得==2，
∴++…+=2++…+=2=，
当n≥2时，2（Sk+1﹣Sk）=（k+2）（++…+）．
∴2ak+1=（k+2）×，
∴ak+1=k+1，
因此n=k+1时也成立．
综上可得：∀n∈N*，an=n成立．
（2）证明：要证明：4anan≤，（n≥2），即证明：4nn≤（n+2）n，
即证明≥4，
利用二项式定理展开： =+++…≥1+2+≥4，（n≥2）．
∴≥4成立，
∴4anan≤，（n≥2）．
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