江苏省高考数学模拟试卷-(理科)

这是一份江苏省高考数学模拟试卷-(理科)，共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三年级第一次模拟考试数学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：柱体的体积V＝Sh，锥体的体积V＝Sh
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 函数f(x)＝sin 2x的最小正周期为________．
2. 已知集合A＝{4，a2}，B＝{－1，16}，若A∩B≠∅，则实数a＝________．
3. 复数z满足zi＝4＋3i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
4. 函数y＝的定义域是________．
5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．
6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是________．

7. 已知数列{an}满足log2an＋1－log2an＝1，则＝________．
8. 若抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线x2－y2＝1的一条准线重合，则p＝________．
9. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M为棱AA1的中点，记三棱锥A1MBC的体积为V1，四棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则的值是________．
10. 已知函数f(x)＝2x4＋4x2，若f(a＋3)>f(a－1)，则实数a的取值范围为________．
11. 在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：(x－k)2＋(y＋k－4)2＝1上任一点P作圆C2：x2＋y2＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ的长最小时，k＝________．
12. 已知P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足＋＋2＝0，λ＋μ＋＝0，则λμ＝________．
13. 已知函数f(x)＝若存在x0＜0，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．
14. 在△ABC中，已知sin Asin Bsin(C－θ)＝λsin2C，其中tan θ＝，若＋＋为定值，则实数λ＝________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知向量a＝(sin x，1)，b＝，其中x∈(0，π)．
(1) 若a∥b，求x的值；
(2) 若tan x＝－2，求|a＋b|的值．



16. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为对角线BD的中点，E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD.求证：
(1) 直线PB∥平面OEF；
(2) 平面OEF⊥平面ABCD.


17. (本小题满分14分)
如图，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O，Q重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θ rad，地下电缆管线的总长度为y千米．
(1) 将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；
(2) 请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．



18. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，B是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围．


19. (本小题满分16分)
设A，B为函数y＝f(x)图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别作函数y＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．
(1) 若函数f(x)＝不存在“优点”，求实数a的值；
(2) 求函数f(x)＝x2的“优点”的横坐标的取值范围；
(3) 求证：函数f(x)＝ln x的“优点”一定落在第一象限．




20. (本小题满分16分)
已知首项不为0的数列{an}的前n项和为Sn，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nSn＋1－(2n＋5)Sn＋Sn－1＝ra1.
(1) 若a2＝3a1，求r的值；
(2) 数列{an}能否是等比数列？说明理由；
(3) 当r＝1时，求证：数列{an}是等差数列．








高三年级第一次模拟考试
数学附加题
(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)



B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．


C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)
设正数a，b，c满足3a＋2b＋c＝1，求＋＋的最小值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.
(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．








23. (本小题满分10分)
已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设fn(x)＝fn－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程
fn(x)＝0和方程fn(x)＝1根的个数分别为gn(0)，gn(1)．
(1) 求g2(1)的值；
(2) 证明：gn(0)＝gn(1)＋1.












高三年级第一次模拟考试(七)
数学参考答案
1. π　2. ±4　3. 5　4. [－1，1]　5. 　6. 8
7. 4　8. 　9. 　10. (－1，＋∞)　11. 2
12. －　13. [－1，0)　14.

15. (1) 因为a∥b，
所以sin xcos x＝，即sin 2x＝1.
因为x∈(0，π)，所以x＝.
(2) 因为tan x＝＝－2，
所以sin x＝－2cos x.
因为a＋b＝，
所以|a＋b|＝＝＝.

16. (1) O为BD的中点，F为PD的中点，
所以PB∥FO.
因为PB⊄平面OEF，FO⊂平面OEF，
所以PB∥平面OEF.
(2) 连结AC，因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AC与BD交于点O，O为AC的中点．
因为E为PC的中点，
所以PA∥OE.
因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD.
因为OE⊂平面OEF，
所以平面OEF⊥平面ABCD.

17. (1) 因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，
又∠APO＝π－θ，∠OAP＝θ－，
由正弦定理，得＝＝，又OA＝2，
所以PA＝，OP＝，
所以y＝PA＋PB＋OP＝2PA＋OP＝＝，
因为∠APQ＞∠AOP，
所以θ>，∠OAQ＝∠OQA＝(π－)＝，
所以θ∈.
(2) 令f(θ)＝，θ∈，
f′(θ)＝＝0，得θ＝，
f(θ)在区间上单调递减，在区间(，)上单调递增，
所以当θ＝，即OP＝千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min＝2.
答：当工作坑P与O的距离为千米时，地下电缆管线的总长度最小．

18. (1) 依题意，得解得
所以b＝＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB：x＝my－2，m≠0，
联立
解得或
即B(，)，则P(，)，
所以kOP＝－，OP：y＝－x.
因为AB⊥BQ，所以kBQ＝－m，所以直线BQ的方程为BQ：y＝－mx＋，
联立得x0＝＝8－∈(4，8)．


19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′对x∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，
不妨取x∈(0，1)，则f′(x)＝＝＝f′恒成立，即a＝，
经验证，a＝符合题意．
(2) 设A(t，t2)，B(t≠0且t≠±1)，
因为f′(x)＝2x，
所以A，B两点处的切线方程分别为y＝2tx－t2，y＝x－，
令2tx－t2＝x－，解得x＝∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(3) 设A(t，ln t)，b，t∈(0，1)，
因为f′(x)＝，
所以A，B两点处的切线方程分别为y＝x＋ln t－1，y＝tx－ln t－1，
令x＋ln t－1＝tx－ln t－1，
解得x＝>0，
所以y＝·＋ln t－1＝(ln t－)，
设h(m)＝ln m－，m∈(0，1)，
则h′(m)＝>0，
所以h(m)单调递增，
所以h(m) 即ln t－<0.
因为<0，
所以y＝·＋ln t－1>0，
所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．


20. (1)令n＝2，得4S3－9S2＋S1＝ra1，
即4(a3＋a2＋a1)－9(a2＋a1)＋a1＝ra1，
化简，得4a3－5a2－4a1＝ra1.
因为2a1＋a2＝a3，a2＝3a1，
所以4×5a1－5×3a1－4a1＝ra1，
解得r＝1.
(2) 假设数列{an}是等比数列，公比为q，则由2a1＋a2＝a3得2a1＋a1q＝a1q2，且a1≠0，解得q＝2或q＝－1，
由2nSn＋1－(2n＋5)Sn＋Sn－1＝ra1，
得4Sn＝2nan＋1－an－ra1(n≥2)，
所以4Sn－1＝2(n－1)an－an－1－ra1(n≥3)，两式相减，整理得2nan＋1＋an－1＝(2n＋3)an，
两边同除以an－1，可得2n(q2－q)＝3q－1.
因为q＝2或－1，
所以q2－q≠0，
所以上式不可能对任意n≥3恒成立，
故数列{an}不可能是等比数列．
(3) r＝1时，令n＝2，
整理得－4a1－5a2＋4a3＝a1，
又由2a1＋a2＝a3可知a2＝3a1，a3＝5a1，
令n＝3，可得6S4－11S3＋S2＝a1，
解得a4＝7a1，
由(2)可知4Sn＝2nan＋1－an－a1(n≥2)，
所以4Sn－1＝2(n－1)an－an－1－a1(n≥3)，
两式相减，整理得2nan＋1＋an－1＝(2n＋3)an(n≥3)，
所以2(n－1)an＋an－2＝(2n＋1)an－1(n≥4)，
两式相减，可得2n[(an＋1－an)－(an－an－1)]＝(an－an－1)－(an－1－an－2)(n≥4)．
因为(a4－a3)－(a3－a2)＝0，
所以(an－an－1)－(an－1－an－2)＝0(n≥4)，
即an－an－1＝an－1－an－2(n≥4)，
又因为a3－a2＝a2－a1＝2a1，
所以数列{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列．

21. A. 将λ＝－2代入＝λ2－(x－1)λ－(x＋5)＝0，得x＝3，


B. 由题意得曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
将直线l的参数方程代入(x＋1)2＋y2＝4得
＋＝4，
即4t2－4t－3＝0，
解得t1＝－，t2＝，
则AB＝|t1－t2|＝＝2.
C. 因为3a＋2b＋c＝1，
所以＋＋
＝(2a＋a＋b＋b＋c)·
≥(×＋×＋×)2
＝(＋1＋1)2
＝6＋4，
当且仅当＝＝时，等号成立，
所以＋＋的最小值为6＋4.
22. (1) 以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C1(1，1，3)，
所以＝(－1，0，3)，＝(1，1，3)，
所以cos〈，〉＝＝.
(2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，
所以＝(1，0，－3)，＝(1，1，－3)，＝(1，1，3)，＝(0，1，0)，
设平面A1BC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则
即
令z1＝1，则n1＝(3，0，1)．
设平面AC1D的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则
即
令z2＝1，则n2＝(－3，0，1)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝－，
所以平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值为.
23. (1) 当n＝2时，f2(x)＝f1(1－|2x－1|)＝f(1－|2x－1|)＝1－|2(1－|2x－1|)－1|＝1，
所以2(1－|2x－1|)＝1，
所以1－|2x－1|＝，
所以2x－1＝±，
所以x＝或x＝，
所以g2(1)＝2.
(2) 因为f(0)＝f(1)＝0，
所以fn(0)＝fn(1)＝0.
因为f1(x)＝1－|2x－1|∈[0，1]，
当x∈时，f1(x)单调递增，且f1(x)∈(0，1]，
当x∈时，f1(x)单调递减，且f1(x)∈[0，1)．
下面用数学归纳法证明：方程fn(x)＝0(x∈(0，1])、方程fn(x)＝1(x∈(0，1])、方程fn(x)＝0(x∈[0，1))、方程fn(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为gn(1)．
(ⅰ) 当n＝1时，方程f1(x)＝0(x∈(0，1])、方程f1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．
(ⅱ) 假设n＝k时，方程fk(x)＝0(x∈(0，1])、方程fk(x)＝1(x∈(0，1])、方程fk(x)＝0(x∈[0，1))、方程fk(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为gk(1)，
则当n＝k＋1时，有fk＋1(x)＝fk(f1(x))．
当x∈时，f1(x)∈(0，1]，方程fk＋1(x)＝0的根的个数为gk(1)．
当x∈时，f1(x)∈[0，1)，方程fk＋1(x)＝0的根的个数也为gk(1)．
所以方程fk＋1(x)＝0(x∈(0，1])的根的个数为gk＋1(0)＝2gk(1)，
同理可证：方程fk＋1(x)＝1(x∈(0，1])、方程fk＋1(x)＝0(x∈[0，1))、方程fk＋1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为2gk(1)，
由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立，
又因为fn(0)＝fn(1)＝0，
所以gn(0)＝gn(1)＋1.
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