江苏省高考数学模拟试卷

这是一份江苏省高考数学模拟试卷，共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省高考数学模拟试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1．设集合A={x|﹣2＜x＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B=　　　　　　．
2．若复数z=（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为　　　　　　．
3．将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是　　　　　　．
4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为　　　　　　．

5．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为　　　　　　．

6．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于　　　　　　．
7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A﹣A1EF的体积是　　　　　　．

8．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且它的图象过点（﹣，﹣），则φ的值为　　　　　　．
9．已知f（x）=，不等式f（x）≥﹣1的解集是　　　　　　．
10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线交于A、B两点（A，B异于坐标原点）．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是　　　　　　．
11．在△ABC中，A=120°，AB=4．若点D在边BC上，且=2，AD=，则AC的长为　　　　　　．
12．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为　　　　　　．
13．已知函数f（x）=ax2+x﹣b（a，b均为正数），不等式f（x）＞0的解集记为P，集合Q={x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠∅，则﹣的最大值是　　　　　　．
14．若存在两个正实数x、y，使得等式x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为　　　　　　．
　
二、解答题：本大题共6小题，满分90分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知α为锐角，cos（α+）=．
（1）求tan（α+）的值；
（2）求sin（2α+）的值．
16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．
（1）求证：PB∥平面MNC；
（2）若Ac=BC，求证：PA⊥平面MNC．

17．如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？

18．在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M： +=1（a＞b＞0）上，若点A（﹣a，0），B（0，），且=．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点．线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．
①若点P（﹣3，0），直线l过点（0，﹣），求直线l的方程；
②若直线l过点（0，﹣1），且与x轴的交点为D．求D点横坐标的取值范围．
19．对于函数f（x），在给定区间[a，b]内任取n+1（n≥2，n∈N*）个数x0，x1，x2，…，xn，使得
a=x0＜x1＜x2＜…＜xn﹣1＜xn=b，记S=|f（xi+1）﹣f（xi）|．若存在与n及xi（i≤n，i∈N）均无关的正数A，使得S≤A恒成立，则称f（x）在区间[a，b]上具有性质V．
（1）若函数f（x）=﹣2x+1，给定区间为[﹣1，1]，求S的值；
（2）若函数f（x）=，给定区间为[0，2]，求S的最大值；
（3）对于给定的实数k，求证：函数f（x）=klnx﹣x2 在区间[1，e]上具有性质V．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an=（﹣1）nSn+pn（p为常数，p≠0）．
（1）求p的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设集合An={a2n﹣1，a2n}，且bn，cn∈An，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn，若b1≠c1，求证：对任意n∈N，Pn≠Qn．
　
江苏省高考数学模拟试卷试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1．设集合A={x|﹣2＜x＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B=　{x|﹣2＜x＜1}　．
【考点】并集及其运算．
【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．
【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，
∴A∪B={x|﹣2＜x＜1}．
故答案为：{x|﹣2＜x＜1}．
　
2．若复数z=（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为　﹣2　．
【考点】复数的基本概念．
【分析】根据纯虚数的概念，确定复数的实部和虚部满足的条件即可．
【解答】解：z=（1+mi）（2﹣i）=2+m+（m﹣1）i，
∵复数z=（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，
∴2+m=0，
即m=﹣2，
故答案为：﹣2．
　
3．将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是　　．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】本题是一个等可能事件的概率，将一颗骰子掷两次，共有6×6种结果，满足条件的事件是至少出现一次1点向上的结果有5+5+1种结果，得到概率．
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵将一颗骰子掷两次，共有6×6=36种结果，
满足条件的事件是至少出现一次1点向上的结果有5+5+1=11种结果，
∴至少出现一次点数1的概率是，
故答案为：．
　
4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为　9　．

【考点】用样本的频率分布估计总体分布．
【分析】根据频率分布直方图，求出对应的频率与频数即可．
【解答】解：根据频率分布直方图，得：
日销售量不少于150个的频率为（0.004+0.002）×50=0.3，
则估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为：30×0.3=9．
故答案为：9．
　
5．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为　5　．

【考点】循环结构．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=27时满足条件S＞16，退出循环，输出k的值为5．
【解答】解：由题意，执行程序框图，可得
k=1，S=1，
S=3，k=2
不满足条件S＞16，S=8，k=3
不满足条件S＞16，S=16，k=4
不满足条件S＞16，S=27，k=5
满足条件S＞16，退出循环，输出k的值为5．
故答案为：5．
　
6．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于　19　．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由等比数列的中项的性质，运用等差数列的求和公式，可得d=2a1，再由S3=a22，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求值．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），
由S1，S2，S4成等比数列，可得：
S22=S1S4，即有（2a1+d）2=a1（4a1+6d），
可得d=2a1，
由S3=a22，可得3a1+3d=（a1+d）2，
即有9a1=9a12，
解得a1=1，d=2，
即有a10=a1+9d=1+9×2=19．
故答案为：19．
　
7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A﹣A1EF的体积是　8　．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】用三棱柱的体积减去三棱锥A1﹣EFC1B1和三棱锥A﹣BCFE的体积．
【解答】解：取BC中点D，连结AD，则AD⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，
∴AD⊥平面BCC1B1．
∵△ABC是等边三角形，AB=4，
∴AD=2．
∵AA1∥平面BCC1B1，E，F是BB1，CC1的中点，
∴VA﹣BCFE=V===8，
∴V=V﹣2VA﹣BCFE=﹣2×=8．
故答案为：8

　
8．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且它的图象过点（﹣，﹣），则φ的值为　﹣　．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】根据最小正周期为π，利用周期公式即可求出ω的值，利用图象经过点（﹣，﹣），结合其范围即可求出φ的值．
【解答】解：依题意可得： =π，解得：ω=2，…
又图象过点（﹣，﹣），
故2sin[2×（﹣）+φ]=﹣，解得：sin（φ﹣）=﹣，…
因为|φ|＜，
所以φ=﹣．…
故答案为：﹣．
　
9．已知f（x）=，不等式f（x）≥﹣1的解集是　{x|﹣4≤x≤2}　．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】由不等式f（x）≥﹣1可得 ①，或②．分别求出①、②的解集，再取并集，即得所求．
【解答】解：∵已知f（x）=，故由不等式f（x）≥﹣1可得 ①，或②．
解①可得﹣4＜x≤0，解②可得 0＜x≤2．
综上可得，不等式的解集为{x|﹣4≤x≤2}，
故答案为{x|﹣4≤x≤2}．
　
10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线交于A、B两点（A，B异于坐标原点）．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是　y=±2x　．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程可得A，B，再由A，B，F共线，可得=，即有b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），
双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，
代入抛物线的方程，可得A（，），B（，﹣），
由A，B，F三点共线，可得：
=，即有b=2a，
则双曲线的渐近线方程为y=±2x．
故答案为：y=±2x．
　
11．在△ABC中，A=120°，AB=4．若点D在边BC上，且=2，AD=，则AC的长为　3　．
【考点】解三角形；向量在几何中的应用．
【分析】画出图形，结合图形，利用=2，得出﹣=2（﹣），再利用平面向量的数量积求出||即可
【解答】解：如图所示：

△ABC中，∠BAC=120°，AB=4，点D在边BC上， =2，
∴=﹣， =﹣，
∴﹣=2（﹣），
∴3=2+，
两边平方得92=42+4•+2，
又AD=，
∴9×（）2=42+4×||×4×cos120°+42，
化简得||2﹣2||﹣3=0，
解得||=3或||=﹣1（不合题意舍去），
故答案为：3．
　
12．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为　[]　．
【考点】圆的切线方程．
【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP的距离，再由题意得到关于a的不等式求得答案．
【解答】解：如图，
圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，
则∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，
又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a﹣4），
∴|PO|min=|MO|﹣1，|PO|max=|MO|+1，
∵，
∴由，解得：2．
故答案为：[]．

　
13．已知函数f（x）=ax2+x﹣b（a，b均为正数），不等式f（x）＞0的解集记为P，集合Q={x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠∅，则﹣的最大值是　　．
【考点】空集的定义、性质及运算；交集及其运算．
【分析】根据不等式解集对应的关系，得到﹣2∈P，然后利用基本不等式进行求解即可．
【解答】解：∵不等式f（x）＞0的解集记为P，集合Q={x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，对于任意正数t，P∩Q≠∅，
∴﹣2∈P，即f（﹣2）≥0，
则4a﹣2﹣b≥0，即1≤2a﹣；
又由题意知，﹣的最大值必是正数，
则﹣=（﹣）×1≤（﹣）×（2a﹣）=2﹣﹣+≤﹣2=，
即﹣的最大值是．
故答案为：．
　
14．若存在两个正实数x、y，使得等式x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为　a＜0或a≥　．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．
【解答】解：由x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得x+a（y﹣2ex）ln=0，
即1+a（﹣2e）ln=0，
即设t=，则t＞0，
则条件等价为1+a（t﹣2e）lnt=0，
即（t﹣2e）lnt=有解，
设g（t）=（t﹣2e）lnt，
g′（t）=lnt+1﹣为增函数，
∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，
∴当t＞e时，g′（t）＞0，
当0＜t＜e时，g′（t）＜0，
即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，
即g（t）≥g（e）=﹣e，
若（t﹣2e）lnt=有解，
则≥﹣e，即≤e，
则a＜0或a≥，
故答案为：a＜0或a≥．
　
二、解答题：本大题共6小题，满分90分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知α为锐角，cos（α+）=．
（1）求tan（α+）的值；
（2）求sin（2α+）的值．
【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的正弦．
【分析】（1）利用同角的三角函数的关系式进行求解．
（2）利用两角和差的正弦公式进行转化求解．
【解答】解（1）∵α为锐角，
∴0＜x＜，
∴＜α+＜，
∵cos（α+）=．
∴sin（α+）==
则tan（α+）==2；
（2）∵cos2（α+）=2cos2（α+）﹣1=2×（）2﹣1=﹣，
∴cos（2α+）=﹣sin2α=﹣，
∴sin2α=，
∵＜α+＜，cos（α+）=．
∴＜α+＜，
即0＜α＜，则0＜2α＜，则cos2α=，
则sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=×+×=．
　
16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．
（1）求证：PB∥平面MNC；
（2）若Ac=BC，求证：PA⊥平面MNC．

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）根据中位线定理可得MN∥PB，故而PB∥平面MNC．
（2）由三线合一可得CM⊥AB，再有面面垂直得出CM⊥平面PAB，故CM⊥PA，由AP⊥PB，MN∥PB可得PA⊥MN，故而PA⊥平面MNC．
【解答】证明：（1）∵M，N分别为AB，PA的中点，
∴MN∥PB，又MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，
∴PB∥平面MNC．
（2）∵AC=BC，M是AB中点，
∴CM⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CM⊂平面ABC，
∴CM⊥平面PAB，∵AP⊂平面PAB，
∴AP⊥CM．
∵PA⊥PB，MN∥PB，
∴PA⊥MN，
又MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM=M，
∴PA⊥平面MNC．
　
17．如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？

【考点】基本不等式在最值问题中的应用；在实际问题中建立三角函数模型．
【分析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得a，b的关系，再由两点的距离公式和基本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B的位置．
【解答】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．
设A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），
则直线AB方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0．
因为AB与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，所以=1，
化简得ab﹣2（a+b）+2=0，即ab=2（a+b）﹣2，
因此AB===
=，
因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a+b＜2，
于是AB=2﹣（a+b）．
又ab=2（a+b）﹣2≤（）2，
解得0＜a+b≤4﹣2，或a+b≥4+2，
因为0＜a+b＜2，所以0＜a+b≤4﹣2，
所以AB=2﹣（a+b）≥2﹣（4﹣2）=2﹣2，
当且仅当a=b=2﹣时取等号，
所以AB最小值为2﹣2，此时a=b=2﹣．
答：当A，B两点离道路的交点都为2﹣（百米）时，小道AB最短．

　
18．在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M： +=1（a＞b＞0）上，若点A（﹣a，0），B（0，），且=．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点．线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．
①若点P（﹣3，0），直线l过点（0，﹣），求直线l的方程；
②若直线l过点（0，﹣1），且与x轴的交点为D．求D点横坐标的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）设C（m，n），由向量共线的坐标表示，可得C的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值；
（2）①由题意可得c=2，a=3，b==，可得椭圆方程，设直线PQ的方程为y=k（x+3），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得k，进而得到所求直线方程；
②设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得4m=5+9k2，再由中点在椭圆内，可得k的范围，再由直线l的方程可得D的横坐标的范围．
【解答】解：（1）设C（m，n），由=，
可得（a， a）=（m，n﹣），
可得m=a，n=a，即C（a， a），
即有+=1，即为b2=a2，
c2=a2﹣b2=a2，
则e==；
（2）①由题意可得c=2，a=3，b==，
即有椭圆方程为+=1，
设直线PQ的方程为y=k（x+3），
代入椭圆方程可得（5+9k2）x2+54k2x+81k2﹣45=0，
x1+x2=﹣，PQ的中点H为（﹣，），
由题意可得直线l的斜率为=﹣，
解得k=1或，
即有直线l的方程为y=﹣x﹣或y=﹣x﹣；
②设直线PQ的方程为y=kx+m，
代入椭圆方程可得，（5+9k2）x2+18kmx+9m2﹣45=0，
可得x1+x2=﹣，
即有PQ的中点为（﹣，），
由题意可得直线l的斜率为=﹣，
化简可得4m=5+9k2，中点坐标即为（﹣，），
由中点在椭圆内，可得+＜1，
解得﹣＜k＜，
由直线l的方程为y=﹣x﹣1，
可得D的横坐标为﹣k，可得范围是（﹣，0）∪（0，）．
　
19．对于函数f（x），在给定区间[a，b]内任取n+1（n≥2，n∈N*）个数x0，x1，x2，…，xn，使得
a=x0＜x1＜x2＜…＜xn﹣1＜xn=b，记S=|f（xi+1）﹣f（xi）|．若存在与n及xi（i≤n，i∈N）均无关的正数A，使得S≤A恒成立，则称f（x）在区间[a，b]上具有性质V．
（1）若函数f（x）=﹣2x+1，给定区间为[﹣1，1]，求S的值；
（2）若函数f（x）=，给定区间为[0，2]，求S的最大值；
（3）对于给定的实数k，求证：函数f（x）=klnx﹣x2 在区间[1，e]上具有性质V．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）推导出[f（xi+1）﹣f（xi）]=f（xi）﹣f（xi+1），从而S=|f（xi+1）﹣f（xi）|=f（x0）﹣f（xn）=f（﹣1）﹣f（1），由此能求出S的值．
（2）由=0，得x=1，由导数性质得f（x）在x=1时，取极大值．设xm≤1＜xm+1，m∈N，m≤n﹣1，由此能求出S=的最大值．
（3），x∈[1，e]，根据当k≥e2，k≤1和1＜k＜e2三种情况进行分类讨论，利用导数性质能证明对于给定的实数k，函数f（x）=klnk﹣在[1，e]上具有性质V．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣2x+1在区间[﹣1，1]为减函数，
∴f（xi+1）＜f（xi），∴[f（xi+1）﹣f（xi）]=f（xi）﹣f（xi+1），
S=|f（xi+1）﹣f（xi）|=[f（x0）﹣f（x1）]+[f（x1）﹣f（x2）]+…+[f（xn﹣1）﹣f（xn）]
=f（x0）﹣f（xn）
=f（﹣1）﹣f（1）=4．
（2）由=0，得x=1，
当x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，1）为增函数，
当x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）为减函数，
∴f（x）在x=1时，取极大值．
设xm≤1＜xm+1，m∈N，m≤n﹣1，
则S=
=|f（x1）﹣f（0）|+…+|f（xm）﹣f（xm﹣1）|+|f（xm+1）﹣f（xm）|+|f（xm+2）﹣f（xm+1）|+…|f（2）﹣f（xn﹣1）|
=[f（x1）﹣f（0）]+…+[f（xm）﹣f（xm﹣1）]+|f（xm+1）﹣f（xm）|+|f（xm+1）﹣f（xm+2）|+…+[f（xn﹣1）﹣f（2）]
=[f（xm）﹣f（0）]+|f（xm+1）﹣f（xm）|+[f（xm+1）﹣f（2）]，
∵|f（xm+1）﹣f（xm）|≤[f（1）﹣f（xm）]+[f（1）﹣f（xm+1）]，当xm=1时取等号，
∴S≤f（xm）﹣f（0）+f（1）﹣f（xm+1）+f（1）﹣f（xm+1）+f（xm+1）﹣f（2）
=2f（1）﹣f（0）﹣f（2）=．
∴S的最大值为．
证明：（3），x∈[1，e]，
①当k≥e2时，k﹣x2≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，e]上为增函数，
∴S==[f（x1）﹣f（x0）]+[f（x2）﹣f（x1）]+…+[f（xn）﹣f（xn﹣1）]
=f（xn）﹣f（x0）=f（e）﹣f（1）=k+．
∴存在正数A=k+，都有S≤A，
∴f（x）在[1，e]上具有性质V．
②当k≤1时，k﹣x2≤0恒成立，即f′（x）≤0恒成立，∴f（x）在[1，e]上为减函数，
∴S=|f（xi+1）﹣f（xi）|=[f（x0）﹣f（x1）]+[f（x1）﹣f（x2）]+…+[f（xn﹣1）﹣f（xn）]
=f（x0）﹣f（xn）=f（1）﹣f（e）=．
∴存在正数A=，都有S≤A，
∴f（x）在[1，e]上具有性质V．
③当1＜k＜e2时，由f′（x）=0，得x=，由f′（x）＞0，得1；
由f′（x）＜0，得＜x≤e，∴f（x）在[1，）上为增函数，在[，e]上为减函数，
设xm≤＜xm+1，m∈N，m≤n﹣1，
则S=|f（xi+1）﹣f（xi）|
=|f（xi）﹣f（x0）|+…+|f（xm）﹣f（xm﹣1）|+|f（xm+1）﹣f（xm）||+|f（xm+2）﹣f（xm+1）|+…+|f（xn）﹣f（xn﹣1）|
=f（x1）﹣f（x0）+…+f（xm）﹣f（xm﹣1）+|f（xm+1）﹣f（xm）|+f（xm+1）﹣f（xm+2）+…+f（xn﹣1）﹣f（xn）
=f（xm）﹣f（x0）+f（xm+1）﹣f（xn）+f（）﹣f（xm+1）+f（）﹣f（xm）
=2f（）﹣f（x0）﹣f（xn）
=klnk﹣k﹣[﹣]
=klnk﹣2k+，
∴存在正数A=klnk﹣2k+，都有S≤A，
∴f（x）在[1，e]上具有性质V．
综上，对于给定的实数k，函数f（x）=klnk﹣在[1，e]上具有性质V．
　
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an=（﹣1）nSn+pn（p为常数，p≠0）．
（1）求p的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设集合An={a2n﹣1，a2n}，且bn，cn∈An，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn，若b1≠c1，求证：对任意n∈N，Pn≠Qn．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）令n=1，n=2，可得p的方程，由p不为0，可得p的值；
（2）讨论n为偶数，或奇数，将n换为n﹣1，两式相加可得所求通项公式；
（3）求得An={a2n﹣1，a2n}={﹣（）n，（）n}，讨论bn，cn的情况，运用错位相减法求和，即可得证．
【解答】（1）解：由题意可得n=1时，a1=（﹣1）S1+p=﹣a1+p，
可得p=2a1；
n=2时，a2=S2+p2=a1+a2+p2，可得+p2=0，
解得p=﹣；
（2）解：当n为偶数时，an=Sn+（﹣）n，
可得an﹣1=﹣Sn﹣1+（﹣）n﹣1，
两式相加可得，an+an﹣1=an﹣（﹣）n，
即an﹣1=﹣（﹣）n，
可得，当n为奇数时，an=﹣（﹣）n+1；
当n为奇数时，an=﹣Sn+（﹣）n，
可得an﹣1=Sn﹣1+（﹣）n﹣1，
两式相加可得，an+an﹣1=﹣an﹣（﹣）n，
即为2an+an﹣1=﹣（﹣）n，
即有﹣2•（﹣）n+1+an﹣1=﹣（﹣）n，
化简可得an﹣1=﹣2•（﹣）n，
即有当n为偶数时，an=（﹣）n；
则an=；
（3）证明：由（2）可得An={a2n﹣1，a2n}={﹣（）n，（）n}，
数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn，若b1≠c1，
即有nbn=﹣n（）n，ncn=n（）n，
即有前n项和为Qn=1•+2•+3•+…+n（）n，
Qn=1•+2•+3•+…+n（）n+1，
相减可得， Qn=+++…+（）n﹣n（）n+1，
=﹣n（）n+1，
可得Qn=﹣•，Pn=﹣+•，
即有Pn≠Qn．
由于An中相邻两项的和为0，b1≠c1，
则Pn≠Qn．
　

2016年8月1日