(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升2.1《函数的概念及其表示》(2份打包，原卷版+教师版)

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1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( )
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．( )
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．( )
(4)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥0，,x2，x＜0))的定义域为R.( )
教材改编题
1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是( )

2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A．f(x)＝x2﹣2x﹣1，g(s)＝s2﹣2s﹣1
B．f(x)＝x﹣1，g(x)＝eq \f(x2－1,x＋1)
C．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0))
D．f(x)＝eq \r(－x3)，g(x)＝xeq \r(－x)
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x，x≤0，,lg3x，x>0，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))等于( )
A．﹣1 B．2 C.eq \r(3) D.eq \f(1,2)
题型一 函数的定义域
例1 (1)函数f(x)＝eq \f(1,lnx＋1)＋eq \r(4－x2)的定义域为( )
A．[﹣2,0)∪(0,2] B．(﹣1,0)∪(0,2]
C．[﹣2,2] D．(﹣1,2]
(2)若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x﹣1)的定义域为________．
延伸探究 将本例(2)改成“若函数f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f(x﹣1)的定义域为________．
教师备选
1．函数y＝lg(x2﹣4)＋eq \r(x2＋6x)的定义域是( )
A．(﹣∞，﹣2)∪[0，＋∞) B．(﹣∞，﹣6]∪(2，＋∞)
C．(﹣∞，﹣2]∪[0，＋∞) D．(﹣∞，﹣6)∪[2，＋∞)
2．已知函数f(x)＝eq \f(x,\r(1－2x))，则函数eq \f(fx－1,x＋1)的定义域为( )
A．(﹣∞，1) B．(﹣∞，﹣1)
C．(﹣∞，﹣1)∪(﹣1,0) D．(﹣∞，﹣1)∪(﹣1,1)
思维升华
(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求复合函数的定义域
①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－4x2))＋ln(3x﹣1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
(2)已知函数f(x)的定义域为[﹣2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋eq \r(1－2x)的定义域为__________．
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋1))＝lg x，则f(x)的解析式为________．
(2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________.
(3)已知函数对任意的x都有f(x)﹣2f(﹣x)＝2x，则f(x)＝________.
教师备选
已知f(x)满足f(x)﹣2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝2x，则f(x)＝________.
思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
跟踪训练2 (1)已知f(1﹣sin x)＝cs2x，则f(x)＝________.
(2)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq \f(1,x4)，则f(x)＝__________.
题型三 分段函数
例3 (1)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs πx，x≤1，,fx－1＋1，x>1，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))的值为( )
A.eq \f(1,2) B．﹣eq \f(1,2) C．﹣1 D．1
(2)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3，x>0，,x2－4，x≤0，))若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．
教师备选
1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,6)))，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x<1，))则f(f(2 022))等于( )
A．﹣eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(2)
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x≥0，,－x2，x<0，))若对于任意的x∈R，|f(x)|≥ax，则a＝________.
思维升华 分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
跟踪训练3
(1)设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,x2＋1，x<1.))则f(f(﹣1))＝________，f(x)的最小值是________．
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>1，,x2－1，x≤1，))则f(x)课时精练
1．函数f(x)＝eq \f(\r(3－x),lg x)的定义域是( )
A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)
C．(0,3] D．(0,1)∪(1,3]
2．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
3．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－\f(1,2)，x<1，,ax，x≥1，))若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))))＝8，则a等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4) C．1 D．2
4．设函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝x，则f(x)的表达式为( )
A.eq \f(1＋x,1－x)(x≠﹣1) B.eq \f(1＋x,x－1)(x≠﹣1)
C.eq \f(1－x,1＋x)(x≠﹣1) D.eq \f(2x,x＋1)(x≠﹣1)
5．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，设点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )

6．(多选)下列函数中，与y＝x是同一个函数的是( )
A．y＝eq \r(3,x3) B．y＝eq \r(x2)
C．y＝lg 10x D．y＝10lg x
7．(多选)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x，x≤a，,2x，x>a，))若f(1)＝2f(0)，则实数a可以为( )
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．(多选)具有性质：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝﹣f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是( )
A．f(x)＝x﹣eq \f(1,x) B．f(x)＝ln eq \f(1－x,1＋x)
C．f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 D．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，01))
9．已知f(x5)＝lg x，则f(100)＝________.
10．函数f(x)＝ln(x﹣1)＋eq \r(4＋3x－x2)的定义域为________．
11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2ax＋3a，x<1，,ln x，x≥1))的值域为R，则实数a的取值范围是________．
12．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x<0，,1，x>0，))则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．
13．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)A．(﹣∞，﹣1] B．(0，＋∞)
C．(﹣1,0) D．(﹣∞，0)
14．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋λ，x<1λ∈R，,2x，x≥1，))若对任意的a∈R都有f(f(a))＝2f(a)成立，则λ的取值范围是______．
15．(多选)若函数f(x)满足：对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，有f(x1)＋f(x2)>2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))，则称函数f(x)具有H性质．则下列函数中具有H性质的是( )
A．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x B．f(x)＝ln x
C．f(x)＝x2(x≥0) D．f(x)＝tan xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤x<\f(π,2)))
16．设f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝eq \r(2)f(x)，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋a，－1