考点18 导数的综合应用8种常见考法归类（解析版）

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考点18 导数的综合应用8种常见考法归类


考点一 利用导数研究函数的图象和性质
考点二 证明不等式
（一） 作差函数证明不等式
（二） 构造双函数证明不等式
（三）适当放缩法证明不等式
（四）利用结论证明不等式
（五）利用隐零点证明不等式
（六）与数列有关的不等式证明
考点三 恒(能)成立问题
（一）分离参数法
（二）分类讨论法
（三）同构法
（四）隐零点法
考点四 讨论零点个数
考点五 根据函数零点情况求参数范围
考点六 与零点有关的不等式问题
（一）比值代换
（二）消参减元法
（三）构造关联(对称)函数
考点七 利用导数研究双变量问题
考点八 导数中的极值点偏移问题


1．利用导数研究函数的图象与性质
函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.2．利用导数证明不等式
利用导数证明不等式问题一般要用到构造法，构造法是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：
(1)直接构造法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x),然后利用h(x)的最值证明不等式；
注：作差构造法：待证不等式的两边含有相同的变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，通过研究其单调性等相关函数性质证明不等式．
利用构造差函数证明不等式的基本步骤：①作差或变形；②构造新的函数g(x)；③利用导数研究g(x)的单调性或最值；④根据单调性及最值，得到所证不等式．
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x0)，≤ln(x＋1)≤x(x>－1)；
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数 f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，“隔离”转化是关键，将不等式不等号两端分别“隔离”出两个函数式f(x)，g(x)，使f(x)min>g(x)max恒成立，从而f(x)>g(x)，但f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”；若不能直接转化为最值问题的不等式证明可将不等式的某一部分“隔离”开，单独进行研究，然后再纳入整体进行论证．
(5)利用“隐零点”证明不等式：关键在于“设而不求”及“等量代换”，常见的有不含参和含参两种类型：①不含参函数的隐零点问题：已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，则(i)有关系式f′(x0)＝0成立；(ii)注意确定x0的合适范围. ②含参函数的隐零点问题：已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x，a)＝0的根为x0，则(i)有关系式f′(x0，a)＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；(ii)注意确定x0的合适范围，往往和a的取值范围有关.

3.对于函数f(x)＝ex在x＝0处的泰勒展开式如下：
ex＝1＋＋＋＋…＋＋…⇒ex≥x＋1.
类似的，常用泰勒展开式拟合的不等式还有：
ln(1＋x)＝x－＋－＋…＋(－1)n－1·＋…⇒ln(x＋1)≤x；
sinx＝x－＋－…＋(－1)n－1·＋…⇒sinx≤x；
cosx＝1－＋－＋…＋(－1)n·＋…⇒cosx≥1－x2.

4.由ex≥x＋1演绎出的一些常见不等结构：

5．与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题
（1）利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的主要策略：①构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围；②分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 有些不易分参的也可采用“同构”技巧.
（2）若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若af(x0)成立，则只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a 利用分离参数法确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为参数)恒成立问题中参数范围的步骤：
①将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；
②求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值；
③解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围．　

6．与函数零点有关的参数范围问题
（1）方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（2）求极值的步骤：
①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；
②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.
（3）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.
（4）函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.
（5）含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．由于利用零点存在定理时，一般不使用极限语言，故常常需要“取点”，可借助ex≥x＋1，lnx≤x－1等结构放缩，必要时可构造函数证明所取点的符号.
（6）根据函数零点的情况求参数值或取值范围的基本方法：①利用零点存在的判定定理构建不等式求解；②分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；③转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
7．与不零点有关的不等式问题

（1）证明双变量不等式的基本思路：首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，或者通过比值代换，利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式.
（2）消参减元的主要目的是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．消参减元法，主要是利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点，进而建立参数与极值点之间的关系，消去参数或减少变元，从而简化目标函数．其解题要点如下．
①建方程：求函数的导函数，令f′(x)＝0，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键——导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式)；
②定关系：即根据极值点所满足的方程，利用方程解的知识，建立极值点与方程系数之间的关系；
③消参减元：即根据两个极值点之间的关系，利用和差或积商等运算，化简或转化所求解问题，消掉参数或减少变量的个数；
④构造函数：即根据消参减元后的式子的结构特征，构造相应的函数；
⑤求解问题：即利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，解决相关问题．　
（3）极值点偏移问题，除了前述方法外，也常通过构造关联(对称)函数求解，常见步骤如下：①构造奇函数F(x)＝f(x0－x)－f(x0＋x)；②对F(x)求导，判断F′(x)的符号，确定F(x)的单调性；③结合F(0)＝0，得到f(x0－x)>f(x0＋x)(或f(x0－x)(或<)f(x0＋(x0－x2))＝f(2x0－x2)得f(x1)>(或<)f(2x0－x2)；⑤结合f(x)的单调性，得x1>(或<)2x0－x2，得x1＋x2>(或<)2x0. 其中也可考虑构造F(x)＝f(x)－f(2x0－x)等，具体视已知条件“执果索因”.
8．解析式中含有 ,的两个模型
（1）含有的函数模型常用的构造方法如下，
①直接利用原函数，有时也可分为两个初等函数模型；②构造成“常数+因式·”型，求导后的运算不易受的干扰；③分离参数法构造函数模型，没有参数，避免了分类讨论，但是有时函数较复杂需多次求导.
（2）含有的函数模型“独立与不独立”法
消掉使的系数为常数，即“独立”,可一次求导解决单调性问题；当的系数不能消掉时，即"不独立",需两次求导，才能依次推导出单调性、零点、极值点等问题.


考点一 利用导数研究函数的图象和性质
1．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）函数在区间的图像大致为（    ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若存在三个不相等的实数a，b，c，使得成立，则的取值范围是________.
3．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数a的取值范围为______．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围为______．
考点二 证明不等式
（一）作差构造函数证明不等式
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)若，证明：当时；
(2)当时，，求a的取值范围．
6．（2023春·河南开封·高三统考期中）已知函数，.
(1)若函数在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若，求证：.
7．（2023春·吉林延边·高三延边第一中学校考开学考试）已知函数
(1)当，且时，证明：；
(2)是否存在实数a，使函数在上单调递增?若存在，求出a的取值范围；不存在，说明理由．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相平行．
（1）求的值；
（2）求证：在上恒成立．
（二）构造双函数证明不等式
9．（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）已知.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)当时，证明.
10．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知函数 .
(1)当时，求在点 处的切线方程；
(2) 时，求证：.
11．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为．
（1）求的值；
（2）证明：．
（三）适当放缩法证明不等式
12．（2023·全国·高三专题练习）函数，其中，，为实常数
(1)若时，讨论函数的单调性；
(2)若，当时，证明：.
13．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考期中）已知函数．
(1)讨论函数的极值情况；
(2)证明：当时，．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)证明：当时，在上恒成立.
（四）利用结论证明不等式
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)证明：；
(2)当时，证明不等式，在上恒成立.
16．（2023春·吉林长春·高三长春市实验中学校考阶段练习）已知函数，.
(1)求证：在区间上单调递增；
(2)求证：.
17．（2023·陕西宝鸡·宝鸡中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若都有，求正数的最大值；
(2)求证：.
（五）利用隐零点证明不等式
18．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）已知函数，其中.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：.
19．（2023春·山东日照·高三校联考期中）设函数.
（1）讨论的导函数零点的个数；
（2）证明：当时，.
20．（2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中）已知．
(1)若，且对任意恒成立，求a的范围；
(2)当时，求证：．
21．（2023·河北保定·统考一模）已知函数．
(1)当时，证明：当时，；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
（六）与数列有关的不等式证明
22．（2023·全国·高三专题练习）已知.
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；
(3)证明不等式：.
23．（2023·全国·高三专题练习）设函数，，.
(1)求在上的单调区间；
(2)若在y轴右侧，函数图象恒不在函数的图象下方，求实数a的取值范围；
(3)证明：当时，.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)当时，，求实数的取值范围；
(2)已知，证明：.
25．（2023·四川自贡·统考三模）已知函数（e为自然对数底数）．
(1)判断，的单调性并说明理由；
(2)证明：对，．
考点三 恒(能)成立问题
（一）分离参数法
26．（2023秋·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）已知函数，若在区间内恒成立，则实数的范围为__．
27．（2023秋·江西·高三校联考期中）已知函数(为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
28．（2023·河南开封·统考二模）已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
29．（2023春·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
（二）分类讨论法
30．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考期中）已知函数．
(1)，恒成立，求实数的取值范围．
(2)若存在两个不等正实数，，，且，求实数的取值范围．
31．（2023春·安徽安庆·高三校考阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
32．（2023·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围.
33．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数，在处的切线与x轴平行.
（1）求的单调区间；
（2）若存在，当时，恒成立，求k的取值范围.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知为自然对数的底数，为常数，函数.
(1)求函数的极值；
(2)若在轴的右侧函数的图象总在函数的图象上方，求实数的取值范围.
（三）同构法
35．（2023·全国·高三专题练习）若不等式恒成立，则的取值范围为______.
36．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考期中）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是__________.
37．（2023·全国·高三专题练习）若，则实数的最大值为________.
38．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）关于的不等式在上恒成立，则的最小值是__________.
（四）隐零点法
39．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考期中）已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围．
40．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知函数，若对任意两个不相等的正实数，都有，则实数a的取值范围为_________．
考点四 讨论零点个数
41．（2023春·重庆九龙坡·高三统考期末）设函数，则（    ）
A．在区间，内均有零点
B．在区间，内均无零点
C．在区间内有零点，在区间内无零点
D．在区间内无零点，在区间内有零点
42．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数.
(1)若，证明：当时，；
(2)讨论函数在上零点个数.
43．（2023·浙江绍兴·统考二模）设函数，其中.
(1)当时，求函数的值域；
(2)设，当时，
①证明：函数恰有两个零点；
②若为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：.
44．（河南省安阳市2023届高三三模文科数学试题）已知函数.
(1)证明：曲线在点处的切线经过坐标原点；
(2)若，证明：有两个零点.
45．（2023秋·河南濮阳·高三濮阳南乐一高校考阶段练习）已知函数．
(1)证明：在区间存在唯一的极值点；
(2)试讨论的零点个数.
46．（2023·河南·校联考三模）已知函数.
(1)判断的导函数在上零点的个数，并说明理由；
(2)证明：当时，.
注：.
考点五 根据函数零点情况求参数范围
47．（2023春·河北·高三校联考期中）已知函数；
(1)若无零点，求a的取值范围；
(2)若有两个相异零点，证明：．
48．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知函数（），若函数有唯一零点，则a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
49．（2023秋·黑龙江鸡西·高三鸡西实验中学校考阶段练习）已知函数，若存在唯一的零点，且．则的取值范围是__．
50．（2023·河北唐山·统考一模）已知，函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在上仅有一个零点，求的取值范围.
51．（2023春·山东聊城·高三统考期末）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
52．（2023秋·山西阳泉·高三统考期末）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，若且有两个零点，求的取值范围.
53．（2023春·四川宜宾·高三统考期末）已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
54．（2023秋·山东济南·高三济南市历城第二中学校考阶段练习）已知函数，.
（1）求的极值；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.
55．（2023春·浙江宁波·高三宁波市北仑中学校考期中）已知函数，．
（Ⅰ）若，解不等式；
（Ⅱ）设是函数的四个不同的零点，问是否存在实数，使得其三个零点成等差数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．
56．（2023秋·江西抚州·高三临川一中阶段练习）已知函数在区间上至少有一个零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
考点六 与零点有关的不等式问题
（一）比值代换
57．（2023·广东·高三专题练习）已知函数（是自然对数的底数）有两个零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若的两个零点分别为，，证明：.
58．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若存在两个零点，且曲线在和处的切线交于点.
①求实数的取值范围；
②证明：.
59．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上有两个极值点，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：．
60．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知函数是的导函数.
(1)求函数的极值；
(2)若函数有两个不同的零点，证明：.
61．（2023·广西·校联考模拟预测）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，是方程的两个不等实根，且，证明：．
（二）消参减元法
62．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个极值点，，证明：．
63．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若是函数的两个不同极值点，且满足：，求证：.
64．（2023秋·山西·高三校联考期末）已知函数，其中为非零实数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个极值点，且，证明：.
（三）构造关联（对称）函数
65．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，且，证明：.
66．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数，a为实数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：
67．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，为常数，且.
(1)判断的单调性；
(2)当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：.
考点七 利用导数研究双变量问题
68．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数，．
(1)求函数的导函数在上的单调性；
(2)证明：，有．
69．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
70．（2023秋·山东济宁·高三校考阶段练习）已知函数，，若， ，使得，则实数的取值范围是____．
71．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．
72．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：.
73．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知函数，（）．
(1)若存在两个极值点，求实数的取值范围；
(2)若，为的两个极值点，证明：．
74．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，．
（2）若存在两个极值点，证明：．
75．（2023秋·重庆巴南·高三重庆市清华中学校校考阶段练习）已知函（）有两个极值点，．
（1）求的取值范围；
（2）当时，证明：．
76．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数在上单调递增.
(1)求的取值范围；
(2)若存在正数满足（为的导函数），求证：.
考点八 导数中的极值点偏移问题
77．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)若有两个零点，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
78．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)若，求函数在为自然对数的底数）上的零点个数；
(2)若方程恰有一个实根，求的取值集合；
(3)若方程有两个不同的实根，，求证：．
79．（2023·云南·高三校联考期中）已知函数在点处的切线方程与轴平行．
(1)求函数的极值；
(2)若函数有两个不同的零点，．
①求的取值范围；
②证明：．
80．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数．
（1）讨论f（x）的极值点的个数；
（2）若f（x）有3个极值点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），证明：x1x3＜x22．
81．（2023·全国·高三专题练习）82．（2023·江西鹰潭·统考二模）设函数，().
（1）若在处的切线平行于直线，求实数的值；
（2）设函数，判断的零点的个数；
（3）设是的极值点，是的一个零点，且，求证：.