2022年新高考北京数学高考真题变式题第16-18题解析版

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2022年新高考北京数学高考真题变式题16-18题
原题16
1．在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
变式题1基础
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求B；
(2)若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
变式题2基础
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，的面积为，求的周长．
变式题3基础
4．在中，角的对边分别为，.
(1)求角；
(2)若，面积，求△的周长.
变式题4基础
5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的值；
(2)若2a+b=6，且的面积为，求的周长.
变式题5巩固
6．已知的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的周长.
变式题6巩固
7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且
(1)求A；
(2)若，的面积为，求的周长．
变式题7巩固
8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求B；
(2)若，面积为，求周长.
变式题8巩固
9．在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
变式题9提升
10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求A；
(2)若点D在BC边上，AD平分BAC，且，求的周长．
变式题10提升
11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若AD为的平分线，且，，求的周长.
变式题11提升
12．在中，角A，，的对边分别是，，，且向量和向量互相垂直．
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的半径是1，面积是，求的周长．
变式题12提升
13．在中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线，且，求的周长
原题17
14．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．

(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
变式题1基础
15．如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件①：、条件②：、条件③：平面平面、中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
变式题2基础
16．如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，点，分别是，的中点，若，.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
变式题3基础
17．如图，在四棱锥中，，，平面ABCD，，M为PC的中点.

(1)求证：平面PAD；
(2)设点N在平面PAD内，且平面PBD，求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值.
变式题4巩固
18．在①平面平面，②，③平面这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
如图，在四棱锥中，底面是梯形，点在上，，，，，且______.

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
变式题5巩固
19．如图，在四棱锥中，平面，，，，为中点，___.

(1)求证：四边形是直角梯形；
(2)并求直线与平面所成角的正弦值.
从①；②平面这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

变式题6巩固
20．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点为棱上动点（不与，重合），平面与棱交于点.

(1)求证：；
(2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
变式题7巩固
21．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，丄平面，且，，点是的中点.

(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
变式题8巩固
22．如图，在直三棱柱中，D，E分别是棱AB，的中点，，．

(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线与平面所成的角的正弦值．
条件①：；条件②：；条件③：到平面的距离为1．
变式题9巩固
23．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别为棱，的中点．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
变式题10提升
24．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，为的中点.

（1）证明:平面;
（2）在①，②这两个条件中任一个，补充在下面的横线上，并作答.若________，求与平面所成的角.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
变式题11提升
25．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PB的中点，______．

从①；②平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完成解答．
注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分．
(1)求证：四边形ABCD是直角梯形．
(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．
(3)在棱PB上是否存在一点F，使得平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
变式题12提升
26．如图，在四棱锥中，已知底面为直角梯形，，，，平面平面，，.

(1)从下列条件①､条件②中再选择一个作为已知条件，求证：平面PAB；
条件①：E，F分别为棱PD，BC的中点；条件②：E，F分别为棱PC，AD的中点.
(2)若点M在棱PD（含端点）上运动，当为何值时，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为.
变式题13提升
27．已知底面为菱形的四棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面平面ABCD，E，F分别是棱PC，AB上的点.

(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立；
①F是AB的中点；②E是PC的中点；③平面PFD.
(2)若.求PB与平面PDC所成角的正弦值.
原题18
28．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
变式题1基础
29．某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．
满意度
老年人
中年人
青年人
报团游
自助游
报团游
自助游
报团游
自助游
满意
12
1
18
4
15
6
一般
2
1
6
4
4
12
不满意
1
1
6
2
3
2

（1）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随机抽取3人征集整改建议，记表示这3人中老年人的人数，求的分布列和期望；
（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
变式题2基础
30．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出 (不足，按计算)需再收元.该公司将最近承揽的件包裹的重量统计如表：
包裹重量（单位：）





包裹件数






公司对近天，每天揽件数量统计如表：
包裹件数范围





包裹件数（近似处理）





天数






以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（）计算该公司未来天揽件数在之间的概率；
（）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人，每人每天揽件不会超过件，且日工资为元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利?
变式题3基础
31．近期，某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各25名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如下：
成绩





男生（人数）
2
5
8
9
1
女生（人数）
a
b
10
3
2

（1）在抽取的50名学生中，从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率；
（2）从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，设这3人中大赛成绩在80分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小．（只写出结论，不需要说明理由）
变式题4基础
32．《中华人民共和国老年人权益保障法》规定，老年人的年龄起点标准是60周岁．为解决老年人打车难问题，许多公司均推出老年人一键叫车服务．某公司为调查老年人对打车软件的使用情况，在某地区随机抽取了100位老年人，调查结果整理如下：
年龄/岁




80岁以上
使用过打车软件人数
41
20
11
5
1
未使用过打车软件人数
1
3
9
6
3

(1)从该地区的老年人中随机抽取1位，试估计该老年人的年龄在且未使用过打车软件的概率；
(2)从参与调查的年龄在且使用过打车软件的老年人中，随机抽取2人进一步了解情况，用X表示这2人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
(3)为鼓励老年人使用打车软件，该公司拟对使用打车软件的老年人赠送1张10元的代金券，若该地区有5000位老年人，用样本估计总体，试估计该公司至少应准备多少张代金券．
变式题5巩固
33．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：

20以下





70以上
使用人数
3
12
17
6
4
2
0
未使用人数
0
0
3
14
36
3
0

（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
变式题6巩固
34．某企业为了解职工款APP和款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：

男职工
女职工
使用
不使用
使用
不使用
款APP
72人
48人
40人
80人
款APP
60人
60人
84人
36人

假设所有职工对两款APP是否使用相互独立.
（1）分别估计该企业男职工使用款APP的概率､该企业女职工使用款APP的概率；
（2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用款APP的人数为，求的分布列及数学期望；
（3）据电商行业发布的市场分析报告显示，款APP的用户中男性占%､女性占%；款APP的用户中男性占%､女性占%.试分析该企业职工使用款APP的男､女用户占比情况和使用款APP的男､女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男､女用户占比情况更相符.
变式题7巩固
35．某调研机构就该市工薪阶层对“楼市限购令”的态度进行调查，抽调了5000名市民，他们月收入人数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：
月收入(单位：百元)






调查人数
500
1000
1500
1000
500
500
赞成人数
400
800
1200
414
99
87

（1）若从抽调的5000名市民中随机选取一名市民，求该市民赞成“楼市限购令”的概率；
（2）依据上表中的数据，若从该市工薪阶层随机选取两人进行调查，记赞成“楼市限购令”的人数为X,求X的分布列和数学期望；
（3）若从抽调的收入在(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为，期望记作；若从抽调的收入在(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为，期望记作，比较与的大小关系.(直接写出结论即可)
变式题8巩固
36．北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理､化学的学生330名，下表是物理､化学成绩等级和人数的数据分布情况：
物理成绩等级



化学成绩等级









人数（名）
110
53
2
55
70
15
3
12
10

(1)从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩等级为，估计该生的化学成绩等级为的概率；
(2)从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取2人，以表示这2人中物理､化学成绩等级均为的人数，求的分布列和数学期望（以上表中物理､化学成绩等级均为的频率作为每名学生物理､化学成绩等级均为的概率）；
(3)记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为，排名前的成绩方差为，排名后的成绩方差为，则不可能同时大于和，这种判断是否正确.（直接写出结论）.
变式题9提升
37．人类常见的遗传病类型主要分为单基因遗传病、多基因遗传病和染色体异常遗传病三大类，高度近视（600度以上）、红绿色盲都是较常见的单基因遗传病．某学校课后实践活动对学生这两种遗传病情况进行统计，分别从男、女同学中各随机抽取100人进行调查，对患病情况统计如下，其中“√”表示是，“×”表示否．
人数
男生
高度近视
红绿色盲
3
√
×
√
2
√
√
×
1
√
√
√
1
×
×
√
2
×
√
×

(1)分别估计该校男生红绿色盲的发病率和该校女生红绿色盲的发病率；
(2)为做家庭访问，从已调查出患红绿色盲的同学中任选两人，记这两人中男同学人数为，求的分布列及数学期望；
(3)假设该校男生人数为1500，女生人数为2500，试估计该校学生高度近视发病率与该校学生红绿色盲发病率的大小关系，并说明理由．
（注：）
变式题10提升
38．2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条､段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园､积水潭､牛街､草桥､新发地､新宫共6座车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：
下车站
上车站
牡丹园
积水潭
牛街
草桥
新发地
新宫
合计
牡丹园
///
5
6
4
2
7
24
积水潭
12
///
20
13
7
8
60
牛街
5
7
///
3
8
1
24
草桥
13
9
9
///
1
6
38
新发地
4
10
16
2
///
3
35
新宫
2
5
5
4
3
///
19
合计
36
36
56
26
21
25
200

(1)在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；
(2)在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；
(3)为了研究各站客流量的相关情况，用表示所有在积水潭站上下车的乘客的上､下车情况，“”表示上车，“”表示下车.相应地，用，分别表示在牛街，草桥站上､下车情况，直接写出方差，，大小关系.
变式题11提升
39．2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：
心理价位（元/件）
90
100
110
120
人数
10
20
50
20

假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.
(1)若，试估计消费者购买该纪念品的概率；
(2)在（1）的前提下，某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；
(3)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？
变式题12提升
40．小明所在学习小组开展社会调查，记录了某快餐连锁店每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；
(2)将上图中的频率作为相应的概率，从该连锁店的骑手中任意选3人，记其中业务量不少于65单的人数为，求的分布列和数学期望．
(3)如果该连锁店的骑手每送1单可以提成3元，试估计一名骑手每天的收入．并说明理由．

参考答案：
1．(1)
(2)

【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
（1）
解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）
解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.

2．(1)；
(2).

【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出；
（2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到，即可求出，进而求出的周长.
（1）
解：由及正弦定理得，
∴，∵，∴，
∵，∴.
（2）
解：由（1）及已知得，∴，
由余弦定理知，
∴，∴，
∴△ABC的周长为.
3．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理得到，从而求出；（2）利用面积公式求出，进而用余弦定理求出，求出周长.
（1）
由正弦定理得：，
即，
因为，
所以
因为，
所以，
故，
因为，
所以
（2）
由面积公式得：，解得：，
由余弦定理得：
将，代入，求得：，
故的周长为
4．(1)；
(2)

【分析】（1）由正弦定理边角互化化简计算；（2）由面积公式结合余弦定理代入求解，即可得周长.
（1）
在中，∵，
∴由正弦定理可得．
又∵，，
∴．
整理得．
∵，∴，．∴．
（2）
∵，∴，
即，
亦即．
又由余弦定理知，∴．
∴．∴．
∴的周长为．
5．(1)
(2)6或

【分析】（1）利用正弦定理结合，代换整理得，再结合倍角公式整理；（2）根据面积公式代入整理得，结合题意可得或，分情况讨论处理．
（1）
∵，则
∵
∴，即
∵，则
∴
（2）
∵△ABC的面积为，则
∴
根据题意得，则或
若，则△ABC为等边三角形，的周长为6；
若，则，即，的周长为
∴的周长为6或
6．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的周长.
（1）
解：由，
利用正弦定理可得，化为，
所以，，，.
（2）
解：，且，所以，，
由余弦定理可得，
所以，，解得，
因此，周长为.
7．(1)；
(2).

【分析】（1）由题意，再由正弦定理化简得，可得A；
（2）由余弦定理得，再由三角形面积公式得，即可求，进而得出的周长．
（1）
由，则，
由正弦定理得：，
在中，故，即，
因为，所以；
（2）
由余弦定理得，即，可得，
又，得，则，即，
所以的周长为
8．(1)
(2)

【分析】（1）根据正弦定理和两角和公式即可得到结果
（2）根据三角形面积公式以及余弦定理即可得到结果
（1）
因为，由正弦定理：，
得，
又∵，∴，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴，即.
（2）
由题意知，∴
由余弦定理得，又∵，，
∴
∴，故，
所以的周长.
9．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得结果；
（2）利用三角形的面积公式结合已知条件可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值，即可得出的周长.
（1）
解：因为，
由正弦定理.
又，，所以，所以.
（2）
解：因为，所以，
又，所以，，
由余弦定理可得，所以.
所以的周长为.
10．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求出角即可；
（2）利用角平分线分三角形面积等于两个小三角形面积之和得出等式，再用余弦定理联立求解周长即可.
（1）
由正弦定理得，
在中，，
化简为，又，
，又
；
（2）
依题意得，
即，
由余弦定理得，
，解得
的周长为.
11．(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角恒等式的化简可得，进而可得结果；
（2）通过三角形面积公式可得，，结合余弦定理求出即可得出周长.
（1）
∵，由正弦定理可得，
即，
化简得，
又∵在中，，
∴，即，
∴，结合，可知.
（2）
∵AD为的平分线，，∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长为.
12．(1)
(2)

【分析】（1）根据，并结合余弦定理运算求解；
（2）根据正弦定理可得，在结合面积公式和余弦定理运算处理，注意的使用．
（1）
因为，互相垂直，所以，
则．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）
∵，则
因为，所以．
即，则，
因此，即．
故的周长．
13．(1)；
(2).

【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理可求角的大小；
（2）由面积公式可得，再在和中，由余弦定理可得，最后用完全平方公式可求的值，即可求得三角形的周长.
（1）
由已知，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
在中，因为，
所以；
（2）
由，得①，

由（1）知，即②，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③，
由①②③，得，
所以，
所以的周长.
14．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面.
（2）选①②均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.
（1）
取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
（2）
因为侧面为正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因为，故平面，
因为平面，故，
若选①，则，而，，
故平面，而平面，故，
所以，而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
若选②，因为，故平面，而平面，
故，而，故，
而，，故，
所以，故，
而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.


15．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据所选的条件，应用勾股定理易得，再由线面垂直的判定、面面垂直的性质证结论即可.
（2）构建为原点建立空间直角坐标系，由已知确定相关点坐标，再求直线的方向向量、面的法向量，进而应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值.
（1）
选①②：由，，，易知：，
又，，面，则面；
选①③：由，，，易知：.
又面面，面面，面，
∴平面
（2）
由（1）知：，，又四边形是正方形，则，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，

∴，，
设面的一个法向量为，则，即
令，则，，即，
设直线与平面所成角为，则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
16．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）取中点，可证得四边形为平行四边形，得，由线面平行的判定即可得到结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得结果.
（1）
取中点，连接，

分别为中点，，；
四边形为矩形，为中点，，；
且，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面.
（2）
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17．(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）取PD的中点E，连接EM，AE，易证ABME是平行四边形，则，根据线面平行的判定即可证结论.
（2）（法一）利用线面垂直的性质及判定可得面ABME，作交AE于点N，易证面PBD，则，根据相似比求出N的位置，由线面角的定义求线面角的大小；（法二）构建空间直角坐标系，设，根据平面PBD求出参数，进而求、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线BN与平面ABCD所成角的正弦值.
（1）
取PD的中点E，连接EM，AE，则且，
而，，则，又，
所以，，从而四边形ABME是平行四边形，故.
因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.

（2）
当N为AE的中点时，面PBD，理由如下：
（法一）面ABCD，面ABCD，
，又，，平面PAD，
所以面PAD，而面PAD，则，
又，E是PD的中点，即，
而，面ABME，
所以面ABME，在面ABME中作交AE于点N，
所以，又，面PBD，
所以面PBD，易知：，而，，
，即，而，
N为AE的中点时，面PBD.
作于G，则面，是BN与平面ABCD所成角，
因为，，
，则.
即直线BN与平面AD所成角的正弦值为.
（法二）易得AP，AB，AD两两垂直，故以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴，建立空间直角坐标系，

则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).
设，则，，.
因为平面PBD，
故，可得.
，又平面的法向量为，
设BN与平面ABCD所成角为，则.
即直线BN与平面ABCD所成角的正弦值为.
18．选条件①（1）证明见解析；（2）；选条件②（1）证明见解析；（2）；选条件③（1）证明见解析；（2）.
【分析】若选①：（1）根据面面垂直的性质定理，可证明平面，建立空间直角坐标系结合向量法证明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.
若选②：根据线面垂直的判定定理，可证明平面；建立空间直角坐标系结合向量法证明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.
若选③：根据线面垂直的性质定理，可得，又，根据线面垂直的判定定理，即可证明平面，建立空间直角坐标系结合向量法证明和线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直判定定理，即可证明平面平面；（2）由（1）可得平面的一个法向量为，再利用向量法结合线面所成角正弦公式即可求解直线与平面所成角的正弦值.
【详解】方案一：选条件①.
（1）∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
则.
方案二：选条件②.
（1）∵底面为梯形，，∴两腰，必相交.
又，，，平面，
∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面.
（2）由（1）可得平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
则.
方案三：选条件③.
（1）∵平面，平面，∴.
又，，平面，，
∴平面.
又，∴，，两两垂直.
以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
∴，，.
∵，，
∴，.
又，∴平面.
又平面，∴平面平面
（2）由（1）可得平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
则.
(1)详见解析
(2)详见解析

【分析】选择①.
(1)由平面可得，由勾股定理可得.再由线面垂直的判定可得平面，从而得到进而得到.即四边形是直角梯形.
(2)以为坐标系原点建立空间直角坐标系.求出平面的法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成的角的正弦值.
选择②。
(1) 由平面可得，由勾股定理可得.再由线面垂直的判定可得平面，从而得到，再由平面, 得，即得四边形是直角梯形.
(2)同(1)
（1）
选择①.

(1) 证明：如图所示
因为平面，所以，
又因为，所以
又因为，，即
又因为
所以平面，所以
又因为，所以
又因为
所以四边形是直角梯形.
选择②.
因为平面，所以，
又因为，所以
又因为，，即
又因为
所以平面，所以
又因为平面，
平面，
平面∩平面
所以，
又因为
所以四边形是直角梯形
（2）
选择①.
(2)过作的垂线交于点，由题意易知，，
故以为坐标系原点，以、、为、、 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，由题意知，，，，

因为为的中点，由中点坐标公式知，
所以，
，

设平面的法向量为，则有，即，
令，得
设直线与平面所成的角为，
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为
选择②.
解法同①
20．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由棱柱的性质可得，即可得到平面，再根据线面平行的性质证明即可；
（2）选条件①②，连接，取中点，连接，，即可得到，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
选条件②③，连接，取中点，连接，，依题意可得，再由勾股定理逆定理得到，即可得到平面，接下来同①②；
选条件①③，取中点，连接，，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，再由勾股定理逆定理得到接下来同①②；
（1）
证明：在三棱柱中，，又平面，平面，
所以平面，
又因为平面平面，
所以.
（2）
解：选条件①②.
连接，取中点，连接，.
在菱形中，，
所以为等边三角形.
又因为为中点，所以，
又因为平面平面，
平面平面，
平面，且，
所以平面，平面，
所以.
又因为，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，.
所以，.
设平面的一个法向量为，
则，所以
令，则，，故.
又因为，
设直线与平面所成角为，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选条件②③.
连接，取中点，连接，.
在菱形中，，
所以为等边三角形.
又为中点，故，且.
又因为，.
所以，
所以.
又因为，所以平面.
以下同选①②.
选条件①③
取中点，连接，.
在中，因为，所以，且，.
又因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
在中，.
又因为，，
所以，
所以.
以下同选①②.
21．(1)证明见解析
(2)

【分析】(1)连接BD交AC于F点，连接EF，根据中位线的性质可得，利用线面平行的判定定理即可证明；
(2)建立如图空间直角坐标系，求出各点的坐标，易知为为平面PAB的一个法向量，利用空间向量的坐标表示求出和，结合空间向量的数量积的定义即可得出结果.
（1）
连接BD交AC于F点，连接EF，
在中，∵EF是中位线，∴．
又∵平面AEC，平面AEC，
∴平面AEC．

（2）
由题意知，AC，AB，AP两两互相垂直，如图，
以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x，y，z轴的正半轴
建立空间直角坐标系A-xyz．

则，，，
∴，
易知平面PAB的一个法向量为，
设直线CE与平面PAB所成角为，
则．
∴直线CE与平面PAB所成角的正弦值为．
22．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据三角形的中位线定理及平行四边形的性质，结合线面平行的判定定理即可求解；
（2）选择①，根据直棱柱的定义及线面垂直的性质定理和判定定理，建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出线面角的正弦值.
选择②，根据直棱柱的定义及线面垂直的性质定理和判定定理，建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出线面角的正弦值.
选择③，根据直棱柱的定义及直线到平面的距离的定义，再利用线面垂直的性质定理和判定定理，建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出线面角的正弦值.
（1）
取的中点为，连接.
分别是，的中点, .
D是的中点，
直三棱柱， .，.
四边形为平行四边形.
又平面，平面，所以平面.
（2）
选择条件①：；
直三棱柱，平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面.
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则
.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件②：；
取的中点为，连接.
直三棱柱，分别是，的中点,
平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面..
分别是，的中点, ，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则
.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件③：到平面的距离为1．
过点作,垂足为，
直三棱柱，
平面，平面，，
，平面，
所以平面.平面.所以
由（1）知平面；因为到平面的距离为1，
所以.又，所以
又因为是的中点, ,所以是的中点, .
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则
.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
23．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法证明线面平行；
（2）利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.
（1）
证明: 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,,
则,,
设平面的一个法向量为,
则,
令, 则,
则平面的一个法向量为,

平面

（2）
由（1）得 ,
设直线与平面所成角为.

直线与平面所成角的正弦值为.
24．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接，交于，连接，根据可证；
（2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量关系可求.
【详解】（1）连接，交于，连接，

底面是菱形，为中点，
为中点，，
平面，平面，平面；
（2）选①：
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，

底面是菱形，，，
，
则，
设平面的法向量为，
则，取可得，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成的角为；
选②：
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，
取中点，连接，

底面是菱形，，，平面，为的中点，
，平面，，，
，
则，
设平面的法向量为，
则，取可得，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成的角为；
25．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，

【分析】选择①：
（1）由平面，可得，再由线面垂直的判定可得平面，则，进一步得到，由此能证明四边形是直角梯形．
（2）过作的垂线，交于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．
（3）设，利用，可求出．
选择②：
（1）由平面，可得，再由线面垂直的判定可得平面，则，再由平面，得，由此能证明四边形是直角梯形．
（2）过作的垂线，交于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．
（3）设，利用，可求出．
（1）
解：选择①：证明：平面，平面，，，
因为，，
，，，
，平面，平面，
平面，，
，，
四边形是直角梯形．
选择②：证明：平面，平面，，，
，，，
，，
，平面，平面，
平面，，
，四边形是直角梯形．
（2）
解：过作的垂线交于点，
平面，，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，2，，，0，，，，，
为的中点，，，，
，，，，2，，，2，，
设平面的法向量为，，，
则，令，得，1，，
设直线与平面所成角为，
则，．
直线与平面所成角的正弦值为．

（3）
解：设，则，，，，，
，，，
平面，，
，解得．
故存在点F，且．
26．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）若选条件①，取AD的中点为G，连接EG，GF，则∥，∥，从而由面面平行的判定定理和性质定理可得结论，若选条件②，取BC的中点为G，连接EG，GF，则∥，∥，从而由面面平行的判定定理和性质定理可得结论，
（2）取AB中点为O，连接PO，CO，以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系如图，利用空间向量求解即可
（1）
若选条件①，取AD的中点为G，连接EG，GF，则，，
因为平面，平面，平面，平面，
所以∥平面，∥平面，
因为，
所以平面∥平面，
又因为平面，所以∥平面PAB.

若选条件②，取BC的中点为G，连接EG，GF，则∥，∥，
因为平面，平面，平面，平面，
因为，所以平面∥平面PAB，
又因为平面EFG，所以∥平面PAB.

（2）
取AB中点为O，连接PO，CO，
因为，所以，
又因为平面PAB，平面平面ABCD，平面平面
所以平面ABCD，
又因为，，，所以，
又因为，，为AB中点，所以，，
又因为，所以四边形OADC为矩形，所以，
故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间
直角坐标系如图，则，，，，所以，
又因为M在PD上，所以存在，使，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，，
设平面PAD的法向量，则，所以，取，则.
所以.
设直线CM与平面PAD所成角为，
则，
故，所以或，
又因为，所以，
即.

27．(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）选①F是AB的中点，②E是PC的中点为已知条件，证明③平面PFD；
取的中点，连接，可得四边形是平行四边形，，由线面平行的判定定理可得平面PFD；
选②E是PC的中点，③平面PFD为已知条件 证明①F是AB的中点；
取的中点，连接，可得，再由线面平行的性质定理可得，
所以四边形是平行四边形，，由可得答案；
选①F是AB的中点，③平面PFD为已知条件，证明 ②E是PC的中点；
取的中点，连接，得四边形是平行四边形，，
由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质定理可得答案.
（2）取的中点，连接，可得，由平面平面ABCD，可得平面，以为原点，分别以所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量求法可得答案.
（1）
选①F是AB的中点，②E是PC的中点为已知条件，证明③平面PFD，
取的中点，连接，
所以，，
，所以四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，所以平面PFD.

选②E是PC的中点，③平面PFD为已知条件，证明 ①F是AB的中点，
取的中点，连接，
所以，因为，所以，
即平面平面，
因为平面PFD，所以，
所以四边形是平行四边形，，
因为，所以
即F是AB的中点.

选①F是AB的中点，③平面PFD为已知条件，证明 ②E是PC的中点，

取的中点，连接，
所以，
四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，所以平面PFD，
因为平面PFD，，所以平面平面，
平面，所以平面，
平面平面，所以，
因为是的中点，所以E是PC的中点.
（2）

取的中点，连接，
因为底面为菱形，，所以，
是边长为2的等边三角形，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，
所以平面，以为原点，
分别以所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
所以，，，，
，，，
设平面的法向量为，
所以，即，令，则，
所以，
设PB与平面PDC所成角的为，
所以.
所以PB与平面PDC所成角的正弦值为.
28．(1)0.4
(2)
(3)丙

【分析】(1)    由频率估计概率即可
(2)    求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3)    计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
（1）
由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）
设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，

，

，
.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P





∴
（3）
丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.

29．（1）老年人更倾向于选择报团游；（2）分布列见解析，；（3）建议他选择报团游．
【分析】（1）分别计算三种人群的频率，进行比较即可；
（2）根据题意，列出的可能取值，分别求概率，写出分布列；
（3）计算两种旅游方式的满意度，得到结论.
【详解】解：（1）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为
，，，
因为，所以老年人更倾向于选择报团游；
（2）由题意可得，的可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列为：

0
1
2





所以；
（3）由上表可知，报团游的满意率为，
自助游的满意率为，
因为，故建议他选择报团游．
【点睛】（1）在实际问题中，通常用频率估计概率；、
（2）求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：
①明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
②利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；
③按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.
30．（1）；（2）①元；②裁员前期望值为1000元，裁员后期望值为元，不利.
【分析】（1）由频率估计概率即可；
（2）①利用平均数公式直接求解即可；②根据题意及（）（），揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元），然后分别求出裁员前后公司每日利润的数学期望比较即可
【详解】（）样本包裹件数在之间的天数为，频率，
显然未来天中，包裹件数在之间的概率为
（）（）样本中快递费用及包裹件数如下表：
包裹重量（单位：）





快递费（单位：元）





包裹件数






故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元），
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元
（）根据题意及（）（），揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元），
将题目中的天数转化为频率，得
包裹件数范围





包裹件数近似





天数





频率






若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数近似





实际揽件数





频率








故公司平均每日利润的期望值为（元）；
若裁员人，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数近似





实际揽件数





频率








故公司平均每日利润的期望值为（元）
因，故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利.
31．（1）；（2）分布列见解析；期望为；（3）．
【分析】（1）由表中的数据可知成绩在80分以上的有15人，其中男生10人，女生5人，先求出从15人抽2人的方法数，再求出这2人恰好男、女生各1名，且分数段不同的方法数，然后利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）先求出从25名男生中抽取1人成绩在80分以上的频率，从而可得从全校男生抽取1人成绩在80分以上的概率，由题意可得可取，且，然后利用二项分布的概率公式可求出分布列，进而可求出数学期望；
（3）通过方差的意义分析即可
【详解】解：（1）设“从大赛成绩在以上的人中随机取出2人，恰好男、女生各1名，且所在分数段不同”为事件A，
由表格可得：随机抽取的50名学生中，成绩在80分以上的男生人数是10人，女生5人，共15人，即从15名学生中随机抽取2人，所以样本空间；如果这2人恰好男、女生各1名，且分数段不同，即．所以事件A包含21个样本点，因此．
（2）由数据可知，从抽取的25名男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80分以上的概率为．即从该校参加活动的男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80分以上的概率为，
因此从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，这3人中大赛成绩在以上的人数可取，且．
，，
，．
所以随机变量的分布列

0
1
2
3






数学期望
或者，所以．
（3）
（由题意可得，由于方差是衡量一组数据的离散程度，当数据越集中，方差越小，所以时，数据更集中，方差最小）
32．(1)
(2)分布列见解析，
(3)3900张

【分析】（1）求出调查的100位老年人中年龄在且未使用过打车软件的人数，再利用频率估计概率，即可估计该老年人的年龄在且未使用过打车软件的概率；
（2）求出X的所有可能取值，并分别求出X取每个值时对应的概率，即可写出X的分布列，然后利用定义或超几何分布的期望公式得其数学期望；
（3）先求出随机抽取的100位老年人中使用过打车软件的人数，即可估计该公司至少应准备代金券的数量．
（1）
在随机抽取的100位老年人中，年龄在且未使用过打车软件的人数为，
所以随机抽取的这1位老年人的年龄在且未使用过打车软件的概率．
（2）
由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，
且，
，
．
所以X的分布列为
X
0
1
2
P




故X的数学期望．
（3）
在随机抽取的100位老年人中，使用过打车软件的共有（人），
所以估计该公司至少应准备张代金券．
33．；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200
【解析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；
（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．
【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，
,
,
.
所以的分布列为

1
2
3





所以的数学期望为.
（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，
使用自由购的共有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.
【点睛】本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题．
34．（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）该企业职工使用APP的情况与官方发布的男､女用户情况更相符
【解析】（1）根据题中数据，用频率估计概率，即可求出；
（2）先确定的取值，再计算出对应的概率，即求出的分布列及数学期望；
（3）分别计算出款，款APP的男､女用户总人数，再计算对应的男用户，女用户的概率，再根据题意判断即可.
【详解】解：（1）由所给数据可知，男职工使用A款APP的人数为72，
用频率估计概率，可得男职工使用京东APP的概率约为，
同理，女职工使用A款APP的概率约为；
（2）的可能取值为0，1，2，
；
；
.
的分布列为：

0
1
2





的数学期望；
（3）样本中，款APP的男､女用户为(人)，
其中男用户占%；女用户占%，
样本中，款APP的男､女用户为(人)，
其中男用户占%；女用户占%，
该企业职工使用APP的情况与官方发布的男､女用户情况更相符.
【点睛】思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
35．（1） ；（2）分布列见详解，数学期望为；（3）；
【分析】（1）首先根据题目数据求得市民赞成“楼市限购令”的频率，再估计得到市民赞成“楼市限购令”的概率；（2）根据题意得到，依次写出每个取值的概率，最后写出分布列即可；（3）根据题意判断即可；
【详解】（1）由数据可知，在抽调的5000名市民中，
有名，
由频率估计为概率，所以从抽调的5000名市民中随机选取一名市民，
该市民赞成“楼市限购令”的概率为，
（2）由（1）知，市民赞成“楼市限购令”的概率为，
记赞成“楼市限购令”的人数为X，则，
则X的可能取值为0,1,2，
那么，
，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P




则.
（3）由题意得：因为，，
.
【点睛】本题主要考查二项分布的分布列，在求解过程中要明确两个值，一是独立重复试验的次数，二是每次试验成功的概率，搞清楚这两个值就可以解决本类问题.
36．(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望为
(3)不正确

【分析】（1）由表可知，样本中物理成绩等级为的人数为，在该群体中化学成绩等级为的人数为110，即可估计该生的化学成绩等级为的概率；
（2）从该区高三年级同时选考物理､化学的学生随机选取一名，物理､化学成绩等级均为的概率估计为，可知随机变量的取值范围，分别求出相应概率即可得到分布列及其数学期望；
（3）假设排名前的成绩均为分，排名后的成绩均为分，即可判断.
（1）
设事件为“该生物理成绩等级为的情况下，化学成绩等级为”，
样本中物理成绩等级为的人数为，在该群体中化学成绩等级为的人数为110，所以频率为，由样本估计总体可得，
故该生物理成绩等级为，估计该生化学成绩等级为的概率为.
（2）
从该区高三年级同时选考物理､化学的学生随机选取一名，物理､化学成绩等级均为的概率估计为.
由题意随机变量的取值范围是



则的分布列：

0
1
2






（3）
不正确；
举例：，排名前的成绩均为分，方差为，排名后的成绩均为分，方差为，显然，所以，，故同时大于和.
【点睛】（1）概率统计问题关键在于审题，建议大家在考试过程中审题不少于两遍，同时把重要信息标注出来，这样不容易丢掉关键信息；
（2）分布列问题类型判断是关键，建议结合做过的典型问题放在一起对比感悟；
（3）第三问这种问题是北京命题特色，围绕一些概念深入考查，具有较高的区分度，建议把一些典型的第三问加以整理并思考命题的逻辑.
37．(1)男生红绿色盲的发病率为，女生红绿色盲的发病率
(2)的分布列见解析，数学期望为
(3)

【分析】（1）根据表中的数据计算即可，
（2）由表中的数据可知，已调查的学生中，有5人患红绿色盲，其中男生4人，女生1人，
所以可能取1，2，然后求出各自对应的概率，从而可得分布和数学期望，
（3）根据表中的数据结合所给公式计算，然后进行比较
（1）
设该校男生红绿色盲为事件，女生红绿色盲为事件，
则
（2）
由表中的数据可知，已调查的学生中，有5人患红绿色盲，其中男生4人，女生1人，
所以可能取1，2，则
,
,
所以的分布列为

1
2




所以
（3）
由题意得，
，
所以
38．(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：1
(3)

【分析】（1）用频率估计概率即可；
（2）服从二项分布，分别计算概率，列出分布列计算期望
（3）根据两点分布方差公式可得答案.
（1）
设选取的乘客在积水潭站上车､在牛街站下车为事件，
由已知，在积水潭站上车的乘客有人，其中在牛街站下车的乘客有人，
所以.
（2）
由题意可知，
；
；
；
.
随机变量的分布列为











所以随机变量的数学期望为
.
（3）
.
（两点分布：）
39．(1)0.9
(2)分布列见详解，
(3)当该纪念品的销售价格定为110元时， 达到最大值．

【分析】（1）由调查表直接可得；
（2）由二项分布计算概率得分布列，由二项分布的期望公式得期望；
（3）利用二项分布的期望公式求出时的期望，比较得最大值．
（1）
时，消费者购买该纪念品的概率
（2）
由题意，，，
，同理，，，，
的分布列为：

0
1
2
3
4







.
（3）
由（2）知时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
时，（时等号成立），
，因此最大，此时．
所以当该纪念品的销售价格定为110元时，Y的数学期望达到最大值．
40．(1)0.4；
(2)分布列见解析，1.2；
(3)186元，理由见解析.

【分析】（1）根据频率分布直方图求出骑手的人均日快递业务量不少于65单的频率即可估计作答.
（2）求出的可能值，再求出各个值对应的概率并求出期望作答.
（3）利用频率分布直方图求出骑手每天送单的平均数即可计算作答.
（1）
由频率分布直方图知，该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的频率为：，
所以，随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率为0.4.
（2）
的可能值为0，1，2，3，依题意，，，
，，
，，
所以的分布列为：

0
1
2
3

0.216
0.432
0.288
0.064

期望.
（3）
由频率分布直方图知，骑手每天送单的平均数为：，
因骑手每送1单可以提成3元，则骑手每天的收入的期望为（元）.