2020-2021学年江苏省南京师大附中高二（下）期中数学试卷（a卷）

这是一份2020-2021学年江苏省南京师大附中高二（下）期中数学试卷（a卷），共21页。试卷主要包含了，则，若，则的值为，设随机变量，若，则，今天是星期四，经过天后是星期，之间有如下数据，，则不等式的解集为，下列命题中正确的有等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省南京师大附中高二（下）期中数学试卷（A卷）
一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．）
1．（5分）若复数满足（其中是虚数单位），则　　
A．1 B．2 C．5 D．
2．（5分）若，则的值为　　
A．1 B．3 C．6 D．9
3．（5分）“”高考方案中，“3”是指统一高考的语文、数学、外语3门科目，其中外语可以从英语、日语、法语、西班牙语、德语、俄语中任选一门参加高考，“1”是指考生在物理、历史两门选择性考试科目中所选择的一门科目，“2”是指在思想政治、地理、化学、生物4门选择性科目中所选择的2门科目．则每一名学生参加高考的科目选择方法数共有　　种
A．72 B．80 C．12 D．84
4．（5分）设随机变量，若，则　　
A． B． C． D．1
5．（5分）今天是星期四，经过天后是星期　　
A．三 B．四 C．五 D．六
6．（5分）已知函数在处取得极大值10，则的值为　　
A． B． C．或 D．不存在
7．（5分）已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用（单位：千元）之间有如下数据：
使用年限单位：年）
2
4
5
6
8
维护费用（单位：千元）
3
4.5
6.5
7.5
9
与之间具有线性相关关系，且关于的线性回归方程为．据此估计，当使用年限为7年时，维护费用约为　　千元．
附：线性回归方程中的系数，．
A．4 B．5 C．8.2 D．8.3
8．（5分）定义在上的函数的导函数为，若，（2），则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．）
9．（5分）下列命题中正确的有　　
A．若复数，则的虚部为
B．若为复数，则
C．若复数，则在复平面内对应的点在第四象限
D．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．（5分）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是　　
A．二项展开式中各项系数之和为
B．二项展开式中二项式系数最大的项为第4项
C．二项展开式中无常数项
D．二项展开式中系数最大的项为
11．（5分）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布，和，，则下列选项正确的是　　
附：若随机变量服从正态分布，则．
A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为0.3413
12．（5分）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值可以是　　
A．0 B． C． D．
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）
13．（5分）从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为　　；
14．（5分）函数的单调增区间是　　．
15．（5分）已知随机变量满足，0，，其中，．若，则　　．
16．（5分），是集合，2，3，的非空子集，则满足的有序集合对共有　　个．
四．解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知：复数与在复平面上所对应的点关于轴对称，且为虚数单位），．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若的虚部大于零，且，求，的值．
18．（12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．

满意
不满意
总计
男生
30


女生

15

合计


120
（1）完成以上列联表，并通过计算（结果精确到说明，能否有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为．求出的分布列及期望值．
附公式及表：，其中．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．（12分）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当，求函数在区间，上的最小值．
20．（12分）（1）证明：，，；
（2）运用第（1）的结论，若．求展开式中的常数项．
21．（12分）2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立．
（1）求该学生进入省队的概率．
（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为，求的分布列及的数学期望．
22．（12分）已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）若对任意，恒成立，求整数的最小值．

2020-2021学年江苏省南京师大附中高二（下）期中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．）
1．（5分）若复数满足（其中是虚数单位），则　　
A．1 B．2 C．5 D．
【分析】根据复数模长的计算公式，直接对求模长即可．
【解答】解：复数满足，
则，
即，
所以，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了复数的模长计算问题，是基础题．
2．（5分）若，则的值为　　
A．1 B．3 C．6 D．9
【分析】利用组合数公式的性质求解即可．
【解答】解：，
可得，
解得，
故选：．
【点评】本题考查组合数公式以及组合数的性质的应用，是基础题．
3．（5分）“”高考方案中，“3”是指统一高考的语文、数学、外语3门科目，其中外语可以从英语、日语、法语、西班牙语、德语、俄语中任选一门参加高考，“1”是指考生在物理、历史两门选择性考试科目中所选择的一门科目，“2”是指在思想政治、地理、化学、生物4门选择性科目中所选择的2门科目．则每一名学生参加高考的科目选择方法数共有　　种
A．72 B．80 C．12 D．84
【分析】根据题意，依次分析考生在必考科目、物理、历史两门选择性考试科目以及4门选择性科目中的选择方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，考生必考语文、数学、外语3门科目，其中外语可以从英语、日语、法语、西班牙语、德语、俄语中任选一门参加高考，有6种选法，
在物理、历史两门选择性考试科目中所选择的一门科目，有2种选法，
在思想政治、地理、化学、生物4门选择性科目中所选择的2门科目，有种选法，
则有种选法；
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
4．（5分）设随机变量，若，则　　
A． B． C． D．1
【分析】由随机变量，，列出方程，解得，由此能求出．
【解答】解：随机变量，，
，
解得，
．
故选：．
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5．（5分）今天是星期四，经过天后是星期　　
A．三 B．四 C．五 D．六
【分析】求出二项式定理的通项公式，得到除以7余数是1，然后利用周期性进行计算即可．
【解答】解：一个星期的周期是7，
则，
即除以7余数是1，
即今天是星期四，经过天后是星期五，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求出除以7得到的余数是解决本题的关键，是中档题．
6．（5分）已知函数在处取得极大值10，则的值为　　
A． B． C．或 D．不存在
【分析】由于，依题意知，（1），（1），于是有，代入（1）即可求得，，从而可得答案．
【解答】解：，
，
又在处取得极大值10，
（1），（1），
，
，或，．
当，时，，
当时，，当时，，
在处取得极小值，与题意不符；
当，时，
当时，，当时，，
在处取得极大值，符合题意；
．
故选：．
【点评】本题考查函数在某点取得极值的条件，求得，利用（1），（1）求得，是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．
7．（5分）已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用（单位：千元）之间有如下数据：
使用年限单位：年）
2
4
5
6
8
维护费用（单位：千元）
3
4.5
6.5
7.5
9
与之间具有线性相关关系，且关于的线性回归方程为．据此估计，当使用年限为7年时，维护费用约为　　千元．
附：线性回归方程中的系数，．
A．4 B．5 C．8.2 D．8.3
【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，然后求解，代入，求解维护费用．
【解答】解：由题意，，，
因为回归直线经过样本中心，所以，解得，
．
当使用年限为7年时，维护费用约为千元．
故选：．
【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，是基础题．
8．（5分）定义在上的函数的导函数为，若，（2），则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【分析】构造函数，通过，判断在上单调递增．然后转化所求不等式，求解即可．
【解答】解：令，则，所以在上单调递增，
因为（2），所以不等式，
可变形得，即（2），所以，解得，
故选：．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．）
9．（5分）下列命题中正确的有　　
A．若复数，则的虚部为
B．若为复数，则
C．若复数，则在复平面内对应的点在第四象限
D．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
【分析】由复数的基本概念判断；举例说明错误；求出复数的坐标判断；再由复数模的几何意义判断．
【解答】解：若复数，则的虚部为，故正确；
若为复数，则，错误，如，则，，故错误；
若复数，则在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故正确；
若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线，故正确．
故选：．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．
10．（5分）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是　　
A．二项展开式中各项系数之和为
B．二项展开式中二项式系数最大的项为第4项
C．二项展开式中无常数项
D．二项展开式中系数最大的项为
【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：的二项展开式中二项式系数之和为，．
故令，可得 二项展开式中各项系数之和为，故正确；
由题意，当时，二项式系数最大，即二项展开式中二项式系数最大的项为第4项，故正确；
由于的二项展开式的通项公式为，令，求得，
故展开式中第5项为常数项，故错误；
由于的二项展开式的通项公式为，故该项的系数为，，1，2，3，4，5，6．
检验可得，当时，该项为，故错误，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
11．（5分）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布，和，，则下列选项正确的是　　
附：若随机变量服从正态分布，则．
A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为0.3413
【分析】由已知结合原则求得，判断正确；比较方差的大小判断正确，错误；再由原则求得白玫瑰日销售量范围在的概率判断正确．
【解答】解：若红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，则，即．
红玫瑰日销售量的平均数约为250，故正确；
红玫瑰日销售量的方差，白玫瑰日销售量的方差，
红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故正确，错误；
白玫瑰日销售量范围在的概率，故正确．
故选：．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
12．（5分）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值可以是　　
A．0 B． C． D．
【分析】可设出切点坐标，，求得的导数，可得切线的斜率和方程，代入，整理可得，再借助函数的导数判断单调性与极值，确定其有三个解的条件即可．
【解答】解：的导数为，
设切点为，，
可得切线的斜率为，
切线的方程为，即，
代入，可得，
化简整理可得，
过点可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，下研究方程解有三个时参数所满足的条件．
设，则，
由，得或，
由在，上单调递增，在，上单调递减．
可得的极大值点为，极小值点为1，
则关于方程有三个实根的充要条件是，
即为，
解得，
故选：．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值，考查转化思想和方程思想，以及运算能力和推理能力，属于中档题．
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）
13．（5分）从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为　　；
【分析】记“抽出2张，第一张为奇数”为事件，记“抽出2张，第2张为偶数”为事件，计算和（A）后代入条件概率公式求解可得．
【解答】解：记“抽出2张，第一张为奇数”为事件，记“抽出2张，第2张为偶数”为事件，
则，（A），
则．
故答案为：．
【点评】本题考查了条件概率与独立事件，属中档题．
14．（5分）函数的单调增区间是　　．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．
【解答】解：，
，
令，解得：，
故在递增，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是基础题．
15．（5分）已知随机变量满足，0，，其中，．若，则　　．
【分析】根据分布列的性质以及期望求出，的值，由此即可求出方差．
【解答】解：由已知可得：，，，
则，即，
又，所以，
所以的分布列如下：


0
1




所以，
故答案为：．
【点评】本题考查了随机变量的分布列的性质以及求解方差的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．
16．（5分），是集合，2，3，的非空子集，则满足的有序集合对共有　50　个．
【分析】对集合、含元素情况进行分类讨论即可解决此题．
【解答】解：当集合中含1个元素时，满足的有序集合对共有个；
当集合中含2个元素时，满足的有序集合对共有个；
当集合中含3个元素时，满足的有序集合对共有个；
共有个．
故答案为：50．
【点评】本题考查集合、组合、分类讨论思想，考查数学运算能力及数据分析能力，属于中档题．
四．解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知：复数与在复平面上所对应的点关于轴对称，且为虚数单位），．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若的虚部大于零，且，求，的值．
【分析】（Ⅰ）设，则，由题意列方程组求得，的值，则答案可求；
（Ⅱ）求得，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简化简，再由复数相等的条件求解．
【解答】解：（Ⅰ）设，则，
，，
，解得或，
即或；
（Ⅱ）的虚部大于零，，则，
则有，
，解得．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
18．（12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．

满意
不满意
总计
男生
30


女生

15

合计


120
（1）完成以上列联表，并通过计算（结果精确到说明，能否有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为．求出的分布列及期望值．
附公式及表：，其中．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）根据分层抽样方法求出男生、女生人数，填写列联表，计算，对照附表得出结论；
（2）由题意知的可能取值，计算所求的概率值，写出分布列，计算数学期望值．
【解答】解：（1）120名学生中男生有（人，女生有65人，
结合题意填写列联表如下：

满意
不满意
总计
男生
30
25
55
女生
50
15
65
合计
80
40
120
计算，且，
所以有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
（2）利用分层抽样抽取8名学生，男生有3人，女生5人，
从这8名学生中抽取3名，抽取男生的个数的可能取值为0，1，2，3；
计算，，，；
所以的分布列为：

0
1
2
3





的数学期望值为．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题．
19．（12分）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当，求函数在区间，上的最小值．
【分析】（1），时，，令，解得．进而得出函数的单调性．
（2）当，令，解得．可得函数在上单调递减，在上单调递增．对分类讨论，进而得出函数在区间，上的单调性极值与最小值．
【解答】解：（1），
时，，
令，解得．
，；，．
可得函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）当，令，解得．
可得函数在上单调递减，在上单调递增．
①，即时，函数在，上单调递减，因此时，函数取得最小值，（2）．
②，即时，函数在，上单调递增，因此时，函数取得最小值，（1）．
③，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增．
因此时，函数取得极小值即最小值，．
综上可得：①，即时，时，函数取得最小值，（2）．
②，即时，时，函数取得最小值，（1）．
③，即时，时，函数取得极小值即最小值，．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）（1）证明：，，；
（2）运用第（1）的结论，若．求展开式中的常数项．
【分析】（1）利用组合数公式可证明．
（2）利用（1）的结论可解决此问题．
【解答】解：（1）证明：
，，；
（2）由（1）知：
，解得：．
为，通项为：，
当，即时，常数项为．
【点评】本题考查二项式定理、组合数、转化思想、方程思想，考查数学运算能力及推理能力．
21．（12分）2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立．
（1）求该学生进入省队的概率．
（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为，求的分布列及的数学期望．
【分析】（1）记“该生进入省队”的事件为事件，其对立事件为，然后求解概率即可．
（2）该生参加测试次数的可能取值为2，3，4，5，求出取每个值的概率，即得的分布列，由分布列求变量数学期望 的值．
【解答】解：（1）记“该生进入省队”的事件为事件，其对立事件为，则．
．
（2）该生参加竞赛次数的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
．
故的分布列为：

2
3
4
5





．
【点评】本题考查用间接解法求独立事件的概率减去其对立事件的概率），以及球离散型随机变量的分布列、数学期望的方法．
22．（12分）已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）若对任意，恒成立，求整数的最小值．
【分析】（1）当时，，对求导，分析导数的正负，的单调性，进而得出极值．
（2）根据题意问题可以转化为在上恒成立．设，对求导，分析的正负，的单调性，只需推出即可．
【解答】解：（1）当时，，．
当时，，则在上单调递增；
当时，，
，则在上单调递减．
所以在时取得极大值且极大值为，无极小值．
（2）因为对任意，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
设，则．
设，
显然在上单调递减，
因为（1），，
所以，使得，即．
当时，；
当，时，．
所以在上单调递增，在，上单调递减，
所以．
因为，所以，
故整数的最小值为1．
【点评】本题考查导数的综合应用，恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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日期：2021/12/1 16:04:55；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394