2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知、、是平面上三点，直线上有一点满足，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知正方形的边长为3，　　

A．3 B． C．6 D．

3．（5分）已知平面向量，，若，则等于　　

A． B． C．8 D．

4．（5分）已知，且，则等于　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知，，那么的值为　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，　　

A． B． C． D．

7．（5分）中若有，则的形状一定是　　

A．等腰三角形 B．直角三角形 

C．锐角三角形 D．等腰直角三角形

8．（5分）如图，在平行四边形中，，为的中点，为上的一点，且，则实数的值为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分.

9．（5分）已知复数，在复平面内对应的点在直线上，且满足是纯虚数，则　　

A． B． C．的虚部为 D．的虚部为2

10．（5分）下列四个等式其中正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

11．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是　　

A．若，，，则符合条件的三角形不存在 

B．若，则为直角三角形 

C．若，则 

D．若，则

12．（5分）已知，则下列说法正确的是　　

A．若的最小正周期为，则 

B．若在内无零点，则 

C．若在内单调，则 

D．若时，直线是函数图象的一条对称轴

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是　　．

14．（5分）　　．

15．（5分）如图所示，位于处的信息中心获悉，在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则　　海里，　　．

16．（5分）对于集合，，，，和常数，定义：为集合，，，，相对的“余弦方差”．集合相对常数的“余弦方差”是一个常数，则　　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17．（10分）在平面四边形中，，，，．

（1）求；

（2）若，求．

18．（12分）已知平面向量．

（1）若，且，求的坐标；

（2）当为何值时，与垂直；

（3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

19．（12分）已知向量，，且．

（1）求的值；

（2）若，，且，求的值．

20．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．

（1）求的值；

（2）求的值．

21．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知．

（1）求角的大小；

（2）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围．

22．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知．

（1）求的值；

（2）求的最大值．

2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【分析】根据向量减法的几何意义和向量的数乘运算即可由得出，然后即可用表示出向量．

【解答】解：，

．

故选：．

2．【分析】直接根据向量的三角形法则把所求问题转化即可求解结论．

【解答】解：如图；

因为正方形的边长为3，，

则．

故选：．

3．【分析】先由向量的坐标求出向量的坐标，再根据求模公式即可得解

【解答】解：向量，

，，，

故选：．

4．【分析】由可求，然后结合二倍角公式可求．

【解答】解：因为，

则．

故选：．

5．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得、、、 的值，可得的值．

【解答】解：，，，，，

，，，

，

故选：．

6．【分析】首先利用差角公式的应用和对数的运算的应用求出的值，进一步利用三角函数关系的运算的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．

【解答】解：已知，所以，

所以，

解得或（舍去）．

则，

由于，，所以．

则当，即时，函数取得最大值．

故选：．

7．【分析】利用积化和差将等式变形，转化方向是变成简单的三角方程求角的值，通过角的值来确定的形状．

【解答】证明：在中，

，即，

是直角三角形．

故选：．

8．【分析】可根据条件得出，并可设，然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出即可．

【解答】解：，为的中点，

，，

设，

又，

，解得．

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分.

9．【分析】设，代入，整理后由实部为0且虚部不为0列式求得，然后逐一核对四个选项得答案．

【解答】解：设，

，，

则，

由题意，，解得．

，故错误，正确；

的虚部为，故正确，错误．

故选：．

10．【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可．

【解答】解：对①：，故，故正确；

对②：，故，故错误；

对③：，故错误；

对④：，故正确．

故选：．

11．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形的解的情况的应用判断、、、的结论．

【解答】解：对于：由于，，，则利用正弦定理：，解得，与三角函数的值的范围矛盾，故该三角形不存在，故正确；

对于：若，利用正弦定理：，故，由于，故，所以，故为直角三角形，故正确；

对于：当时，，故错误；

对于：由于，所以，整理得，

故，整理得，

所以，故正确；

故选：．

12．【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质，单调性，周期性和对称性的应用判定、、、的结论．

【解答】解：函数，

对于：当时，的最小正周期为，由于函数的周期减半，则最小正周期为，故错误；

对于：令，，由于，所以，

由于在内无零点，是的零点，

所以，

故，故正确；

对于：由于在上单调递增，所以，

所以，故正确；

对于：当时，函数，故直线是函数的一条对称轴，故正确．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．【分析】直接由向量的加减运算求得对应的复数．

【解答】解：对应的复数是，对应的复数是，

．

故答案为：．

14．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和赋值法的应用求出结果．

【解答】解：设，

，

所以，①，

，②，

①②得：．

故答案为：．

15．【分析】利用余弦定理求出的值，利用正弦定理求出的正弦值，再求出余弦值，利用求出的值．

【解答】解：如图所示，在中，，，，

由余弦定理得，，

解得，

正弦定理得，

所以，

由知为锐角，

所以．

所以．

故答案为：，．

16．【分析】由新定义结合三角函数公式分别计算可得．

【解答】解：集合相对常数的“余弦方差”是一个常数，

可得

．

所以此时“余弦方差”是一个常数，且常数为．

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17．【分析】（1）由正弦定理得，求出，由此能求出；

（2）由，得，再由，利用余弦定理能求出．

【解答】解：（1），，，．

由正弦定理得：，即，

，

，，

．

（2），，

，

．

18．【分析】由题意利用两个向量平行、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果．

【解答】解：（1）平面向量，

，，

由，，

当时，的坐标为；当时，的坐标为．

（2）由于与垂直，，，

，，，

．

（3）与的夹角为锐角，，

且与不平行，

，且，

解得且．

19．【分析】（1）由已知结合向量平行的坐标表示及和差角公式及同角平方关系即可求解，

（2）由已知结合同角基本关系可求，然后结合两角和的正切公式可求，进而可求．

【解答】解：（1）因为，

所以，

所以，

所以，即．

（2）因为，，

所以，

因为，

所以，

所以，

因为，

所以，

因为，且，

所以，

因为，所以．

因为，所以．

20．【分析】（1）由正弦定理得，结合，得．再由，得，代入余弦定理的推论可求的值；

（2）由（1）可得，代入，得，进一步求得．利用倍角公式求，，展开两角差的正弦可得的值．

【解答】解：（1）由，得，

又，得，

两式作比得：，

所以．

由，得，

由余弦定理，得；

（2）由（1），可得，代入，得．

由（Ⅰ）知，为钝角，则为锐角，

所以，

于是，，

故．

21．【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出的值；

（2）利用正弦定理和三角形的面积公式及锐角三角形的角的取值范围求出结果．

【解答】解：（1）已知，

利用正弦定理整理得：，

所以，

化简得：，

由于，

所以，

整理得，

所以．

（2）由正弦定理得：，且，

故，

整理得，

所以，

由于是锐角三角形，

故，解得，

故，

则，

故，

则．

22．【分析】（1）直接利用三角函数的诱导公式的应用和和角展开式的应用求出结果；

（2）利用同角三角函数关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．

【解答】解：（1）在中，角，，所对的边分别为，，．已知．

整理得，

所以两边同除以，

所以．

（2），

，

由于，

所以，

令，

则，

，

所以．

当且仅当时，等号成立，

故最大值为．

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日期：2022/3/11 19:08:07；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367