2020-2021学年江苏省南京一中高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南京一中高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本题有8小题，每小题给出的四个选项中只有一项符合题意，请将它选出来填在答题纸对应位置。每小题5分，计40分）

1．（5分）复数的虚部为　　

A．2 B． C． D．

2．（5分）已知向量，，若，则实数　　

A．0 B． C．1 D．3

3．（5分）复数满足，则的值是　　

A． B．2 C．1 D．3

4．（5分）如图正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积　　

A． B．1 C． D．

5．（5分）若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为　　

A． B． C． D．

6．（5分）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么、两点间的距离是　　

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里

7．（5分）上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量春（秋分”，“夏（冬至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角．

由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：

根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是　　

A．公元前2000年到公元元年 

B．公元前4000年到公元前2000年 

C．公元前6000年到公元前4000年 

D．早于公元前6000年

8．（5分）在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，则面积的最大值为　　

A．1 B． C．2 D．4

二、多选题（本题有4小题，每小题给出的四个选项中有多个选项符合题意，请将它选出来填在答题纸对应位置。每小题5分，计20分）

9．（5分）下列关于直线，点、与平面的关系推理正确的是　　

A．，，， B．，，， 

C．， D．，

10．（5分）对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）在中，内角，，的对边分别为，，，面积为，则下列结论中正确的是　　

A．若是锐角三角形， 

B．若，则 

C．若，则 

D．若，则一定是等腰直角三角形

12．（5分）任何一个复数（其中，，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是　　

A． 

B．当，时， 

C．当，时， 

D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分.把答案填在答题纸相应的横线上）

13．（5分）若，那么　　．

14．（5分）已知复数满足，则的最大值为　　．

15．（5分）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则　　．

16．（5分）在平行四边形中，已知、分别是、上的点，且满足，．

（1）若，则的值为　　．

（2）若，，，则长为　　．

四.解答题（本题共6小题，其中17题10分，18-22题每题12分，共计70分.把答案填在答题纸相应答题区域，解答时请写出必要的文字说明、证明过程和重要的演算步骤）

17．（10分）已知复数，，其中是实数，

（1）若在复平面内表示复数的点位于第一象限，求的范围；

（2）若是纯虚数，是正实数，

①求，

②求．

18．（12分）已知，，且，．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，___？

20．（12分）如图，在平面四边形中，，，．

（1）若，，求的长；

（2）若，，求的值．

21．（12分）如图，某景区是一个以为圆心，半径为的圆形区域，道路，成角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点，分别在和上，修建的木栈道与道路，围成的三角地块．（圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）

（1）当为正三角形时，求修建的木栈道与道路，围成的三角地块的面积；

（2）若面积，求木栈道长；

（3）如图2，若景区中心与木栈道段连线的．

①将木栈道的长度表示为的函数，并指定定义域；

②求出木栈道的最小值．

22．（12分）已知向量，，，，函数，，，．

（1）当时，求的值；

（2）若的最小值为，求实数的值；

（3）是否存在实数，使函数，，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

2020-2021学年江苏省南京一中高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（本题有8小题，每小题给出的四个选项中只有一项符合题意，请将它选出来填在答题纸对应位置。每小题5分，计40分）

1．【分析】利用复数的运算法则即可得出．

【解答】解：因为复数，

所以复数的虚部为．

故选：．

2．【分析】根据题意，求出的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系可得，解可得的值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，向量，，则，

若，则，

则，

故选：．

3．【分析】先对已知复数进行化简，然后结合复数的模长公式即可求解．

【解答】解：因为，

所以，

故．

故选：．

4．【分析】由题意求出直观图中的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．

【解答】解：由题意正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，

所以，对应原图形平行四边形的高为：，

所以原图形的面积为：．

故选：．

5．【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出向量与的夹角．

【解答】解：两个向量，的夹角是，是单位向量，，．

，．

．

设向量与的夹角为，，，

则，，

故选：．

6．【分析】根据题意画出图形确定、的值，求出的值，根据正弦定理求得的值．

【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；

由已知得，，，，

所以．

在中，由正弦定理得，

即，，

所以、两点间的距离是海里．

故选：．

7．【分析】本题先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．

【解答】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为，春秋分日光与垂直线夹角为，

则即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，

将图3近似画出如下平面几何图形：

则，，

．

，

估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．

故选：．

8．【分析】中，，利用余弦定理可得：．结合，，都用表示，利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值．

【解答】解：中，，

，化为：．

，，．

，当且仅当，，时取等号．

．

．

则面积的最大值．

故选：．

二、多选题（本题有4小题，每小题给出的四个选项中有多个选项符合题意，请将它选出来填在答题纸对应位置。每小题5分，计20分）

9．【分析】直接利用点、直线、平面的定义和性质的应用判定、、、的结论．

【解答】解：对于：由于，，则，

由于，，则，故，故正确；

对于：由于，，则，由于，，则，即，故正确；

对于：当直线和平面相交，且只有一个交点，即点，故，故错误；

对于，，故正确；

故选：．

10．【分析】利用两角和的正弦与余弦及正弦与余弦函数的性质，对、、、四个选项逐一分析判断即可．

【解答】解：，为锐角，、、、均为正数，

，故正确；同理，，故不正确；

当，接近0时，可知接近1，接近0，故选项错误，

，

因为，都是锐角，

所以，

所以，

所以，即，故正确．

故选：．

11．【分析】由已知结合锐角三角及正弦函数性质可检验选项；由正弦定理及二倍角公式可检验；举反例可检验选项；结合余弦定理及正弦函数性质可检验．

【解答】解：若是锐角三角形，则，

同理，，

所以，正确；

若，由正弦定理得，正确；

时也成立，错误；

若，则或或，则是等腰或直角三角形，错误．

故选：．

12．【分析】直接利用棣莫弗定理结合三角函数值的求法逐一核对四个选项得答案．

【解答】解：，，

则，，，故正确；

当，时，，，故错误；

当，时，，则，故正确；

当，时，，取，则，故错误．

故选：．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分.把答案填在答题纸相应的横线上）

13．【分析】由，能求出结果．

【解答】解：，

．

故答案为：．

14．【分析】利用复数的几何意义可得答案．

【解答】解：已知复数满足，

则，

故答案为：3．

15．【分析】先由余弦定理求出的值，结合正弦定理进行化简即可．

【解答】解：由

得，

则，

若，

则，

即，

得，得，

故答案为：4．

16．【分析】利用平面向量的基本定理，转化求解，，利用向量的模的运算法则化简求解即可．

【解答】解：，，

则，，

则，则，

．

故答案为：；．

四.解答题（本题共6小题，其中17题10分，18-22题每题12分，共计70分.把答案填在答题纸相应答题区域，解答时请写出必要的文字说明、证明过程和重要的演算步骤）

17．【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部均大于0求解；

（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，求得值，再由等比数列的前项和及虚数单位的性质求解．

【解答】解：（1）在复平面内表示的点位于第一象限，

，解得；

（2）依题意得：

是纯虚数，

，即，

解得（舍或，

当时，，

．

18．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，利用两角和与差的正弦公式，余弦公式化简已知等式可得，进而可求，利用二倍角公式即可求解．

（2）由同角三角函数基本关系式可求，的值，利用两角差的正切公式即可求解．

【解答】解：（1）因为，

所以，可得，

因为，可得，

所以，

所以，可得．

（2）由（1）可得，，

又，，

所以，，

所以，，

所以．

19．【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，

选①，结合辅助角公式可求，再由正弦定理可求；

②，结合二倍角公式及正弦定理可求；

③，结合余弦定理进行化简后结合二次方程根的存在条件进行判断．

【解答】解：因为，，

由正弦定理，得，

所以，

因为，

所以，，

选①，

所以，即，

由为三角形内角，得，

由正弦定理，得，

所以；

②，

则，

由正弦定理，得，

所以；

③，

由余弦定理，得，

整理，得，此方程无解．

20．【分析】（1）由已知可求在中，，可得，可求，在中，由余弦定理可得的值．

（2）设，则，，在中，由正弦定理可得，代入，可得：，结合为锐角，可求的值．

【解答】解：（1）因为，

在中，，

所以，

所以，

在中，由余弦定理可得，

所以．

（2）设，则，，

在中，由正弦定理可得，化简可得：，

代入，可得：，

又为锐角，所以，即．

21．【分析】（1）利用正内切圆的知识，求出边长，再求的面积；

（2）根据的面积公式，结合余弦定理，建立关于的方程，从而求出的值；

（3）设圆与、分别切于、，根据三角形全等与三角形的边角关系，求出的解析式；

①把的长度用的三角函数表示出来，结合题意写出的取值范围；

②化简函数，利用三角恒等变换和基本不等式求出的最小值．

【解答】解：（1）为正三角形时，，，

则，则，

所以的面积为；

（2）的面积为，

解得；

又，

所以，

所以，

所以，

所以；

由余弦定理得，

即，

所以；

所以，

解得；

（3）设圆与、分别切于、，则，，，

所以，，所以，，

由可得，由，可得，所以，

所以．

①将木栈道的长度表示为的函数，定义域；

②

，

当且仅当，即时等号成立，

所以木栈道的最小值是6．

22．【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可．

（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．

（3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．

【解答】解：（1），，，

当时，，

则；

（2），，

，

则，

令，则，

则，对称轴，

①当，即时，

当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍，

②当，即时，

当时，函数取得最小值此时最小值，得，

③当，即时，

当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍，

综上若的最小值为，则实数．

（3）令，得或，

方程或在，上有四个不同的实根，

则，得，则，

即实数的取值范围是．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2022/3/11 19:13:33；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367