2020-2021学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，则点到准线的距离为　　
A． B．1 C．2 D．4
2．（5分）已知向量，3，，，，，且，其中，，则　　
A．4 B． C．2 D．
3．（5分）若，则的值为　　
A．3 B． C． D．
4．（5分）在平面直角坐标系中，若椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
5．（5分）在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点，，圆经过，，且圆心在轴上，则圆的方程为　　
A． B．
C． D．
6．（5分）如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为　　

A． B． C． D．
7．（5分）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为　　

A． B． C． D．
8．（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点，在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分。
9．（5分）已知两个不重合的平面，及直线，下列说法正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
10．（5分）在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上．若△为直角三角形，则的长度可以为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（5分）如图，直线，相交于点，点是平面内的任意一点，若，分别表示点到，的距离，则称为点的“距离坐标”．下列说法正确的是　　

A．距离坐标为的点有1个
B．距离坐标为的点有2个
C．距离坐标为的点有4个
D．距离坐标为的点在一条直线上
12．（5分）20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点，14个面个正方形、八个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则　　

A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2
B．它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直
C．它的体积为
D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在平面直角坐标系中，已知直线和直线，，若与平行，则与之间的距离为　　．
14．（5分）在空间直角坐标系中，若三点，，，，，，，，满足：，则实数的值为　　．
15．（5分）词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，现有如图所示的“鳖臑”四面体，其中平面，，，则四面体的外接球的表面积为　　．

16．（5分）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系，根据图上尺寸，溢流孔所在抛物线的方程为　　，溢流孔与桥拱交点的横坐标为　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算骤.
17．（10分）在①；②；③的面积三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知的内角、、的对边分别为，，，______，是边上的一点，，且，，求线段的长．
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆，动圆与直线相切且与圆外切．
（1）记圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程；
（2）已知，曲线上一点满足，求的大小．
19．（12分）如图，在直三棱柱中，为中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，且，求三棱锥的体积．

20．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆，点，是直线与圆的两个公共点，点在圆上．
（1）若为正三角形，求直线的方程．
（2）若直线上存在点满足，求实数取值范围．
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）设二面角的大小为，若，求的值．

22．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点与上顶点的距离为，且经过点．
（1）求椭圆的方程．
（2）直线与椭圆相交于、两点，是的中点．若椭圆上存在点满足，求证：的面积为定值．


2020-2021学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，则点到准线的距离为　　
A． B．1 C．2 D．4
【分析】利用抛物线的标准方程可得，即可得点到准线的距离．
【解答】解：由抛物线可得．
焦点到准线的距离为．
焦点到准线的距离为1．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，属于基础题．
2．（5分）已知向量，3，，，，，且，其中，，则　　
A．4 B． C．2 D．
【分析】由，利用向量平行的性质列出方程，从而求出，，由此能求出．
【解答】解：向量，3，，，，，且，其中，，
，
解得，，
．
故选：．
【点评】本题考查实数值求和，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）若，则的值为　　
A．3 B． C． D．
【分析】首先利用三角函数的关系式的变换求出角的正切值，进一步利用和角的正切值的应用求出结果．
【解答】解：，
整理得．
所以．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：同角三角函数值的应用，和角的正切值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
4．（5分）在平面直角坐标系中，若椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
【分析】利用椭圆与双曲线有相同的焦点，列出方程求解，然后求解双曲线的渐近线方程即可．
【解答】解：椭圆与双曲线有相同的焦点，
可得：，解得，
所以双曲线，
即双曲线的渐近线为，
故选：．
【点评】本题主要考查双曲线渐近线的方程的求解，根据椭圆和双曲线焦点之间的关系求出是解决本题的关键．
5．（5分）在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点，，圆经过，，且圆心在轴上，则圆的方程为　　
A． B．
C． D．
【分析】先求得、的坐标，可得线段的中垂线与轴的交点的坐标，再根据为所求的圆的圆心，所求圆的半径为，从而得到所求的圆的标准方程．
【解答】解：直线与两坐标轴分别交于点，，
圆经过，，且圆心在轴上，
线段的斜率为，中点为，故线段的中垂线为，
线段的中垂线与轴的交点为所求的圆的圆心，半径，
故圆的方程为，即，
故选：．
【点评】本题主要考查直线的交点，圆的弦的性质，求圆的标准方程，属于中档题．
6．（5分）如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为　　

A． B． C． D．
【分析】如图所示，设椭圆的长轴为，短轴为，中心为点．圆柱的底面中心为，则，可得，，求出，然后求解结果．
【解答】解：如图所示，
设椭圆的长轴为，短轴为，中心为点．
圆柱的底面中心为，
则，
可得，
，
．
该椭圆的焦距为：．
故选：．

【点评】本题考查了二面角的平面角、圆柱的性质、椭圆的离心率、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为　　

A． B． C． D．
【分析】用表示出，计算，开方得出的长度．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，，，，
，，，，
，
，即．
故选：．

【点评】本题考查了空间向量在求空间距离中的应用，属于中档题．
8．（5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点，在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【分析】利用四边形为坐标原点）为菱形，结合双曲线的对称性，求出的坐标，代入双曲线方程然后求解离心率．
【解答】解：双曲线的左焦点为，点，在双曲线上，且四边形为菱形，
不妨在轴上方，可知，，代入双曲线方程可得：．
可得，，
可得．
可得．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，判断的位置是解题的关键，考查计算能力．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分。
9．（5分）已知两个不重合的平面，及直线，下列说法正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【分析】根据空间线面位置关系的定义、性质进行判断．
【解答】解：对于，若，，则或，故错误；
对于，若，，则，故正确；
对于，若，，则平面内存在直线，使得，
又，，故，故正确；
对于，若，，则或与相交，故错误．
故选：．
【点评】本题考查了空间线面位置关系判断，属于基础题．
10．（5分）在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上．若△为直角三角形，则的长度可以为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用已知条件判断三角形的直角顶点的位置，转化求解的长，判断选项即可．
【解答】解：椭圆，可得，，，焦点坐标，，
通径的一半为：，
因为△为直角三角形，所以为直角顶点时，在短轴端点，此时的长为2；
为直角顶点时，在轴左侧，此时的长为1；
为直角顶点时，在轴右侧，此时的长为3；
故选：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
11．（5分）如图，直线，相交于点，点是平面内的任意一点，若，分别表示点到，的距离，则称为点的“距离坐标”．下列说法正确的是　　

A．距离坐标为的点有1个
B．距离坐标为的点有2个
C．距离坐标为的点有4个
D．距离坐标为的点在一条直线上
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若距离坐标为，即到两条直线的距离都为0，为两直线的交点，即距离坐标为的点只有1个，正确，
对于，若距离坐标为，即到直线的距离为0，到直线的距离为1，在直线上，到直线的距离为1，符合条件的点有2个，正确，
对于，若距离坐标为，即到直线的距离为1，到直线的距离为2，有4个符合条件的点，即四个交点为与直线相距为1的两条平行线和与直线相距为1的两条平行线的交点，正确，
对于，若距离坐标为，即到两条直线的距离相等，则距离坐标为的点在2条相互垂直的直线上，错误，
故选：．
【点评】本题考查合情推理的应用，注意“距离坐标”的定义，属于基础题．
12．（5分）20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点，14个面个正方形、八个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则　　

A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2
B．它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直
C．它的体积为
D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等
【分析】根据立方八面体和正方体关系求出正方体的棱长，从而可判断，，利用平移计算不共面的棱所成角大小判断，计算相邻的面所成二面角大小判断．
【解答】解：由题意可知立方八面体的顶点为正方体的棱的中点，
故立方八面体的棱长为正方体相邻两条棱的中点连线，
故正方体的棱长为，
由对称性可知立方八面体的外接球球心为正方体的中心，外接球的直径为正方体的面对角线长2，故正确；
设，是立方八面体的两条不共面的棱，如图所示，
则，，而△是等边三角形，故与所成角为，故错误；
立方八面体的体积为，故正确；
设正方体底面中心为，连接交立方八面体的棱于，连接，显然，，
为立方八面体的底面正方形与三角形面所成的二面角，
立方八面体的棱长为1，，，，
，
同理可得立方八面体的相邻两个面的所成二面角的余弦值均为，故正确．
故选：．

【点评】本题考查了空间几何体的结构特征，考查空间角与空间几何体的体积计算，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在平面直角坐标系中，已知直线和直线，，若与平行，则与之间的距离为　　．
【分析】由与平行，列出方程求出，再利用两平行线间距离公式能求出与之间的距离．
【解答】解：直线和直线，，
与平行，
，解得，
直线，即，直线，
与之间的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查两条平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间的距离等基础知识，是基础题．
14．（5分）在空间直角坐标系中，若三点，，，，，，，，满足：，则实数的值为　　．
【分析】先求出，0，，，，，再由，能求出．
【解答】解：，，，，，，，，，
，，，，，，，0，，
，，，
，
，
解得实数．
故答案为：．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，是基础题．
15．（5分）词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，现有如图所示的“鳖臑”四面体，其中平面，，，则四面体的外接球的表面积为　　．

【分析】解法一、由题意知，取的中点为，可得为球心，求出球的半径，计算球的表面积．
解法二、把三棱锥补成长方体，长方体的对角线是外接球的直径，由此三棱锥外接球的表面积．
【解答】解：解法一、由题意知，取的中点为，可得，即为球心，
所以球的半径为，
所以球的表面积为．
解法二、把三棱锥补成长、宽、高分别为1、、1的长方体，则长方体的对角线为外接球的直径，
所以；
所以三棱锥外接球的表面积为．
【点评】本题考查球的表面积计算问题，涉及球与三棱锥和长方体的关系，是基础题．
16．（5分）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系，根据图上尺寸，溢流孔所在抛物线的方程为　，　，溢流孔与桥拱交点的横坐标为　　．

【分析】根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为，，溢流孔所在方程为，运用待定系数法，求得，，可得右边第二个溢流孔所在方程，联立抛物线方程，可得所求．
【解答】解：根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为，，溢流孔所在方程为，
由它们均过，代入可得，，
解可得：，，
可得桥拱所在抛物线的方程为，溢流孔所在方程为，
则右边第二个溢流孔所在方程为，
则有，解可得：或即溢流孔与桥拱交点的横坐标为，
故答案为：，．
【点评】本题考查抛物线标准方程的综合应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算骤.
17．（10分）在①；②；③的面积三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知的内角、、的对边分别为，，，______，是边上的一点，，且，，求线段的长．
【分析】若选①，利用两角和与差的正弦函数公式化简已知等式结合，可得，结合范围，可求，利用三角形内角和定理可得的值，由余弦定理可得的值，在中，由正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，在中，由正弦定理即可解得的值．
若选②，由已知利用余弦定理可得，结合范围，可求，利用三角形内角和定理可得的值，由余弦定理可得的值，在中，由正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，在中，由正弦定理即可解得的值．
若选③，由已知利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求，利用三角形内角和定理可得的值，由余弦定理可得的值，在中，由正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，在中，由正弦定理即可解得的值．
【解答】解：若选①，可得，
可得，
因为为三角形内角，，
可得，
因为，
所以，
可得，
所以由余弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理，可得，，
所以，
在中，由正弦定理，可得，解得．
若选②，由余弦定理可得，整理可得，
可得，
因为，
所以，
可得，
所以由余弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理，可得，，
所以，
在中，由正弦定理，可得，解得．
若选③的面积，
可得，可得，可得，
因为，
所以，
可得，
所以由余弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理，可得，，
所以，
在中，由正弦定理，可得，解得．

【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆，动圆与直线相切且与圆外切．
（1）记圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程；
（2）已知，曲线上一点满足，求的大小．
【分析】（1）设，由两圆圆心距与半径的关系结合动圆与直线相切列式求得曲线的方程；
（2）画出图形，利用抛物线定义转化，求解直角三角形得答案．
【解答】解：（1）设，圆的半径为
动圆与圆外切，
，①
又动圆与直线相切，
，②
由①②消去得，
曲线的轨迹方程为；
（2）如图，过作作抛物线的准线的垂线，垂足为，
由抛物线定义可得，
又，，得，则，
．

【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查抛物线的几何性质，是基础题．
19．（12分）如图，在直三棱柱中，为中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，且，求三棱锥的体积．

【分析】（1）连接交于点，根据中位线定理可得，于是平面；
（2）证明平面，于是．
【解答】（1）证明：连接交于点，连接，
四边形是平行四边形，是的中点，
又是的中点，
，
又平面，平面，
平面．
（2）解：，平面，平面，
平面，
，
，，，是的中点，
，
又，平面，
，
三棱锥的体积．

【点评】本题考查了线面平行的判定，考查棱锥的体积计算，属于基础题．
20．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆，点，是直线与圆的两个公共点，点在圆上．
（1）若为正三角形，求直线的方程．
（2）若直线上存在点满足，求实数取值范围．
【分析】（1）根据圆心到直线的距离列方程计算的值，得出直线的方程；
（2）求出以为直径的圆的方程，令直线与圆有公共点列出不等式，解出的范围．
【解答】解：（1）圆的半径为1，若是正三角形，则，
，到的距离为，
，，
直线的方程为或．
（2）直线与圆有两个公共点，，即，
，
的中垂线方程为，
联立方程组可得，即的中点坐标为，，
以为直径的圆的方程为，
直线上存在点满足，直线与圆有公共点，
，解得．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，属于中档题．
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）设二面角的大小为，若，求的值．

【分析】（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，计算和的夹角得出直线与平面所成角的大小；
（2）用表示出平面和平面的法向量，根据二面角的大小列方程计算的值．
【解答】解：（1）平面平面，平面平面，，平面，
平面，又，
，，两两垂直，
以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，4，，，0，，，0，，，2，，
若，则为的中点，故，1，，
，，，，0，，，1，，
设平面的法向量为，，，则，
即，令可得，，，
，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
（2），2，，，2，，，0，，，2，，
，，，
，，
，，又，
平面，
是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，，，则，
即，令可得，，，
，
二面角的大小为，且，
，解得或（舍，
即．

【点评】本题考查空间向量与线面角、二面角的计算，属于中档题．
22．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点与上顶点的距离为，且经过点．
（1）求椭圆的方程．
（2）直线与椭圆相交于、两点，是的中点．若椭圆上存在点满足，求证：的面积为定值．

【分析】（1）由两点的距离公式和点满足椭圆方程，解方程可得，，可得椭圆方程；
（2）设，，，，设直线的方程为，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，中点坐标公式可得，由向量的坐标运算可得的坐标，代入椭圆方程可得，求得到直线的距离，运用三角形的面积公式计算可得所求定值，再检验当直线的斜率为0时，计算可得所求定值．
【解答】解：（1）由题意可得，且，
解得，，或，（舍，
所以椭圆的方程为；
（2）设，，，，
设直线的方程为，与椭圆，
可得，
设，，，，可得，，
，
可得，，
由，可得，，
代入椭圆方程可得，
化为，
到直线的距离为，
所以，
当直线的斜率为0时，设方程为，可得，
，，由，即，
．
综上可得，的面积为定值．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
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日期：2021/2/23 14:36:46；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394