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2021-2022学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷
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2021-2022学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设m为实数，平面向量＝（﹣1，2），＝（2，m），若∥，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
2．（5分）复数z满足（1+i）z＝2i，则z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）在△ABC中，BC＝15，AC＝10，A＝30°，则cosB＝（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）若α，β均为锐角，且cos（α+β）＝sin（α﹣β），则tana的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（5分）已知点P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：＝；乙：；
丙：||＝||＝||；丁：•＝•＝•．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7．（5分）若点A，B，C均位于单位圆上，且AB＝，则的最大值为（ ）
A．+ B． C． D．3
8．（5分）如图，某次帆船比赛LOGO的设计方案如下：在直角三角形ABO中挖去以点O为圆心，OB为半径的扇形BOC，使得扇形BOC的面积是直角三角形ABO面积的一半．记∠AOB＝α，则的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．4
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的．每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．
（多选）9．（5分）下列四个等式中正确的有（ ）
A．cos28°cos32°﹣cos62°sin32°＝
B．sin105°cos75°＝
C．＝
D．sin50°（1+tan10°）＝1
（多选）10．（5分）设z1，z2为复数，z1≠0．下列命题中正确的有（ ）
A．若z1z2＝0，则z2＝0 B．若z12＝z22，则|z1|＝|z2|
C．若z1z2＝|z1|2，则z2＝ D．若z13＝z23，则z1＝z2
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝sincos﹣sin2，则下列结论正确的有（ ）
A．f（x）的最小正周期为4π
B．直线x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在（0，）上单调递增
D．若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，则m≥
（多选）12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinB＞，且（sinB+sinC）2＝sin2A+2sinAsinC，则下列结论正确的有（ ）
A．a＞b B．b＞a C．a﹣b＝bcosA D．A＞
三、填空题：本大题共4小题5个空，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）设m为实数，复数z1＝1﹣i，z2＝3+mi．若为纯虚数，则z1+z2的虚部为 ．
14．（5分）如图，照片中的建筑是某校的学生新宿舍楼，学生李明想要测量宿舍楼的高度MN．为此他进行了如下测量：首先选定观测点A和B，测得A，B两点之间的距离为33米，然后在观测点A处测得仰角∠MAN＝30°，进而测得∠MAB＝105°，∠MBA＝45°．根据李明同学测得的数据，该宿舍楼的高度为 米．
15．（5分）已知sinα＝，且α为钝角，则的值为 ．
16．（5分）已知平面向量，满足||＝2，||≤1，且|3﹣2|≤2．记，的夹角为θ，则cosθ的最小值为 ；||的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在平面四边形ABCD中，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°．
（1）若∠A＝90°，∠B＝45°，求BC；
（2）若∠A＝60°，AB＝2BC，求cos∠ABC．
18．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC．设＝，＝．
（1）用，表示，；
（2）若EF⊥EG，＝2•，求∠DAB的值．
19．（12分）设复数z1＝cosα+isinα，z2＝cosβ+isinβ，已知|z1﹣z2|＝．
（1）求cos（α﹣β）的值；
（2）若，tanα＝﹣7，求2α﹣β的值．
20．（12分）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝3，O是△ABC的外接圆圆心．
（1）求||；
（2）若△ABC的面积为，且AC＞AB，求•．
21．（12分）已知函数f（x）＝（sinx﹣cosx）2+2sin（π﹣x）sinx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在①△ABC的面积为c2﹣（a﹣b）2；②边BC上的中线长为；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）＝1，b＝2，_______？
22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinA+sin（C﹣B）＝2sin2B，A＝．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）已知c≠2b，，点P，Q是边AC上的两个动点（P，Q不重合），记∠PBQ＝θ．
①当时，设△PBQ的面积为S，求S的最小值；
②记∠BPQ＝α，∠BQP＝β．问：是否存在实常数θ和k，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k＝4ksinαsinβ成立？若存在，求出θ和k的值；若不存在，说明理由．
2021-2022学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设m为实数，平面向量＝（﹣1，2），＝（2，m），若∥，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
【分析】根据已知条件，结合平行向量的坐标公式，即可求解．
【解答】解：∵平面向量＝（﹣1，2），＝（2，m），∥，
∴﹣1×m＝2×2，解得m＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行向量的坐标公式，属于基础题．
2．（5分）复数z满足（1+i）z＝2i，则z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则计算复数z，求得它在复平面内对应点的坐标，从而得出结论．
【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2i，∴z＝＝＝1+i，它在复平面内对应点的坐标为（1，1），
故选：A．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
3．（5分）在△ABC中，BC＝15，AC＝10，A＝30°，则cosB＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用正弦定理可求得sinB的值，利用大边对大角可求B为锐角，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解cosB的值．
【解答】解：因为在△ABC中，BC＝15，AC＝10，A＝30°，
所以由正弦定理，可得＝，可得sinB＝，
因为AC＜BC，所以B＜A，B为锐角，
则cosB＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，属于基础题．
4．（5分）若α，β均为锐角，且cos（α+β）＝sin（α﹣β），则tana的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】直接利用公式展开，移项提出公因式，利用α，β均为锐角求出β，α即可得到tanα的值．
【解答】解：因为cos（α+β）＝sin（α﹣β），所以cosαcosβ﹣sinαsinβ＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，
（cosβ+sinβ）cosα＝（sinβ+cosβ）sinα，因为α，β均为锐角，所以cosα＝sinα
所以tana＝1
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意提交α，β均为锐角的应用，考查计算能力，推理能力．
5．（5分）已知点P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：＝；乙：；
丙：||＝||＝||；丁：•＝•＝•．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】分别分析出甲、乙、丙、丁四个命题对应的P点的性质，然后再加以判断．
【解答】解：对于甲：＝，设M是BC的中点，则，所以，
故P点是PM的靠近M的三等分点，即该三角形的重心；
对于乙：，移项整理得，即，
故AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形；
对于丙：||＝||＝||，则P为△ABC的外心；
对于丁：•＝•＝•．
则•﹣•＝•（﹣）＝•＝0，所以PB⊥CA，
同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，
所以P为△ABC的垂心，
如果只有一个等式不成立，则该等式为乙．
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的性质及运算，考查三角形重心、外心、垂心的向量关系，属于中档题．
6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解．
【解答】解：由正弦定理得＝，
整理得sinA＝sinAcosB+sinBcosA＝sin（A+B）＝sinC，
所以A＝C．
故△ABC的形状是等腰三角形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦定理及和差角公式的应用，属于基础题．
7．（5分）若点A，B，C均位于单位圆上，且AB＝，则的最大值为（ ）
A．+ B． C． D．3
【分析】画出图形，利用向量的数量积的几何意义，转化求解即可．
【解答】解：如图：过C作AB的垂线，交AB于D，作OE⊥AB于E，
＝＝≤×（|AE|+|ED|）＝（）＝．
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
8．（5分）如图，某次帆船比赛LOGO的设计方案如下：在直角三角形ABO中挖去以点O为圆心，OB为半径的扇形BOC，使得扇形BOC的面积是直角三角形ABO面积的一半．记∠AOB＝α，则的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．4
【分析】根据已知条件，结合扇形面积公式，以及二倍角公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，2•π＝，解得2α＝tanα，
则＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查扇形面积公式，以及二倍角公式，属于基础题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的．每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．
（多选）9．（5分）下列四个等式中正确的有（ ）
A．cos28°cos32°﹣cos62°sin32°＝
B．sin105°cos75°＝
C．＝
D．sin50°（1+tan10°）＝1
【分析】A，cos62°＝sin28°，再由两角和的余弦公式，得解；
B，sin105°＝sin75°，再由二倍角公式，得解；
C，利用tan45°＝1，结合两角和的正切公式，得解；
D，从tan10°＝出发，分别利用辅助角公式，诱导公式与二倍角公式，得解．
【解答】解：A，cos28°cos32°﹣cos62°sin32°＝cos28°cos32°﹣sin28°sin32°＝cos（28°+32°）＝cos60°＝，即A正确；
B，sin105°cos75°＝sin75°cos75°＝sin150°＝，即B错误；
C，＝＝tan（45°+15°）＝tan60°＝，即C正确；
D，sin50°（1+tan10°）＝sin50°（1+•）＝sin50°•
＝sin50°•＝sin50°•＝＝＝＝1，即D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和差公式，二倍角公式，辅助角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）设z1，z2为复数，z1≠0．下列命题中正确的有（ ）
A．若z1z2＝0，则z2＝0 B．若z12＝z22，则|z1|＝|z2|
C．若z1z2＝|z1|2，则z2＝ D．若z13＝z23，则z1＝z2
【分析】由复数的性质可判断A，B；利用共轭复数的定义和复数的运算可判断C；取特殊值可判断D．
【解答】解：对于A，若z1z2＝0，因为z1≠0，所以，正确；
对于B，，所以，所以，所以|z1|＝|z2|，正确；
对于C，，又z1≠0，所以，正确；
对于，而z1≠z2．
故选：ABC．
【点评】本题考查了复数的运算，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝sincos﹣sin2，则下列结论正确的有（ ）
A．f（x）的最小正周期为4π
B．直线x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在（0，）上单调递增
D．若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，则m≥
【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质，判断即可．
【解答】解：函数f（x）＝sincos﹣sin2＝sinx﹣＝sin（x+）﹣，
所以，f（x）的最小正周期为2π，选项A错误；
x＝﹣时，x+＝﹣，所以x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴，选项B正确；
x∈（0，）时，x+∈（，），函数f（x）＝sin（x+）﹣先递增再递减，所以选项C错误；
x∈[﹣，m]时，x+∈（﹣，m+]，函数f（x）的最大值为，所以m+≥，解得m≥，选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了分析与判断能力，是中档题．
（多选）12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinB＞，且（sinB+sinC）2＝sin2A+2sinAsinC，则下列结论正确的有（ ）
A．a＞b B．b＞a C．a﹣b＝bcosA D．A＞
【分析】由三角形的正弦定理、余弦定理推得bcosA＝a﹣b，由A为锐角可得a＞b，再由正弦定理求得sinB＝，结合二倍角公式和正切函数的单调性可得A的范围，即可得到结论．
【解答】解：由（sinB+sinC）2＝sin2A+2sinAsinC可得（b+c）2＝a2+2ac，
即有b2+c2+2bc＝a2+2ac，即b2+c2﹣a2＝2ac﹣2bc，
即有2bccosA＝2c（a﹣b），即bcosA＝a﹣b，
由0＜A＜可得cosA＞0，即有a﹣b＞0，即a＞b，故A、C都正确，B错误；
由sinBcosA＝sinA﹣sinB，可得sinB＝＝＝tan＞，
由于0＜＜，可得＞，即A＞，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和三角函数的恒等变换、正切函数的单调性，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题5个空，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）设m为实数，复数z1＝1﹣i，z2＝3+mi．若为纯虚数，则z1+z2的虚部为 2 ．
【分析】根据已知条件，结合纯虚数和虚部的定义，即可求解．
【解答】解：∵z1＝1﹣i，z2＝3+mi，
∴＝（1﹣i）（3﹣mi）＝3﹣m﹣（m+3）i为纯虚数，
∴m﹣3＝0，解得m＝3，
∴z1+z2＝1﹣i+3+3i＝4+2i，
∴z1+z2的虚部为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查纯虚数和虚部的定义，属于基础题．
14．（5分）如图，照片中的建筑是某校的学生新宿舍楼，学生李明想要测量宿舍楼的高度MN．为此他进行了如下测量：首先选定观测点A和B，测得A，B两点之间的距离为33米，然后在观测点A处测得仰角∠MAN＝30°，进而测得∠MAB＝105°，∠MBA＝45°．根据李明同学测得的数据，该宿舍楼的高度为 11 米．
【分析】先在△ABM中利用正弦定理求出，再在Rt△AMN中求解即可．
【解答】解：在△ABM中，因为∠MAB＝105°，∠MBA＝45°，
所以∠AMB＝30°，又AB＝33，所以，
即，解得；
在Rt△AMN中，因为，
所以，
即该宿舍楼的高度为米．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．
15．（5分）已知sinα＝，且α为钝角，则的值为 ．
【分析】易得cosα＝﹣，再由二倍角公式求得cos2的值，并确定的取值范围，得解．
【解答】解：因为sinα＝，且α为钝角，所以cosα＝﹣＝﹣，
而cosα＝2cos2﹣1，所以﹣＝2cos2﹣1，解得cos2＝，
因为α为钝角，所以∈（，），所以cos＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握同角三角函数的平方关系，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
16．（5分）已知平面向量，满足||＝2，||≤1，且|3﹣2|≤2．记，的夹角为θ，则cosθ的最小值为 ；||的最小值为 ．
【分析】由数量积公式变形可得，结合函数的单调性即可得出cosθ的最小值，由，可得，解不等式即可得出的取值范围．
【解答】解：因为，所以，
即，所以，
当时，取到最小值，所以；
，所以，
解得，
又因为，所以，
故，当θ＝0时取“＝“．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在平面四边形ABCD中，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°．
（1）若∠A＝90°，∠B＝45°，求BC；
（2）若∠A＝60°，AB＝2BC，求cos∠ABC．
【分析】（1）连接AC，由已知条件可得AC＝，且∠DAC＝30°，进而知∠CAB＝60°，再在△ABC中，利用正弦定理，得解；
（2）连接AC，由已知条件可得AC＝，且∠DAC＝30°，进而知∠CAB＝30°，再在△ABC中，利用余弦定理，求得AB＝2BC＝2，从而知△ABC为直角三角形，且∠ABC＝60°，得解．
【解答】解：（1）连接AC，
因为AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，
所以AC＝，且∠DAC＝30°，
因为∠DAB＝90°，所以∠CAB＝60°，
在△ABC中，由正弦定理知，，
所以＝，解得BC＝．
（2）连接AC，
因为AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，
所以AC＝，且∠DAC＝30°，
因为∠DAB＝60°，所以∠CAB＝30°，
设AB＝2BC＝2x，
在△ABC中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠CAB，
所以x2＝4x2+3﹣2•2x••，即x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，
所以AB＝2BC＝2，
又AC＝，所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝60°，
所以cos∠ABC＝．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC．设＝，＝．
（1）用，表示，；
（2）若EF⊥EG，＝2•，求∠DAB的值．
【分析】（1）以为基底，进行向量加减运算，即得结果；
（2）以为基底，结合EF⊥EG进行数量积运算，再利用，得cosA的关系式，即解得角A．
【解答】解：（1）由平面向量的线性运算可知，
，
；
（2）由题意，因为EF⊥EG，所以，
，
解得，
所以，
则可化简上式为，
解得，又A∈（0，π），
故．
【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
19．（12分）设复数z1＝cosα+isinα，z2＝cosβ+isinβ，已知|z1﹣z2|＝．
（1）求cos（α﹣β）的值；
（2）若，tanα＝﹣7，求2α﹣β的值．
【分析】（1）利用复数的模化简|z1﹣z2|＝，再结合三角函数的同角关系以及和角公式即可得到；
（2）欲求2α﹣β的值，将2α﹣β写成（α﹣β）+α]的形式，给合（1）中结论即可求得tan（2α﹣β）的值，从而求出2α﹣β的值．
【解答】解：（1）∵z1＝cosα+isinα，z2＝cosβ+isinβ，
∴z1﹣z2＝（cosα﹣cosβ）+i（sinα﹣sinβ），|z1﹣z2|＝，
∴＝，
∴2﹣2cos（α﹣β）＝，
∴cos（α﹣β）＝；
（2）∵，∴﹣＜α﹣β＜0，﹣π＜2α﹣β＜0，
由（1）得cos（α﹣β）＝，
∴sin（α﹣β）＝﹣，tan（α﹣β）＝﹣，
又tanα＝﹣7，
∴tan（2α﹣β）
＝tan[（α﹣β）+α]
＝
＝＝1，
∴2α﹣β＝﹣．
【点评】三角变换中的角的变换，在本题中显得尤为突出，将单角化为复角，对字母角度的2α﹣β＝（α﹣β）+α，巧妙拼凑，使得问题顺利解决．
20．（12分）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝3，O是△ABC的外接圆圆心．
（1）求||；
（2）若△ABC的面积为，且AC＞AB，求•．
【分析】（1）由正弦定理求解即可；
（2）由平面向量数量积运算，结合外心为三角形各边中垂线的交点求解即可．
【解答】解：（1）由∠BAC＝120°，BC＝3，
设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理可得2R＝，
则R＝，
即||＝；
（2）由△ABC的面积为，
则AB×AC×sin∠BAC＝，
则AB×AC＝18，①
又由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC，
则AB2+AC2+AB×AC＝63，②
又AC＞AB，
联立①②得：AC＝6，AB＝3，
则•＝＝＝＝．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角形的外心的有关知识，属中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝（sinx﹣cosx）2+2sin（π﹣x）sinx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在①△ABC的面积为c2﹣（a﹣b）2；②边BC上的中线长为；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）＝1，b＝2，_______？
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得，由正弦型函数周期性可得结论；
（2）利用f（A）＝1，结合A的范围，可求得；
若选①，由三角形面积公式和sin2C+cos2C＝1可构造方程组求得sinC，cosC，从而利用两角和差公式求得sinB；再利用正弦定理求得c后，由得所求面积；
若选②，设边BC的中点为M，则，等式左右平方后，根据向量数量积的定义和运算律可求得，即边c，由得所求面积；
若选③，利用余弦定理可化简已知等式求得a，由作圆法可验证得bsinA＞a，知三角形不存在．
【解答】解：（1）∵
＝，
∴f（x）的最小正周期．
（2）由①得：，
则，
∵A∈（0，π），
∴，
∴，解得：，
若选条件①，∵，∴，
∴，
又sin2C+cos2C＝1，
∴，
又C∈（0，π），∴sinC＞0，
∴，
∴，
由正弦定理得：，
∴；
若选条件②，设边BC的中点为M，则，
∵边BC上的中线长为，
即，
∴，
即，
又，
∴，即，
∴；
若选条件③，∵，∴，
即，
又，
∴，
由知：，
∴，
∵不存在．
【点评】本题考查了三角形余弦定理和面积公式的综合应用，属于中档题．
22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinA+sin（C﹣B）＝2sin2B，A＝．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）已知c≠2b，，点P，Q是边AC上的两个动点（P，Q不重合），记∠PBQ＝θ．
①当时，设△PBQ的面积为S，求S的最小值；
②记∠BPQ＝α，∠BQP＝β．问：是否存在实常数θ和k，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k＝4ksinαsinβ成立？若存在，求出θ和k的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理和诱导公式将sinA化为sin（C+B），再利用两角和差公式和二倍角公式进行化简，进而判定三角形的形状；
（2）①设∠QBC＝x，利用正弦定理求出BQ、BP，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；
②假设存在实常数θ，k，利用三角恒等变形得到恒等式，将其转化为进行求解．
【解答】（1）证明：在△ABC中，因为A+B+C＝π，
且sinA+sin（C﹣B）＝2sin2B，
所以sin（C+B）+sin（C﹣B）＝2sin2B，
即2sinCcosB＝4sinBcosB，
所以cosB＝0或者sinC＝2sinB，
当cosB＝0时，即，所以△ABC为直角三角形，
当sinC＝2sinB时，，
从而cosC＝0，因此，所以△ABC为直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形；
（2）解：①因为c≠2b，所以，
又，所以c＝2，b＝4，
如图，设，
则在△QBC中，由正弦定理，得，
所以，
在△ABP中，由正弦定理，得，
所以，
所以，
因为，所以，
故当，即时，，
②假设存在实常数θ，k，对于所有满足题意的α，β，
都有sin2α+sin2β+k＝4ksinαsinβ成立，
则存在实常数θ，k，对于所有满足题意的α，β，
都有2sin（α+β）cos（α﹣β）+k＝2k[（cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]，
由题意，α+β＝π﹣θ是定值，
所以sin（α+β），cos（α+β）是定值，
2[sin（α+β）﹣k]cos（α﹣β）+k[1+2cos（α+β）]＝0对于所有满足题意的α，β成立，
故有sin（α+β）﹣k＝0，k[1+2cos（α+β）]＝0，
因为k＝sin（α+β）≠0，从而1+2cos（α+β）＝0，
即，
因为α，β为△BPQ的内角，所以，
从而．
【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属于中档题．
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2021-2022学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设m为实数，平面向量＝（﹣1，2），＝（2，m），若∥，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
2．（5分）复数z满足（1+i）z＝2i，则z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）在△ABC中，BC＝15，AC＝10，A＝30°，则cosB＝（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）若α，β均为锐角，且cos（α+β）＝sin（α﹣β），则tana的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（5分）已知点P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：＝；乙：；
丙：||＝||＝||；丁：•＝•＝•．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7．（5分）若点A，B，C均位于单位圆上，且AB＝，则的最大值为（ ）
A．+ B． C． D．3
8．（5分）如图，某次帆船比赛LOGO的设计方案如下：在直角三角形ABO中挖去以点O为圆心，OB为半径的扇形BOC，使得扇形BOC的面积是直角三角形ABO面积的一半．记∠AOB＝α，则的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．4
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的．每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．
（多选）9．（5分）下列四个等式中正确的有（ ）
A．cos28°cos32°﹣cos62°sin32°＝
B．sin105°cos75°＝
C．＝
D．sin50°（1+tan10°）＝1
（多选）10．（5分）设z1，z2为复数，z1≠0．下列命题中正确的有（ ）
A．若z1z2＝0，则z2＝0 B．若z12＝z22，则|z1|＝|z2|
C．若z1z2＝|z1|2，则z2＝ D．若z13＝z23，则z1＝z2
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝sincos﹣sin2，则下列结论正确的有（ ）
A．f（x）的最小正周期为4π
B．直线x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在（0，）上单调递增
D．若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，则m≥
（多选）12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinB＞，且（sinB+sinC）2＝sin2A+2sinAsinC，则下列结论正确的有（ ）
A．a＞b B．b＞a C．a﹣b＝bcosA D．A＞
三、填空题：本大题共4小题5个空，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）设m为实数，复数z1＝1﹣i，z2＝3+mi．若为纯虚数，则z1+z2的虚部为 ．
14．（5分）如图，照片中的建筑是某校的学生新宿舍楼，学生李明想要测量宿舍楼的高度MN．为此他进行了如下测量：首先选定观测点A和B，测得A，B两点之间的距离为33米，然后在观测点A处测得仰角∠MAN＝30°，进而测得∠MAB＝105°，∠MBA＝45°．根据李明同学测得的数据，该宿舍楼的高度为 米．
15．（5分）已知sinα＝，且α为钝角，则的值为 ．
16．（5分）已知平面向量，满足||＝2，||≤1，且|3﹣2|≤2．记，的夹角为θ，则cosθ的最小值为 ；||的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在平面四边形ABCD中，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°．
（1）若∠A＝90°，∠B＝45°，求BC；
（2）若∠A＝60°，AB＝2BC，求cos∠ABC．
18．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC．设＝，＝．
（1）用，表示，；
（2）若EF⊥EG，＝2•，求∠DAB的值．
19．（12分）设复数z1＝cosα+isinα，z2＝cosβ+isinβ，已知|z1﹣z2|＝．
（1）求cos（α﹣β）的值；
（2）若，tanα＝﹣7，求2α﹣β的值．
20．（12分）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝3，O是△ABC的外接圆圆心．
（1）求||；
（2）若△ABC的面积为，且AC＞AB，求•．
21．（12分）已知函数f（x）＝（sinx﹣cosx）2+2sin（π﹣x）sinx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在①△ABC的面积为c2﹣（a﹣b）2；②边BC上的中线长为；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）＝1，b＝2，_______？
22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinA+sin（C﹣B）＝2sin2B，A＝．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）已知c≠2b，，点P，Q是边AC上的两个动点（P，Q不重合），记∠PBQ＝θ．
①当时，设△PBQ的面积为S，求S的最小值；
②记∠BPQ＝α，∠BQP＝β．问：是否存在实常数θ和k，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k＝4ksinαsinβ成立？若存在，求出θ和k的值；若不存在，说明理由．
2021-2022学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设m为实数，平面向量＝（﹣1，2），＝（2，m），若∥，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
【分析】根据已知条件，结合平行向量的坐标公式，即可求解．
【解答】解：∵平面向量＝（﹣1，2），＝（2，m），∥，
∴﹣1×m＝2×2，解得m＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行向量的坐标公式，属于基础题．
2．（5分）复数z满足（1+i）z＝2i，则z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则计算复数z，求得它在复平面内对应点的坐标，从而得出结论．
【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2i，∴z＝＝＝1+i，它在复平面内对应点的坐标为（1，1），
故选：A．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
3．（5分）在△ABC中，BC＝15，AC＝10，A＝30°，则cosB＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用正弦定理可求得sinB的值，利用大边对大角可求B为锐角，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解cosB的值．
【解答】解：因为在△ABC中，BC＝15，AC＝10，A＝30°，
所以由正弦定理，可得＝，可得sinB＝，
因为AC＜BC，所以B＜A，B为锐角，
则cosB＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，属于基础题．
4．（5分）若α，β均为锐角，且cos（α+β）＝sin（α﹣β），则tana的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】直接利用公式展开，移项提出公因式，利用α，β均为锐角求出β，α即可得到tanα的值．
【解答】解：因为cos（α+β）＝sin（α﹣β），所以cosαcosβ﹣sinαsinβ＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，
（cosβ+sinβ）cosα＝（sinβ+cosβ）sinα，因为α，β均为锐角，所以cosα＝sinα
所以tana＝1
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意提交α，β均为锐角的应用，考查计算能力，推理能力．
5．（5分）已知点P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：
甲：＝；乙：；
丙：||＝||＝||；丁：•＝•＝•．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】分别分析出甲、乙、丙、丁四个命题对应的P点的性质，然后再加以判断．
【解答】解：对于甲：＝，设M是BC的中点，则，所以，
故P点是PM的靠近M的三等分点，即该三角形的重心；
对于乙：，移项整理得，即，
故AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形；
对于丙：||＝||＝||，则P为△ABC的外心；
对于丁：•＝•＝•．
则•﹣•＝•（﹣）＝•＝0，所以PB⊥CA，
同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，
所以P为△ABC的垂心，
如果只有一个等式不成立，则该等式为乙．
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的性质及运算，考查三角形重心、外心、垂心的向量关系，属于中档题．
6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解．
【解答】解：由正弦定理得＝，
整理得sinA＝sinAcosB+sinBcosA＝sin（A+B）＝sinC，
所以A＝C．
故△ABC的形状是等腰三角形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦定理及和差角公式的应用，属于基础题．
7．（5分）若点A，B，C均位于单位圆上，且AB＝，则的最大值为（ ）
A．+ B． C． D．3
【分析】画出图形，利用向量的数量积的几何意义，转化求解即可．
【解答】解：如图：过C作AB的垂线，交AB于D，作OE⊥AB于E，
＝＝≤×（|AE|+|ED|）＝（）＝．
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
8．（5分）如图，某次帆船比赛LOGO的设计方案如下：在直角三角形ABO中挖去以点O为圆心，OB为半径的扇形BOC，使得扇形BOC的面积是直角三角形ABO面积的一半．记∠AOB＝α，则的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．4
【分析】根据已知条件，结合扇形面积公式，以及二倍角公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，2•π＝，解得2α＝tanα，
则＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查扇形面积公式，以及二倍角公式，属于基础题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的．每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．
（多选）9．（5分）下列四个等式中正确的有（ ）
A．cos28°cos32°﹣cos62°sin32°＝
B．sin105°cos75°＝
C．＝
D．sin50°（1+tan10°）＝1
【分析】A，cos62°＝sin28°，再由两角和的余弦公式，得解；
B，sin105°＝sin75°，再由二倍角公式，得解；
C，利用tan45°＝1，结合两角和的正切公式，得解；
D，从tan10°＝出发，分别利用辅助角公式，诱导公式与二倍角公式，得解．
【解答】解：A，cos28°cos32°﹣cos62°sin32°＝cos28°cos32°﹣sin28°sin32°＝cos（28°+32°）＝cos60°＝，即A正确；
B，sin105°cos75°＝sin75°cos75°＝sin150°＝，即B错误；
C，＝＝tan（45°+15°）＝tan60°＝，即C正确；
D，sin50°（1+tan10°）＝sin50°（1+•）＝sin50°•
＝sin50°•＝sin50°•＝＝＝＝1，即D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和差公式，二倍角公式，辅助角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）设z1，z2为复数，z1≠0．下列命题中正确的有（ ）
A．若z1z2＝0，则z2＝0 B．若z12＝z22，则|z1|＝|z2|
C．若z1z2＝|z1|2，则z2＝ D．若z13＝z23，则z1＝z2
【分析】由复数的性质可判断A，B；利用共轭复数的定义和复数的运算可判断C；取特殊值可判断D．
【解答】解：对于A，若z1z2＝0，因为z1≠0，所以，正确；
对于B，，所以，所以，所以|z1|＝|z2|，正确；
对于C，，又z1≠0，所以，正确；
对于，而z1≠z2．
故选：ABC．
【点评】本题考查了复数的运算，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝sincos﹣sin2，则下列结论正确的有（ ）
A．f（x）的最小正周期为4π
B．直线x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在（0，）上单调递增
D．若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，则m≥
【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质，判断即可．
【解答】解：函数f（x）＝sincos﹣sin2＝sinx﹣＝sin（x+）﹣，
所以，f（x）的最小正周期为2π，选项A错误；
x＝﹣时，x+＝﹣，所以x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴，选项B正确；
x∈（0，）时，x+∈（，），函数f（x）＝sin（x+）﹣先递增再递减，所以选项C错误；
x∈[﹣，m]时，x+∈（﹣，m+]，函数f（x）的最大值为，所以m+≥，解得m≥，选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了分析与判断能力，是中档题．
（多选）12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinB＞，且（sinB+sinC）2＝sin2A+2sinAsinC，则下列结论正确的有（ ）
A．a＞b B．b＞a C．a﹣b＝bcosA D．A＞
【分析】由三角形的正弦定理、余弦定理推得bcosA＝a﹣b，由A为锐角可得a＞b，再由正弦定理求得sinB＝，结合二倍角公式和正切函数的单调性可得A的范围，即可得到结论．
【解答】解：由（sinB+sinC）2＝sin2A+2sinAsinC可得（b+c）2＝a2+2ac，
即有b2+c2+2bc＝a2+2ac，即b2+c2﹣a2＝2ac﹣2bc，
即有2bccosA＝2c（a﹣b），即bcosA＝a﹣b，
由0＜A＜可得cosA＞0，即有a﹣b＞0，即a＞b，故A、C都正确，B错误；
由sinBcosA＝sinA﹣sinB，可得sinB＝＝＝tan＞，
由于0＜＜，可得＞，即A＞，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和三角函数的恒等变换、正切函数的单调性，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题5个空，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）设m为实数，复数z1＝1﹣i，z2＝3+mi．若为纯虚数，则z1+z2的虚部为 2 ．
【分析】根据已知条件，结合纯虚数和虚部的定义，即可求解．
【解答】解：∵z1＝1﹣i，z2＝3+mi，
∴＝（1﹣i）（3﹣mi）＝3﹣m﹣（m+3）i为纯虚数，
∴m﹣3＝0，解得m＝3，
∴z1+z2＝1﹣i+3+3i＝4+2i，
∴z1+z2的虚部为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查纯虚数和虚部的定义，属于基础题．
14．（5分）如图，照片中的建筑是某校的学生新宿舍楼，学生李明想要测量宿舍楼的高度MN．为此他进行了如下测量：首先选定观测点A和B，测得A，B两点之间的距离为33米，然后在观测点A处测得仰角∠MAN＝30°，进而测得∠MAB＝105°，∠MBA＝45°．根据李明同学测得的数据，该宿舍楼的高度为 11 米．
【分析】先在△ABM中利用正弦定理求出，再在Rt△AMN中求解即可．
【解答】解：在△ABM中，因为∠MAB＝105°，∠MBA＝45°，
所以∠AMB＝30°，又AB＝33，所以，
即，解得；
在Rt△AMN中，因为，
所以，
即该宿舍楼的高度为米．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．
15．（5分）已知sinα＝，且α为钝角，则的值为 ．
【分析】易得cosα＝﹣，再由二倍角公式求得cos2的值，并确定的取值范围，得解．
【解答】解：因为sinα＝，且α为钝角，所以cosα＝﹣＝﹣，
而cosα＝2cos2﹣1，所以﹣＝2cos2﹣1，解得cos2＝，
因为α为钝角，所以∈（，），所以cos＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握同角三角函数的平方关系，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
16．（5分）已知平面向量，满足||＝2，||≤1，且|3﹣2|≤2．记，的夹角为θ，则cosθ的最小值为 ；||的最小值为 ．
【分析】由数量积公式变形可得，结合函数的单调性即可得出cosθ的最小值，由，可得，解不等式即可得出的取值范围．
【解答】解：因为，所以，
即，所以，
当时，取到最小值，所以；
，所以，
解得，
又因为，所以，
故，当θ＝0时取“＝“．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在平面四边形ABCD中，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°．
（1）若∠A＝90°，∠B＝45°，求BC；
（2）若∠A＝60°，AB＝2BC，求cos∠ABC．
【分析】（1）连接AC，由已知条件可得AC＝，且∠DAC＝30°，进而知∠CAB＝60°，再在△ABC中，利用正弦定理，得解；
（2）连接AC，由已知条件可得AC＝，且∠DAC＝30°，进而知∠CAB＝30°，再在△ABC中，利用余弦定理，求得AB＝2BC＝2，从而知△ABC为直角三角形，且∠ABC＝60°，得解．
【解答】解：（1）连接AC，
因为AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，
所以AC＝，且∠DAC＝30°，
因为∠DAB＝90°，所以∠CAB＝60°，
在△ABC中，由正弦定理知，，
所以＝，解得BC＝．
（2）连接AC，
因为AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，
所以AC＝，且∠DAC＝30°，
因为∠DAB＝60°，所以∠CAB＝30°，
设AB＝2BC＝2x，
在△ABC中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠CAB，
所以x2＝4x2+3﹣2•2x••，即x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，
所以AB＝2BC＝2，
又AC＝，所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝60°，
所以cos∠ABC＝．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC．设＝，＝．
（1）用，表示，；
（2）若EF⊥EG，＝2•，求∠DAB的值．
【分析】（1）以为基底，进行向量加减运算，即得结果；
（2）以为基底，结合EF⊥EG进行数量积运算，再利用，得cosA的关系式，即解得角A．
【解答】解：（1）由平面向量的线性运算可知，
，
；
（2）由题意，因为EF⊥EG，所以，
，
解得，
所以，
则可化简上式为，
解得，又A∈（0，π），
故．
【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
19．（12分）设复数z1＝cosα+isinα，z2＝cosβ+isinβ，已知|z1﹣z2|＝．
（1）求cos（α﹣β）的值；
（2）若，tanα＝﹣7，求2α﹣β的值．
【分析】（1）利用复数的模化简|z1﹣z2|＝，再结合三角函数的同角关系以及和角公式即可得到；
（2）欲求2α﹣β的值，将2α﹣β写成（α﹣β）+α]的形式，给合（1）中结论即可求得tan（2α﹣β）的值，从而求出2α﹣β的值．
【解答】解：（1）∵z1＝cosα+isinα，z2＝cosβ+isinβ，
∴z1﹣z2＝（cosα﹣cosβ）+i（sinα﹣sinβ），|z1﹣z2|＝，
∴＝，
∴2﹣2cos（α﹣β）＝，
∴cos（α﹣β）＝；
（2）∵，∴﹣＜α﹣β＜0，﹣π＜2α﹣β＜0，
由（1）得cos（α﹣β）＝，
∴sin（α﹣β）＝﹣，tan（α﹣β）＝﹣，
又tanα＝﹣7，
∴tan（2α﹣β）
＝tan[（α﹣β）+α]
＝
＝＝1，
∴2α﹣β＝﹣．
【点评】三角变换中的角的变换，在本题中显得尤为突出，将单角化为复角，对字母角度的2α﹣β＝（α﹣β）+α，巧妙拼凑，使得问题顺利解决．
20．（12分）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝3，O是△ABC的外接圆圆心．
（1）求||；
（2）若△ABC的面积为，且AC＞AB，求•．
【分析】（1）由正弦定理求解即可；
（2）由平面向量数量积运算，结合外心为三角形各边中垂线的交点求解即可．
【解答】解：（1）由∠BAC＝120°，BC＝3，
设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理可得2R＝，
则R＝，
即||＝；
（2）由△ABC的面积为，
则AB×AC×sin∠BAC＝，
则AB×AC＝18，①
又由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC，
则AB2+AC2+AB×AC＝63，②
又AC＞AB，
联立①②得：AC＝6，AB＝3，
则•＝＝＝＝．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角形的外心的有关知识，属中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝（sinx﹣cosx）2+2sin（π﹣x）sinx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在①△ABC的面积为c2﹣（a﹣b）2；②边BC上的中线长为；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）＝1，b＝2，_______？
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得，由正弦型函数周期性可得结论；
（2）利用f（A）＝1，结合A的范围，可求得；
若选①，由三角形面积公式和sin2C+cos2C＝1可构造方程组求得sinC，cosC，从而利用两角和差公式求得sinB；再利用正弦定理求得c后，由得所求面积；
若选②，设边BC的中点为M，则，等式左右平方后，根据向量数量积的定义和运算律可求得，即边c，由得所求面积；
若选③，利用余弦定理可化简已知等式求得a，由作圆法可验证得bsinA＞a，知三角形不存在．
【解答】解：（1）∵
＝，
∴f（x）的最小正周期．
（2）由①得：，
则，
∵A∈（0，π），
∴，
∴，解得：，
若选条件①，∵，∴，
∴，
又sin2C+cos2C＝1，
∴，
又C∈（0，π），∴sinC＞0，
∴，
∴，
由正弦定理得：，
∴；
若选条件②，设边BC的中点为M，则，
∵边BC上的中线长为，
即，
∴，
即，
又，
∴，即，
∴；
若选条件③，∵，∴，
即，
又，
∴，
由知：，
∴，
∵不存在．
【点评】本题考查了三角形余弦定理和面积公式的综合应用，属于中档题．
22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinA+sin（C﹣B）＝2sin2B，A＝．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）已知c≠2b，，点P，Q是边AC上的两个动点（P，Q不重合），记∠PBQ＝θ．
①当时，设△PBQ的面积为S，求S的最小值；
②记∠BPQ＝α，∠BQP＝β．问：是否存在实常数θ和k，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α+sin2β+k＝4ksinαsinβ成立？若存在，求出θ和k的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理和诱导公式将sinA化为sin（C+B），再利用两角和差公式和二倍角公式进行化简，进而判定三角形的形状；
（2）①设∠QBC＝x，利用正弦定理求出BQ、BP，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解；
②假设存在实常数θ，k，利用三角恒等变形得到恒等式，将其转化为进行求解．
【解答】（1）证明：在△ABC中，因为A+B+C＝π，
且sinA+sin（C﹣B）＝2sin2B，
所以sin（C+B）+sin（C﹣B）＝2sin2B，
即2sinCcosB＝4sinBcosB，
所以cosB＝0或者sinC＝2sinB，
当cosB＝0时，即，所以△ABC为直角三角形，
当sinC＝2sinB时，，
从而cosC＝0，因此，所以△ABC为直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形；
（2）解：①因为c≠2b，所以，
又，所以c＝2，b＝4，
如图，设，
则在△QBC中，由正弦定理，得，
所以，
在△ABP中，由正弦定理，得，
所以，
所以，
因为，所以，
故当，即时，，
②假设存在实常数θ，k，对于所有满足题意的α，β，
都有sin2α+sin2β+k＝4ksinαsinβ成立，
则存在实常数θ，k，对于所有满足题意的α，β，
都有2sin（α+β）cos（α﹣β）+k＝2k[（cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]，
由题意，α+β＝π﹣θ是定值，
所以sin（α+β），cos（α+β）是定值，
2[sin（α+β）﹣k]cos（α﹣β）+k[1+2cos（α+β）]＝0对于所有满足题意的α，β成立，
故有sin（α+β）﹣k＝0，k[1+2cos（α+β）]＝0，
因为k＝sin（α+β）≠0，从而1+2cos（α+β）＝0，
即，
因为α，β为△BPQ的内角，所以，
从而．
【点评】本题考查了三角形中的几何计算，属于中档题．
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