2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题。每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）是虚数单位，复数，若，则　　
A． B．1 C．2 D．3
2．（5分）如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为　　

A． B． C． D．
3．（5分）已知，是不同的直线，，是不同的平面，若，，，则下列命题中正确的是　　
A． B． C． D．
4．（5分）钝角三角形的面积是，，，则等于　　
A．1 B．2 C． D．5
5．（5分）如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为，则其表面积的值为　　
A． B． C． D．
6．（5分）已知向量，，，若，则　　
A． B． C． D．
7．（5分）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为　　

A． B． C． D．
8．（5分）如图，过圆外一点作圆的切线，，切点分别为，，现将△沿折起到，使点在圆所在平面上的射影为圆心，若三棱锥的体积是圆锥体积的．则　　

A． B． C．或 D．或
二、多项选择题：本大题共4小题。每小题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对得5分，都分选对得2分，其他情况不得分。
9．（5分）某家庭将2018年1月至2019年12月期间每月的教育投入（单位，千元）绘制成如图所示的折线图，根据该图，下列结论正确的是　　

A．2019年的教育总投入要高于2018年的教育总投入
B．2018年与2019年中月教育投入最多的均在8月份
C．2018年与2019年的月教育投入逐月增加
D．2018年与2019年中每年9月至12月的月教育投入变化比较平稳，波动性较小
10．（5分）已知复数为虚数单位），为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有　　
A．在复平面内对应的点位于第二象限
B．
C．的实数部分为
D．的虚部为
11．（5分）现有分在问一组的三个代表队参加党史知识竞赛，若对于某个问题3个队回答正确的概率分别为，，，则关于该问题的回答情况，以下说法中正确的是　　
A．3个队都正确的概率为
B．3个队都不正确的概率为
C．出现恰有1个队正确的概率比出现恰有2个队正确的概率大
D．出现恰有2个队正确的概率比出现恰有1个队正确的概率大
12．（5分）正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点．则　　

A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点和点到平面的距离相等
三、填空题：本大题共4小题5个空，每题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上。
13．（5分）下列数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的下四百分位数为 　　，90百分位数为 　　．
14．（5分）用斜二侧法画水平放置的的直观图，得到如图所示等腰直角△．已知点是斜边的中点，且，则的边上的高为 　　．

15．（5分）直三棱柱中，若，，，则点到平面的距离为 　　．
16．（5分）在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积为 　　
四、解答题：本大题共6小题。共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计总体中成绩落在，中的学生人数；
（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，平均数；

18．（12分）在中，．
（1）若，的面积为，求；
（2）若，求周长的最大值．
19．（12分）已知平面向量，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求与的夹角．
20．（12分）如图，在三棱柱中，，侧面为菱形．
（1）求证：平面平面；
（2）如果点，分别为，的中点，求证：平面．

21．（12分）已知在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示 “”表示答对，“”表示答错）
题号
学生编号
1
2
3
4
5
1





2





3





4





5





6





7





8





9





10





（1）根据题中数据，将被抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数．
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数





实测难度





（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率．
（3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度，2，，．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．
22．（12分）如图，圆锥顶点为，底面圆心为，其母线与底面所成的角为，和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为．
（1）证明：平面与平面的交线平行于底面；
（2）求二面角的余弦值．


2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题。每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）是虚数单位，复数，若，则　　
A． B．1 C．2 D．3
【分析】利用复数模的运算性质即可得出．
【解答】解：复数，若，则，解得．
故选：．
【点评】本题考查了复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为　　

A． B． C． D．
【分析】取的中点，连，，，，所以异面直线与所成角是，或其补角，在直角三角形中可求得．
【解答】解：取的中点，连，，，
，所以异面直线与所成角是，或其补角
易得平面，，
在直角三角形中，，，
，．
故选：．

【点评】本题考查了异面直线及其所成的角，属中档题．
3．（5分）已知，是不同的直线，，是不同的平面，若，，，则下列命题中正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据平面与平面之间的位置关系以及空间中直线间的位置关系进行判断
【解答】解：，，，
、，故本选项不符合题意；
、或，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意；
、，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．
4．（5分）钝角三角形的面积是，，，则等于　　
A．1 B．2 C． D．5
【分析】由三角形的面积公式求得角，再由余弦定理求得的值．
【解答】解：由题意，钝角的面积是
，
，
或（不合题意，舍去）；
，
由余弦定理得：，
解得的值为．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．
5．（5分）如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为，则其表面积的值为　　
A． B． C． D．
【分析】先由正四面体的体积为，计算正四面体的棱长，即可计算表面积的值．
【解答】解：设正四面体，棱长为，高为，为底面正三角形外心（重心），
底面正三角形高为，，
，，
，
，
表面积
故选：．
【点评】本题考查正四面体的体积、表面积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
6．（5分）已知向量，，，若，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由向量的平行的坐标表示方法可得若，则，变形可得，结合平方关系可得，结合的范围解可得的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，，
若，则，变形可得，
又由，则有，
变形可得：，
解可得或，
又由，则；
故选：．
【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及三角函数的化简求值，属于基础题．
7．（5分）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为　　

A． B． C． D．
【分析】利用，结合已知条件可把求出，由平面向量基本定理，都可用已知向量，表示，可求数量积．
【解答】解：，，
，，即，又，
则，，，，
则，
故选：．

【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的几何意义，共线以及计算，考查计算能力．
8．（5分）如图，过圆外一点作圆的切线，，切点分别为，，现将△沿折起到，使点在圆所在平面上的射影为圆心，若三棱锥的体积是圆锥体积的．则　　

A． B． C．或 D．或
【分析】设，把棱锥的体积用含有角的三角函数表示，然后由棱锥与圆锥的体积比求得，则答案可求．
【解答】解：设，则，
可得，或，
当时，在底面上的射影不可能为，舍去，
则，
故选：．
【点评】本题考查棱锥与圆锥体积的应用，考查运算求解能力，是基础题．
二、多项选择题：本大题共4小题。每小题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对得5分，都分选对得2分，其他情况不得分。
9．（5分）某家庭将2018年1月至2019年12月期间每月的教育投入（单位，千元）绘制成如图所示的折线图，根据该图，下列结论正确的是　　

A．2019年的教育总投入要高于2018年的教育总投入
B．2018年与2019年中月教育投入最多的均在8月份
C．2018年与2019年的月教育投入逐月增加
D．2018年与2019年中每年9月至12月的月教育投入变化比较平稳，波动性较小
【分析】利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．
【解答】解：由折线图可知，2019年的教育总投入要高于2018年的教育总投入，故选项正确；
在每年的8月份，月教育投入均达到高峰，故选项正确；
2018年2月与3月，8月到9月的月教育投入均减少了，故选项错误；
由折线图可知，每年9月至12月的月教育投入变化比较平稳，波动性较小，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．
10．（5分）已知复数为虚数单位），为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有　　
A．在复平面内对应的点位于第二象限
B．
C．的实数部分为
D．的虚部为
【分析】先根据条件求出；再结合其定义以及几何意义即可求得答案．
【解答】解：因为复数为虚数单位），为的共轭复数，
则复数；
故对应的点为，；
；
且的实部为：，虚部为：；
故选：．
【点评】本题考查了复数的实部与虚部的简单应用，复数的代数表示法及其几何意义，是中档题．
11．（5分）现有分在问一组的三个代表队参加党史知识竞赛，若对于某个问题3个队回答正确的概率分别为，，，则关于该问题的回答情况，以下说法中正确的是　　
A．3个队都正确的概率为
B．3个队都不正确的概率为
C．出现恰有1个队正确的概率比出现恰有2个队正确的概率大
D．出现恰有2个队正确的概率比出现恰有1个队正确的概率大
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式分别求出概率即可判断．
【解答】解：对于个队都正确的概率，正确，
对于个队都不正确的概率，正确，
对于（恰有1个队正确），
（恰有2个队正确），正确，错误．
故选：．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式的应用，是中档题．
12．（5分）正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点．则　　

A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点和点到平面的距离相等
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系
则，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，，2，，
对于，，0，，，2，，
，直线与直线不垂直，故错误；
对于，，2，，，2，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
，平面，
直线与平面平行，故正确；
对于，连接，，，分别是，的中点，
面截正方体所得的截面为梯形，
面截正方体所得的截面面积为：
，故正确；
对于，由知平面的法向量，1，，
点到平面的距离，
点到平面的距离，
点和点到平面的距离相等，故正确．
故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
三、填空题：本大题共4小题5个空，每题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上。
13．（5分）下列数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的下四百分位数为 　3　，90百分位数为 　　．
【分析】根据百分位数的定义，求出该组数据的下四百分位数和90百分位数．
【解答】解：因为，
，
所以数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的下四百分位数为3，
90百分位数为．
故答案为：3；9.5．
【点评】本题考查了百分位数的定义与应用问题，是基础题．
14．（5分）用斜二侧法画水平放置的的直观图，得到如图所示等腰直角△．已知点是斜边的中点，且，则的边上的高为 　　．

【分析】根据直观图是等腰直角△，求出的值，再根据直观图画法规则求出的高．
【解答】解：因为直观图是等腰直角△，，，
所以；
根据直观图平行于轴的长度变为原来的一半，
所以的高为．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面图形的直观图与原图形的关系应用问题，是基础题．
15．（5分）直三棱柱中，若，，，则点到平面的距离为 　　．
【分析】由已知可以证明平面平面，通过面面垂直的性质定理，过点作，则的长即为点到平面的距离，利用几何知识求解即可．
【解答】解：因为为直三棱柱
所以有，，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以过点作，则的长即为点到平面的距离，
在△中，，
所以点到平面的距离为．
故答案为：．

【点评】本题考查了点到面的距离，一般的方法是通过几何作图，直接求出点到面的距离，另一种方法是利用等体积法进行求解．
16．（5分）在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积为 　　
【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．
【解答】解：如图所示，，，
，，
设，则
，，
由勾股定理可得，
，
四面体的外接球的表面积为，
故答案为：．

【点评】本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四面体的外接球的半径是关键，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．
四、解答题：本大题共6小题。共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计总体中成绩落在，中的学生人数；
（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，平均数；

【分析】（1）由频率分布直方图列方程能求出．
（2）由频率分布直方图得成绩落在，中的频率为0.1，由此能估计总体中成绩落在，中的学生人数．
（3）根据频率分布直方图能估计20名学生数学考试成绩的众数和平均数．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
，
解得．
（2）由频率分布直方图得成绩落在，中的频率为，
估计总体中成绩落在，中的学生人数为：
人．
（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数为：，
平均数为：．
【点评】本题考查频率、频数、众数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
18．（12分）在中，．
（1）若，的面积为，求；
（2）若，求周长的最大值．
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，推出，由，可得的值，最后由余弦定理，得解；
（2）结合余弦定理和基本不等式，可得，从而得解．
【解答】解：（1）由正弦定理知，，
，
，即，
，
，
，，
，，
，，
由余弦定理知，，
．
（2）由余弦定理知，，
，
，当且仅当时，取等，
周长的最大值为．
【点评】本题主要考查解三角形，还涉及利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（12分）已知平面向量，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求与的夹角．
【分析】（1）对的两边平方进行数量积的运算即可得出，然后代入坐标即可求出的值；
（2）时，可得出和的坐标，可设和的夹角为，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出的值，进而可得出的值．
【解答】解：（1），，
，
，，解得；
（2）时，，，，
设与的夹角为，则，且，，
．
【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量坐标的加法、减法、数乘和数量积运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
20．（12分）如图，在三棱柱中，，侧面为菱形．
（1）求证：平面平面；
（2）如果点，分别为，的中点，求证：平面．

【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面；
（2）根据线面平行的判定定理进行证明即可．
【解答】解：（1）因三棱柱的侧面为菱形，
故．分
又，且，为平面内的两条相交直线，
故平面．分
因平面，
故平面平面．分
（2）如图，取的中点，连，．
又为的中点，故，．
因平面，平面，
故面．分
同理，面．
因，为平面内的两条相交直线，
故平面面．分
因平面，
故面．分．

【点评】本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．
21．（12分）已知在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示 “”表示答对，“”表示答错）
题号
学生编号
1
2
3
4
5
1





2





3





4





5





6





7





8





9





10





（1）根据题中数据，将被抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数．
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数





实测难度





（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率．
（3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度，2，，．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．
【分析】（1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度列表统计，能估计120人中答对第5题的人数．
（2）记编号为的学生为，，2，3，4，，从编号为1到5的5人中随机抽取2人，基本事件总数，恰好有1人答对第5题包含的基本事件有6个，由此能求出恰好有1人答对第5题的概率．
（3）求出，由，得到该次测试的难度预估合理．
【解答】解：（1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
8
8
8
7
2
实测难度
0.8
0.8
0.8
0.7
0.2
估计120人中有人答对第5题．
（2）记编号为的学生为，，2，3，4，，
从编号为1到5的5人中随机抽取2人，基本事件总数，
恰好有1人答对第5题包含的基本事件有6个，分别为：
，，，，，，，，，，，，
恰好有1人答对第5题的概率．
（3）定义统计量，其中为第题的实测难度，
为第题的预估难度，2，，．
，
，该次测试的难度预估合理．
【点评】本题考查频数、概率、预估难度的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22．（12分）如图，圆锥顶点为，底面圆心为，其母线与底面所成的角为，和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为．
（1）证明：平面与平面的交线平行于底面；
（2）求二面角的余弦值．

【分析】（1）设平面与平面的交线为，证明平面，推出，然后证明与底面平行；
（2）说明二面角为，设的中点为，连接，，为与平面所成的角，通过求解三角形推出结果即可．
【解答】（1）证明：设平面与平面的交线为，
，平面，平面，
面，平面与平面的交线为，，
在底面上，在底面外，
与底面平行；
（2）因为，，所以二面角为，
设的中点为，连接，，
由圆的性质，，，
底面，底面，，
，
平面，
平面，
平面平面，
直线在平面上的射影为直线，
为与平面所成的角，
由题设，设，则，
，，
，
，
，
在中，，
．

【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
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日期：2021/8/23 17:43:28；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394