2020-2021学年江苏省扬州市仪征中学、江都中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市仪征中学、江都中学高二（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省扬州市仪征中学、江都中学高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
1．（5分）已知，，则下列选项必定正确的是　　
A． B． C． D．
2．（5分）在数列中，，，则　　
A．0 B． C． D．3
3．（5分）已知命题，则是　　
A． B． C． D．
4．（5分）已知等比数列满足，，则　　
A．21 B．42 C．63 D．84
5．（5分）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为　　
A．，0 B．，0 C．， D．，
6．（5分）设命题，命题，则命题是命题的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）一百个高矮互不相同的士兵，排成一个十行十列的方阵．现在从每行中选出一个最高的，再从这些最高的中选出一个最矮的，其高度记为（高中矮）；然后从每列中选出一个最矮的，再从这个最矮的中间选出一个最高的，其高度记为（矮中高），则　　
A．（高中矮）（矮中高） B．（高中矮） （矮中高）
C．（高中矮）（矮中高） D．（高中矮）（矮中高）
8．（5分）已知、为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．（5分）已知曲线．　　
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，，则是两条直线
10．（5分）下列不等式成立的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
11．（5分）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．与均为的最大值
12．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是　　
A．曲线关于坐标原点对称
B．曲线上任意一点到原点的距离的最小值为1
C．曲线上任意一点到原点的距离的最大值为
D．曲线所围成的区域的面积大于4
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程是　　．
14．（5分）设双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为　　．
15．（5分）在等差数列中，满足，且，则的最小值为　　．
16．（5分）一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为，当，时，符合条件的共有　　个．
四、解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知，
（1）若，求集合；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（12分）在①，②，，③，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
设等差数列的前项和为，数列为等比数列，____，，．求数列的前项和．
19．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为，，点满足．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，若椭圆的长轴长为，求的面积．
20．（12分）已知数列的前项和为，，，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前项和为，已知，若不等式对于恒成立，求实数的最大值．
21．（12分）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点，，为椭圆上的动点，，，三点共线，直线，的斜率分别为，．
证明：；
若，设直线过点，直线过点，证明：为定值．
22．（12分）某商家销售某种商品，已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进货固定价为3百元，另一部分为进货浮动价，据市场调查，该产品的销售单价与日销售量的关系如表所示：
销售单价（单位：百元）
4
5
6
7
8
日销售量（单位：件）
110
100
90
80
70
该产品的进货浮动价与日销售量关系如表所示：
日销售量（单位：件）
120
100
90
60
45
进货浮动价（单位：百元）
0.75
0.9
1
1.5
2
（1）分别建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品日销售量与销售单价的关系、进货浮动价与日销售量的关系；
【注：可选的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数指数函数、对数函数、幂函数】
（2）运用（1）中的函数模型判断，该产品销售单价确定为多少元时，单件产品的利润最大？
【注：单件产品的利润单件售价（进货浮动价进货固定价）】

2020-2021学年江苏省扬州市仪征中学、江都中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
1．（5分）已知，，则下列选项必定正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质求出，的范围及其关系即可．
【解答】解：由，，得：，，，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是一道基础题．
2．（5分）在数列中，，，则　　
A．0 B． C． D．3
【分析】直接利用数列的递推关系式的应用求出结果．
【解答】解：数列中，，，
当，解得时，
当时，解得．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
3．（5分）已知命题，则是　　
A． B． C． D．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，可以求出．
【解答】解：因为命题是全称命题，所以利用全称命题的否定是特称命题可得：
．
故选：．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，要求掌握含有量词的命题的否定的两种形式，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
4．（5分）已知等比数列满足，，则　　
A．21 B．42 C．63 D．84
【分析】由已知，，，利用等比数列的通项公式可求，然后在代入等比数列通项公式即可求．
【解答】解：，，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．
5．（5分）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为　　
A．，0 B．，0 C．， D．，
【分析】时，恒成立；时，结合二次函数的性质列出不等式组，由此可求实数的取值范围．
【解答】解：时，恒成立，故满足题意；
时，，
．
实数的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查恒成立问题，解题的关键是正确分类讨论，属于中档题．
6．（5分）设命题，命题，则命题是命题的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】解关于，的不等式，根据集合的包含关系，判断即可．
【解答】解：命题，解得：或，
命题“ “，解得：或，
故命题是命题的充分不必要条件，
故选：．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，属于基础题．
7．（5分）一百个高矮互不相同的士兵，排成一个十行十列的方阵．现在从每行中选出一个最高的，再从这些最高的中选出一个最矮的，其高度记为（高中矮）；然后从每列中选出一个最矮的，再从这个最矮的中间选出一个最高的，其高度记为（矮中高），则　　
A．（高中矮）（矮中高） B．（高中矮） （矮中高）
C．（高中矮）（矮中高） D．（高中矮）（矮中高）
【分析】设“高中矮”为，“矮中高”为，分三种情况讨论，都有不矮于．
【解答】解：设“高中矮”为，“矮中高”为，如图所示：








































































①如果，在同一行，比如在处，因为是该行中最高者，所以不矮于，
②如果，在同一列，比如在处，因为是该列中最矮者，所以不矮于，
③如果，既不同行又不同列，选择一个中间量作参照，设与同行，与同列，
因为是该行中最高者，所以不矮于，
又因为是该列中最矮者，所以不矮于，
所以不矮于，
综上所述，不论哪种情况，都有不矮于，即（高中矮）（矮中高）．
故选：．
【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．
8．（5分）已知、为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【分析】由题意可得，，，求得，角的平分线定理，结合离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：由题意可得，，，
直线的方程为，
由，可得，即，
由平分角，可得，即，
由，化简可得，
则．
故选：．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．（5分）已知曲线．　　
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，，则是两条直线
【分析】根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可．
【解答】解：．若，则，则根据椭圆定义，知表示焦点在轴上的椭圆，故正确；
．若，则方程为，表示半径为的圆，故错误；
．若，，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，
若，，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，
故正确；
．当，时，则方程为表示两条直线，故正确；
故选：．
【点评】本题考查圆锥曲线方程的定义，属于中档题．
10．（5分）下列不等式成立的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．
【解答】解：．，则，正确；
．若，则可能小于0，例如，，因此不正确；
．若，则，时取等号，因此不正确；
．若，，则，正确．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（5分）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．与均为的最大值
【分析】利用结论：时，，易推出，，，然后逐一分析各选项，排除错误答案．
【解答】解：由得，即，
又，
，
，故正确；
同理由，得，
，故正确；
而选项，即，可得，由结论，，显然选项是错误的．
，，与均为的最大值，故正确；
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的前项和公式和的最值问题，熟练应用公式是解题的关键．
12．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是　　
A．曲线关于坐标原点对称
B．曲线上任意一点到原点的距离的最小值为1
C．曲线上任意一点到原点的距离的最大值为
D．曲线所围成的区域的面积大于4
【分析】对于，将换成，换成，方程不变，即可判断；
对于，由，即可判断；
对于，由，可得，，即可判断，
对于，通过方程可得：当时；当时，；
即第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，即可判断．
【解答】解：对于，将换成，换成，方程不变，所以图形关于对称；故正确；
对于，因为，曲线上任意一点到原点的距离的最小值为1，故正确；
对于，因为，所以，，
即可得到曲线上任意一点到原点的距离的最大值为，故正确；
对于，令，可得，
记函数，可得△，所以函数有两个零点，
又因为，（1），故两个零点一个小于0，一个大于1，
即曲线上横坐标时；同理时，；
即第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，
根据图象的对称性可得面积应大于4，故正确．．
故选：．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，也考查了新定义的应用问题，是中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程是　　．
【分析】由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，并求得值，则答案可求．
【解答】解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，
设其方程为，
则其准线方程为，得．
该抛物线的标准方程是．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，是基础的计算题．
14．（5分）设双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为　　．
【分析】根据题意，由双曲线的渐进性方程分析可得，进而由双曲线的几何性质可得，由双曲线的离心率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，
则有，解得，又，所以
则该双曲线的离心率；
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是分析、之间的关系．
15．（5分）在等差数列中，满足，且，则的最小值为　　．
【分析】由等差数列的性质得：等差数列中，满足，且，即且，，
由重要不等式得：则，得解．
【解答】解：因为等差数列中，满足，且，
所以且，，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查了等差数列的性质及重要不等式，属中档题．
16．（5分）一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为，当，时，符合条件的共有　135　个．
【分析】由题意可设，，，则，对整除5的余数分情况讨论，即可求出符合题意的的值，进而求出符合题意的的值，再结合，即可求出符合条件的的个数．
【解答】解：由题意可设，，，
则，设，
当时，，不存在，
当时，，，不存在，
当时，，，，满足题意，
当时，，，不存在，
当时，，，不存在，
，又，，
，解得：，
，，1，2，，134，
符合条件的值有135个．
故答案为：135．
【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是中档题．
四、解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知，
（1）若，求集合；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）把代入，求解一元二次不等式可得；
（2）求解一元二次不等式化简集合，把是的充分不必要条件转化为两集合间的关系列式求解实数的取值范围．
【解答】解：（1）当时，；
（2）．
，．
是的充分不必要条件，，得等号不能同时成立，
解之得．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题．
18．（12分）在①，②，，③，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
设等差数列的前项和为，数列为等比数列，____，，．求数列的前项和．
【分析】先由题设条件求出与，再求得，然后利用分组求和与裂项相消法求数列的前项和．
【解答】解：选①：
当时，，当时，，又满足，所以．设的公比为，又因为，得，，所以；
由数列的前项和为，又可知，
数列的前项和为，
故．
选②：
设公差为，由解得
所以．设的公比为，又因为，得，，所以．
由数列的前项和为，又可知，数列的前项和为，故．
选③：
由，，所以，所以．
设的公比为，
又因为，得．
由数列的前项和为，又可知，
数列的前项和为，
故．
【点评】本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法及裂项相消法与分组求和在数列求和中的应用，属于中档题．
19．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为，，点满足．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，若椭圆的长轴长为，求的面积．
【分析】（1）利用已知条件，结合椭圆的性质，求解椭圆的离心率即可．
（2）利用椭圆的长轴长求出，得到，然后求解，求出椭圆方程，求出的方程，联立直线与椭圆的方程，通过韦达定理，转化求解三角形的面积．
【解答】解：（1）椭圆的左、右焦点分别为，，点，
，
，可得，，
，
又．
（2），
，

设，，，，
联立得：，
，
．
的面积为：．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20．（12分）已知数列的前项和为，，，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前项和为，已知，若不等式对于恒成立，求实数的最大值．
【分析】（1）由，得，两式相减得，变形为，进而证明结论．
（2）由，又由（1）可知，得，利用错位相减法及其等比数列的求和公式可得，根据，及其数列的单调性，即可得出实数的最大值．
【解答】（1）证明：由，
得，
两式相减得，所以，
因为，所以，，．
所以是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）解：由，又由（1）可知，得，
从而，
即，
因为，则，
两式相减得，
所以．
由恒成立，即恒成立，
又，
故当时，单调递减；当时，；
当时，单调递增；当时，；
则的最小值为，所以实数的最大值是．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点，，为椭圆上的动点，，，三点共线，直线，的斜率分别为，．
证明：；
若，设直线过点，直线过点，证明：为定值．
【分析】（1）设椭圆的半焦距为，运用离心率公式，由双曲线的渐近线方程可设，代入两点的距离公式，求得的坐标，代入椭圆方程，解方程可得，，进而得到所求椭圆方程；
（2）可设，，，，，，代入椭圆方程，两式相减，结合直线的斜率公式，即可得证；
可设，，解方程求得两斜率，求得直线，，联立椭圆方程，运用韦达定理，即可得到定值．
【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，
所以①，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以可设双曲线与椭圆在第一象限的交点为，所以，即，
因为在椭圆上，所以，即②，
由①②可得，，
所以椭圆的方程为；
（2）证明：由题意可得，关于原点对称，可设，，，，，，
因为，在椭圆上，所以，，所以，，
所以；
证明：可设，，因为，，所以，，
因为直线过点，直线过点，
所以直线，，
由可得，所以；
由可得，所以，
所以，
所以为定值．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题．
22．（12分）某商家销售某种商品，已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进货固定价为3百元，另一部分为进货浮动价，据市场调查，该产品的销售单价与日销售量的关系如表所示：
销售单价（单位：百元）
4
5
6
7
8
日销售量（单位：件）
110
100
90
80
70
该产品的进货浮动价与日销售量关系如表所示：
日销售量（单位：件）
120
100
90
60
45
进货浮动价（单位：百元）
0.75
0.9
1
1.5
2
（1）分别建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品日销售量与销售单价的关系、进货浮动价与日销售量的关系；
【注：可选的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数指数函数、对数函数、幂函数】
（2）运用（1）中的函数模型判断，该产品销售单价确定为多少元时，单件产品的利润最大？
【注：单件产品的利润单件售价（进货浮动价进货固定价）】
【分析】（1）根据表中数据，故可设，利用待定系数法即可求出，再根据设，由题意可得，即可求出，
（2）由题意可得，利用基本不等式即可求出单件产品售价定为1200元时，单件产品的利润最大，为600元
【解答】解：（1）根据表中数据，销售单价每增加1百元，日销量减少10件，所以销售单价与销售量为一次函数的关系，故可设，
由，解得，，
即，
又根据表中数据，日销售量和进货浮动价的积为一个固定常数90，考虑其为一个反比例函数关系，设，由题意可得，
于是，
（2）由，可得，设单件产品的利润为百元，
则，
因为，
所以，
所以，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故单件产品售价定为1200元时，单件产品的利润最大，为600元．
【点评】本题考查了利用函数模型解决实际问题，考查了运算求解能力，应用意识和创新意识，属于中档题
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日期：2021/2/24 20:21:50；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394