2020-2021学年江苏省镇江一中高二（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省镇江一中高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）某校的足球，乐器演奏，航模爱好三个兴趣小组的人数分别为200，150，100，若用分层抽样方法抽取名学生参加某项活动，已知从航模小组中抽取了2名学生，则的值为　　

A．9 B．10 C．11 D．12

2．（5分）已知一组数据1，2，3，4，5，那么这组数据的方差为　　

A． B．2 C． D．3

3．（5分）对某同学7次考试的数学成绩和物理成绩进行分析，下面是该生7次考试的成绩．

发现他的物理成绩与数学成绩是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为，若该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩大约是　　

A．114.5 B．115 C．115.5 D．116

4．（5分）设是等差数列的前项和，已知，，则等于　　

A．13 B．35 C．49 D．63

5．（5分）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为4，则　　

A．1 B．2 C．4 D．8

6．（5分）如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为　　

A． 

B．截面 

C． 

D．异面直线与所成的角为

7．（5分）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大街之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，记该数列为，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且．记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．（5分）是衡量空气质量的重要指标，如图是某地7月1日到10日的日均值（单位：的折线图，则下列关于这10天中日均值的说法正确的是　　

A．众数为30 

B．中位数是31 

C．平均数小于中位数 

D．后4天的方差小于前4天的方差

10．（5分）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是　　

A．此人第二天走了九十六里路 

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 

C．此人第三天走的路程占全程的 

D．此人后三天共走了42里路

11．（5分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是　　

A．圆柱的侧面积为 

B．圆锥的侧面积为 

C．圆柱的侧面积与球面面积相等 

D．圆锥的表面积最小

12．（5分）已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，2，3，，，，，组成公差为的等差数列，则　　

A．该椭圆的焦距为6 B．的最小值为2 

C．的值可以为 D．的值可以为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有　　种．

14．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　　．

15．（5分）已知数列为等差数列，其前项和为，且，若存在最大值，则满足的的最大值为　 　．

16．（5分）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，则的坐标为　　，直线与椭圆交于，两点，且的重心恰为点，则直线斜率为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图．（1）求值；

（2）估计该地学生跳绳次数的中位数和平均数．

18．（12分）（1）用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？

（2）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则有多少个不同的排法？

19．（12分）（1）已知．

求：①；

②．

（2）在的展开式中，

求：①展示式中的第3项；

②展开式中二项式系数最大的项．

20．（12分）已知数列数列的前项和且，，，且．

（1）求的值，并证明：；

（2）求数列的通项公式．

21．（12分）如图1，在梯形中，，，，，梯形的高为1，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，连接，，如图2．

（1）证明：平面平面；

（2）求图2中平面与平面所成锐二面角的余弦值．

22．（12分）如图，已知椭圆，左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点．

（1）若，求椭圆的离心率；

（2）若，求直线的斜率；

（3）若成等差数列，椭圆的离心率，求直线的斜率的取值范围．

2020-2021学年江苏省镇江一中高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【解答】解：由分层抽样的定义可得，解得，

故选：．

2．【解答】解：根据题意，数据1，2，3，4，5，其平均数，

则其方差；

故选：．

3．【解答】解：由题意可知，

，

因为回归直线经过样本中心，

所以，解得，

线性回归方程为，

该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩大约是：．

故选：．

4．【解答】解：因为，

所以

故选：．

5．【解答】解：由题意，设，，可得，，，，

可得，可得，

解得．

故选：．

6．【解答】解：因为截面是正方形，所以、，

则平面、平面，

所以，，

由可得，故正确；

由可得截面，故正确；

异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；

，．

，，

而当时，由，知，

故错误．

故选：．

7．【解答】解：奇数项分别为0，4，12，24，40，，即，，，，，，

所以为正奇数），所以，

所以．

故选：．

8．【解答】解：不妨取点在第一象限，设，，，

在△中，由余弦定理知，，即①，

由椭圆的定义知，，即②，

由双曲线的定义知，，即③，

由①②可得，，，

由①③可得，，，

，化简得，，

两边同时除以，得，当且仅当时，等号成立，

，

的最大值为．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．【解答】解：把折线图中的日均值按照由小到大的顺序排列为：17，25，30，30，31，32，34，38，42，126．

所以众数为30，选项正确；

最中间的两位数为31，32，所以中位数为，选项错误；

平均数为，选项错误；

后4天的日均值更集中，所以方差更小，选项正确．

故选：．

10．【解答】解：设此人第天走里路，则是首项为，公比为的等比数列，

由等比数列前项和公式得，解得，

在中，，此人第二天走了九十六里路，故正确；

在中，，，此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故正确；

在中，，，故错误；

在中，，故正确．

故选：．

11．【解答】解：对于，圆柱的底面直径和高都与一个球的直径相等，

圆柱的侧面积为，故错误；

对于，圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，

圆锥的侧面积为，故错误；

对于，圆柱的侧面积为，球面面积为，

圆柱的侧面积与球面面积相等，故正确；

对于，圆柱的表面积为，

圆锥的表面积为，

球的表面积为，

圆锥的表面积最小，故正确．

故选：．

12．【解答】解：由椭圆的方程可得：，，

所以，正确，

由椭圆的性质可得，即，所以的最小值为2，正确，

设，，，组成公差为的等差数列为，

则，，又，所以，

即，所以的最大值为，故正确，错误，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：

①甲同学选择牛，乙有2种选择，丙有10种选择，此时选法有种，

②甲同学选择马，乙有3种选择，丙有10种选择，此时选法有种，

所以总共有种；

故答案为：50

14．【解答】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，

如图，圆锥母线，底面半径，

则其高，

不妨设该内切球与母线切于点，

令，由，则，

即，解得，

，

故答案为：．

15．【解答】解：由，可得：，数列的前项和为有最大值时，

，，因此，

，，

满足的的最大值为19．

故答案为：19．

16．【解答】解：由椭圆的方程可得：，，所以，可得，所以上顶点，

所以椭圆的方程为：；

设直线的方程为：，设，，，，

将直线的方程与椭圆的方程联立整理可得：，

△，

可得：，，所以，

所以的中点，，

因为为三角形的重心，所以，即，，，

所以，即两式相比可得，

故答案分别为：，．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解答】解：（1）由题意，，

解得．

（2）设中位数为，则，

解得．

平均数为．

18．【解答】解：（1）根据题意，考虑“0”是特殊元素，分2种情况讨论：

当0排在末位时，有个三位偶数，

当0不排在末位时，有个三位偶数，

则符合题意的偶数共有个；

（2）根据题意，分2种情况讨论：

最左端排甲，共有种排法，

最左端只排乙，最右端不能排甲，有排法，

共有种排法．

19．【解答】解：（1）令，则，

令，则．

①．

②展开式中，、、、都大于零，而、、、都小于零，

，

令，则．．

（2）的展开式中第项为，

①当时，所以展示式中的第3项为．

②或3时，二项式系数最大，时，由（1）知，时，．

20．【解答】解：（1）在中，令，得，

，，

又由，得，

两式相减得，

，；

（2）由（1）可知，数列，，，，为等差数列，公差为2，首项为1，

当为奇数时，，

数列，，，，为等差数列，公差为2，首项为，

当为偶数时，，

综上所述，．

21．【解答】（1）证明：如图，梯形中，

过点作于点，连接，

由题意知，，．

由，可得，

则，（2分）

，．

又，，

四边形为正方形，．（4分）

在四棱锥中，

平面平面，

平面平面，，

平面．

平面，．

，且，平面，

平面．

又平面，平面平面．（6分）

（2）解：在四棱锥中，

以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

可得，0，，，0，，，1，，，2，，，0，．

平面平面，

平面平面，，

平面，

是平面的一个法向量，（8分）

设平面的一个法向量为，，，

，，

，即，

取，则，，，1，．（10分）

，（11分）

平面与平面所成锐二面角的余弦值为．（12分）

22．【解答】解：（1）

（2）设直线的方程为，

，

（3）设，则

在第一象限

又由已知，

，

（令，

，

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日期：2021/4/10 17:53:36；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394