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    2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷
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    2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷

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    这是一份2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷,共19页。试卷主要包含了命题“,”的否定是   ,是直线和直线平行的   条件,直线的倾斜角的取值范围是  等内容,欢迎下载使用。

    2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷

    .填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70.请将答案填写在答题卡指定位置处.

    1.(5分)命题的否定是   

    2.(5分)过点且垂直于直线的直线方程为  

    3.(5分)是直线和直线平行的   条件.

    (从充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要中,选出适当的一种填空)

    4.(5分)若圆的半径为1,点与点关于点对称,则圆的标准方程为  

    5.(5分)已知正方体分别是正方形的中心,则所成的角的大小是   

    6.(5分)直线的倾斜角的取值范围是  

    7.(5分)设棱长为的正方体的体积和表面积分别为,底面半径高均为的圆锥的体积和侧面积分别为,若,则的值为  

    8.(5分)直线被圆截得的弦长为2,则实数的值是   

    9.(5分)在平面直角坐标系中,已知椭圆过点,离心率为,则椭圆的方程为   

    10.(5分)已知是两个不同的平面,是两条不同直线,.给出下列命题:

     

    其中正确的命题是    (填写所有正确命题的序号).

    11.(5分)已知实数满足方程,则的取值范围是   

    12.(5分)已知圆与圆相外切,则的最大值为   

    13.(5分)若圆,关于直线对称,则由点向圆所作的切线长的最小值为  

    14.(5分)在平面直角坐标系中,已知椭圆与不过坐标原点的直线相交与两点,线段的中点为,若的斜率之积为,则椭圆的离心率为   

    .解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

    15.(14分)(1)求过点,斜率是直线的斜率的的直线方程;

    2)求经过点,且在轴上的截距等于在轴上截距的2倍的直线方程.

    16.(14分)如图,过底面是矩形的四棱锥的顶点,使,且平面平面,若点上且满足.求证:

    1平面

    2)平面平面

    17.(14分)在平面直角坐标系中,设命题:椭圆的焦点在轴上;命题:直线与圆有公共点.若命题为假命题,且命题为真命题,求实数的取值范围.

    18.(16分)如图,在三棱锥中,已知是正三角形,平面点,上,且

    1)求三棱锥的体积;

    2)求证:平面

    3)若中点,在棱上,且,求证:平面

    19.(16分)如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆及其上一点

    1)设圆轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程;

    2)设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程;

    3)设点满足:存在圆上的两点,使得,求实数的取值范围.

    20.(16分)如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率,左顶点为,过点作斜率为的直线交椭圆于点,交轴于点

    1)求椭圆的方程;

    2)已知的中点,是否存在定点,对于任意的都有,若存在,求出点的坐标;若不存在说明理由;

    3)若过点作直线的平行线交椭圆于点,求的最小值.


    2020-2021学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二(上)期中数学试卷

    参考答案与试题解析

    .填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70.请将答案填写在答题卡指定位置处.

    1.(5分)命题的否定是  

    【分析】利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可.

    【解答】解:全称命题的否定是特称命题,

    命题的否定是的否定为:

    故答案为:

    【点评】本题考查命题的否定,熟练掌握全称命题的否定为特称命题是解题的关键.

    2.(5分)过点且垂直于直线的直线方程为  

    【分析】设与直线垂直的直线的方程为,把点的坐标代入求出值,即得所求的直线的方程.

    【解答】解:设所求的直线方程为,把点的坐标代入得

    故所求的直线的方程为

    故答案为

    【点评】本题考查利用待定系数法求直线的方程,与垂直的直线的方程为的形式.

    3.(5分)是直线和直线平行的 充分不必要 条件.

    (从充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要中,选出适当的一种填空)

    【分析】,解得.经过验证可得,进而判断出结论.

    【解答】解:由,解得

    经过验证都满足条件,因此

    是直线和直线平行的充分不必要条件.

    故答案为:充分不必要.

    【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

    4.(5分)若圆的半径为1,点与点关于点对称,则圆的标准方程为  

    【分析】利用中点坐标公式求出圆心坐标,根据圆的半径写出方程.

    【解答】解:设点,由点与点关于点对称,

    利用中点坐标公式得:

    解得:

    又半径为

    所以圆的标准方程为:

    故答案为:

    【点评】本题考查了圆的标准方程与中点坐标公式的应用问题,是基础题.

    5.(5分)已知正方体分别是正方形的中心,则所成的角的大小是  

    【分析】要求线线角,关键是作出线线角,利用平行关系可得线线角.故可求.

    【解答】解:连接

    分别是正方形的中心,

    所成的角,

    中,

    所成的角的大小是

    故答案为:

    【点评】本题考查异面直线所成角的求法的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意异面直线所成角的合理运用.

    6.(5分)直线的倾斜角的取值范围是  

    【分析】根据题意,求出直线的斜率,分析可得,由直线的倾斜角与斜率的关系,计算可得答案.

    【解答】解:根据题意,直线变形为

    其斜率,则有

    则其倾斜角的范围为:

    故答案为:

    【点评】本题考查直线的倾斜角,关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系.

    7.(5分)设棱长为的正方体的体积和表面积分别为,底面半径高均为的圆锥的体积和侧面积分别为,若,则的值为  

    【分析】根据体积比得出的关系,代入面积公式求出面积比即可.

    【解答】解:圆锥的母线

    故答案为:

    【点评】本题考查了圆锥,正方体的体积和表面积计算,属于基础题.

    8.(5分)直线被圆截得的弦长为2,则实数的值是  

    【分析】由圆的方程,得到圆心与半径,再求得圆心到直线的距离,利用勾股定理解.

    【解答】解:圆可化为

    圆心为:,半径为:

    圆心到直线的距离为:

    直线被圆截得的弦长为2

    故答案为:

    【点评】本题考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,正确运用勾股定理是解题的关键.

    9.(5分)在平面直角坐标系中,已知椭圆过点,离心率为,则椭圆的方程为  

    【分析】根据题意,由椭圆的离心率公式可得,变形可得,又由椭圆经过点的坐标,可得,联立两式解可得的值,将的值代入椭圆的方程即可得答案.

    【解答】解:根据题意,椭圆的焦点在轴上,

    若其离心率,则有

    又由椭圆过点,则有

    联立两式解可得

    则椭圆的方程为:

    故答案为:

    【点评】本题考查椭圆的标准方程,注意由椭圆的离心率分析的关系.

    10.(5分)已知是两个不同的平面,是两条不同直线,.给出下列命题:

     

    其中正确的命题是 ①④  (填写所有正确命题的序号).

    【分析】中,由线面垂直的性质定理得;在中,相交、平行或异面;在中,相交或平行;在中,由已知得,从而

    【解答】解:由是两个不同的平面,是两条不同直线,,知:

    中,,由线面垂直的性质定理得,故正确;

    中,相交、平行或异面,故错误;

    中,相交或平行,故错误;

    中,,故正确.

    故答案为:①④

    【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

    11.(5分)已知实数满足方程,则的取值范围是  

    【分析】整理方程,可得方程表示以点为圆心,以为半径的圆,设,进而根据圆心的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值,确定出的范围,即为所求式子的范围.

    【解答】解:设,即

    整理方程,可得

    方程表示圆心坐标为,半径的半圆的部分),

    当直线与圆相切时,圆心到切线的距离,即

    解得:

    的取值范围是

    故答案为

    【点评】本题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:点到直线的距离公式,直线与圆相切时满足的条件,利用了转化的思想,求出直线与圆相切时斜率的值是解本题的关键.

    12.(5分)已知圆与圆相外切,则的最大值为  

    【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径,再由两圆外切可得,要使取得最大值,则同号,不妨取,则,然后利用基本不等式求得的最大值.

    【解答】解:圆的圆心坐标为,半径为2

    的圆心坐标为,半径为1

    由圆与圆相外切,

    可得,即

    要使取得最大值,则同号,不妨取,则

    故答案为:

    【点评】本题考查圆与圆位置关系的应用,训练了利用基本不等式求最值,是中档题.

    13.(5分)若圆,关于直线对称,则由点向圆所作的切线长的最小值为 4 

    【分析】圆的方程化为标准方程,圆心坐标代入直线,可得点在直线,过,作的垂线,垂足设为,则过作圆的切线,切点设为,则切线长最短,从而可得结论.

    【解答】解:圆可化为,圆心坐标为

    代入直线得:,即点在直线

    ,作的垂线,垂足设为,则过作圆的切线,切点设为,则切线长最短,

    于是有

    由勾股定理得:

    【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查圆的切线长的计算,确定切线长最短是关键.

    14.(5分)在平面直角坐标系中,已知椭圆与不过坐标原点的直线相交与两点,线段的中点为,若的斜率之积为,则椭圆的离心率为  

    【分析】.线段的中点.可得,相减可得:,利用中点坐标公式、斜率计算公式及其,即可得出,再利用离心率计算公式即可得出.

    【解答】解:设.线段的中点

    相减可得:

    代入可得:

    ,解得

    故答案为:

    【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

    .解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

    15.(14分)(1)求过点,斜率是直线的斜率的的直线方程;

    2)求经过点,且在轴上的截距等于在轴上截距的2倍的直线方程.

    【分析】1)斜率是直线的斜率的的直线斜率.利用点斜式可得.

    2)直线经过原点时满足条件:可得直线方程为:.直线不经过原点时,设直线方程为:,把点代入解得即可得出.

    【解答】解:(1)斜率是直线的斜率的的直线斜率

    利用点斜式可得:,化为:

    2)直线经过原点时满足条件:可得直线方程为:

    直线不经过原点时,设直线方程为:,把点代入可得:,解得

    化为:

    【点评】本题考查了直直线方程、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

    16.(14分)如图,过底面是矩形的四棱锥的顶点,使,且平面平面,若点上且满足.求证:

    1平面

    2)平面平面

    【分析】1)点中点,易证四边形是平行四边形,从而,利用线面平行的判断定理即可得到

    2)依题意,可证平面,利用面面垂直的判断定理即可证得面

    【解答】证明:(1

    四边形为平行四边形,

    平面平面

    平面7分)

    2平面平面,平面平面

    平面平面

    平面平面平面14分)

    【点评】本题考查直线与平面平行的判断与平面与平面垂直的判定,掌握线面平行的判断定理与面面垂直的判定定理是基础,属于中档题.

    17.(14分)在平面直角坐标系中,设命题:椭圆的焦点在轴上;命题:直线与圆有公共点.若命题为假命题,且命题为真命题,求实数的取值范围.

    【分析】若命题为真:由题可知,,解得范围.若命题为真:与圆有公共点,则圆心到直线的距离:,解得范围.根据命题为假命题,且命题为真命题,可得一真一假.

    【解答】解:若命题为真:由题可知,,解得3分)

    若命题为真:与圆有公共点

    则圆心到直线的距离:,解得7分)

    命题为假命题,且命题为真命题,

    假,则,解得10分)

    假,则,解得13分)

    综上:实数的取值范围是14分)

    【点评】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

    18.(16分)如图,在三棱锥中,已知是正三角形,平面点,上,且

    1)求三棱锥的体积;

    2)求证:平面

    3)若中点,在棱上,且,求证:平面

    【分析】1)直接利用体积公式,求三棱锥的体积;

    2)要证平面,先证,再证,即可.

    3的中点,连,设,连,只要即可.

    【解答】1)解:是正三角形,平面

    三棱锥的体积

    2)证明:取的中点

    的中点.

    的中点,.则

    是正三角形,

    平面

    平面

    平面

    3)解:连,设,连

    由条件知,的重心,

    时,

    平面平面

    平面

    【点评】本题考查棱锥的结构特征,证明线面垂直,线面平行,考查体积的计算,考查逻辑思维能力,是中档题.

    19.(16分)如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆及其上一点

    1)设圆轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程;

    2)设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程;

    3)设点满足:存在圆上的两点,使得,求实数的取值范围.

    【分析】1)设,则圆为:,从而得到,由此能求出圆的标准方程.

    2)由题意得,设,则圆心到直线的距离:,由此能求出直线的方程.

    3)任意,欲使,此时,,只需要作直线的平行线,使圆心到直线的距离为,由此能求出实数的取值范围.

    【解答】解:(1在直线上,

    轴相切,为:

    又圆与圆外切,圆,即圆

    ,解得

    的标准方程为

    2)由题意得,设

    则圆心到直线的距离:

    ,即

    解得

    直线的方程为:

    3,即

    ,即,解得

    对于任意,欲使

    此时,

    只需要作直线的平行线,使圆心到直线的距离为

    必然与圆交于两点,此时,即

    因此实数的取值范围为

    【点评】本题考查圆的标准方程的求法,考查直线方程的求法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运用.

    20.(16分)如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率,左顶点为,过点作斜率为的直线交椭圆于点,交轴于点

    1)求椭圆的方程;

    2)已知的中点,是否存在定点,对于任意的都有,若存在,求出点的坐标;若不存在说明理由;

    3)若过点作直线的平行线交椭圆于点,求的最小值.

    【分析】1)由椭圆的离心率和左顶点,求出,由此能求出椭圆的标准方程.

    2)直线的方程为,与椭圆联立,得,,由此利用韦达定理、直线垂直,结合题意能求出结果.

    3的方程可设为,与椭圆联立得点的横坐标为,由,能求出结果.

    【解答】解:(1椭圆的离心率,左顶点为

    ,又2分)

    椭圆的标准方程为4分)

    2)直线的方程为

    消元得,

    化简得,

    6分)

    时,

    的中点,的坐标为

    8分)

    直线的方程为,令,得点坐标为

    假设存在定点,使得

    ,即恒成立,

    恒成立,,即

    定点的坐标为10分)

    3的方程可设为

    ,得点的横坐标为12分)

    ,得

    14分)

    当且仅当时取等号,

    时,的最小值为16分)

    【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的定点是否存在的判断与求法,考查代数式的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意韦达定理、直线垂直、椭圆性质的合理运用.

    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布

    日期:2021/2/23 14:36:03;用户:高中数学12;邮箱:sztdjy76@xyh.com;学号:26722394

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