结构不良解三角形大题 专练-2024届高三数学一轮复习

备战2024届高考数学复习精练—结构不良解三角形大题

1．从下列三个条件①②③中任意选择两个条件填入空格：①；②AB＝AD；③sin∠BAD＝2sin∠ABC．已知D是△ABC的边BC上一点，AC＝CD，且满足条件      和      ．

(1)证明另一个条件成立；

(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

2．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，.

(1)证明：为等腰三角形；

(2)设的面积为，若         ，求的值.

在①；②；③三个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

3．已知，，分别是的内角，，所对的边，，再从下面条件①与②中任选个作为已知条件，完成以下问题．

(1)证明：为锐角三角形；

(2)若，为的内角平分线，且与边交于，求的长．

①；②．

4．在①；②的面积；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决该问题．

问题：在中，它的内角，，所对的边分别为，，，为锐角，，    ．

(1)求的最小值；

(2)若为上一点，且满足，判断的形状．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

5．在①c＝2bcos A，asin A－bsin B＝c（sin C－sin B）；②△ABC的面积S满足，且这两组条件中任选一组，补充在下面问题中，并作答．

已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若___，则△ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

(1)证明：．

(2)若D为BC的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

7．已知a，b，c分别是锐角的内角A，B，C所对的边，，再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题：

(1)证明：为等腰三角形；

(2)若的面积为，点D在线段AB上，且，求CD的长．

条件①：；条件②：．

8．在①；②；③向量与平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.

已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足        .

（1）求角C；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

9．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求出a的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，       ？

注：如果选择多个条件分别解签．按第一个解答计分．

10．在①；②；③的面积三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．

已知的内角、、的对边分别为，，，   ，是边上的一点，，且，，求线段的长．

11．已知的内角的对边分别为，.

(1)求角的大小；

(2)从以下三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，求的面积.

条作①：，

条件②：，

条什③：，

注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

参考答案

1．（1）若选择①②，设角所对的边分别为，

因为，且，所以是等边三角形，，

因为，中，根据余弦定理，

，即，

整理为，解得：（舍）或，

所以，

中，根据正弦定理，，

即，故③正确；

若选择①③，设角所对的边分别为，

因为，且，所以是等边三角形，，

所以，

中，根据正弦定理，，所以，

中，根据余弦定理，，

所以，即,故②正确；

若选择②③，设角所对的边分别为，

设，

因为，，所以，

中，根据余弦定理，，

因为,，即，

又因为，所以是等边三角形，，故①正确；

（2）因为外接圆的半径为1，根据正弦定理可知，，解得：，

根据（1）的证明可知，所以.

2．(1)因为，所以，

由余弦定理可知，，即，即为等腰三角形；

(2)选①，由（1）可知，，所以，

所以，

整理得，解得，

所以，所以，

又由，可得，

所以；

选②，因为，所以，解得，

所以，得，；

选③，因为，且，，所以，

所以，

所以，

所以.

3．(1)方案一：选条件①

由正弦定理，

又，，，

令，（），从而，

由，解得：或（舍去）

从而最大，又

为锐角三角形

方案二：选条件②

由正弦定理，

又，，，

令，（），从而，

解得：或（舍去）

从而最大，又

为锐角三角形

(2)方案一：选条件①

由，

∴

又由第一问可知：，∴，

法一：由，

∴，

由面积公式得：

由，从而，

解得：．

法二：，解得：

由角平分线定理，，

从而

在中，由余弦定理，，

解得：

方案二：选条件②

由，

又由第一问可知：，，，

由，解得：或（舍去）

法一：故，由，

∴，

由面积公式得：

由，从而，

解得：．

法二：由角平分线定理，，

从而

在中，由余弦定理，，

解得：

4．（1）选①，，

由正弦定理得，又是三角形内角，，

所以，而为锐角，所以，

，当且仅当时等号成立，所以．

选②，

，所以，是锐角，所以，

，当且仅当时等号成立，所以．

选③，，

由余弦定理，是锐角，所以．

，当且仅当时等号成立，所以．

（2）设，则，，，

中，，，，

中，，，

，

，，，所以，从而，

是直角三角形．

5．若选条件①，则是等边三角形．

∵，，整理得，即，

，由正弦定理，得

由余弦定理，得，又∵，∴．

又，故是等边三角形.

若选条件②，则不是等边三角形．

由余弦定理，得，即．

又，于是，

∴．又，∴．

故不是等边三角形．

6．（1）已知，由余弦定理可得，

即，又由正弦定理，得，

角A，B为△ABC中内角，所以.

（2）△ABC中, ，D为BC的中点，如图所示，

①②③

已知，，求证.

证明：，中，，

解得.

①③②

已知，，求证.

证明：，所以中，.

②③①

已知，，求证：.

证明：，在中，由余弦定理，

，所以

7．(1)因为，由正弦定理得，，

所以，，设，

选①：，，，为等腰三角形；

选②：，则，是锐角三角形，

则，，

，所以，为等腰三角形；

(2)

选①或②都一样：

由（1）不妨设设，

是中点，则，，

，，

，，，则，

．

8．（1）若选择①：由①及正弦定理可得，即，

由余弦定理得，∴.

若选择②：由②及正弦定理得，即，，

∵，∴，.

若选择③：由③可得，∴，

∴，.

（2）由已知及余弦定理可得，

由为锐角三角形可得且，解得，

面积.

9．由得，

因为 ，所以，

选①:

由题意得：，解得：，

由余弦定理可得：,

所以，所以问题中的三角形存在，且，

选②：

因为， 由正弦定理可得，

由余弦定理得：，

即，解得：或（舍）

所以存在问题中的三角形，且

选③：

由得：，故，

由正弦定理得：即，所以，

因为，

所以，

所以问题中的三角形存在，且.

10．

解：若选①，，可得，

可得，因为为三角形内角，，可得，

因为，所以，可得，

所以由余弦定理可得，可得，

在中，由正弦定理，可得， ，

所以，

在中，由正弦定理，可得，解得．

若选②，，由余弦定理可得，整理可得，可得，因为，所以，可得，

所以由余弦定理可得，可得，

在中，由正弦定理，可得，，

所以，

在中，由正弦定理，可得，解得．

若选③，的面积，结合余弦定理可得，可得，可得，因为，所以，可得，

所以由余弦定理可得，可得，

在中，由正弦定理，可得，，

所以，

在中，由正弦定理，可得，解得．

11．（1）由正弦定理得：，

又，，

，，，即，

，.

（2）若选条件①，由余弦定理得：，

即，解得：或，

三角形不唯一，不合题意；

若选条件②，由正弦定理得：，

由余弦定理得：，

即，解得：（舍）或，

满足题意的三角形唯一，满足题意；此时；

若选条件③，由余弦定理得：，

即，解得：（舍）或，

满足题意的三角形唯一，满足题意；此时.