第七章 数列 专练14—结构不良型问题（大题）-2022届高三数学一轮复习

第七章  数列专练14—结构不良型问题（大题）

1．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．

问题：已知为等差数列，设其前项和为，，______，是否存在正整数，（其中，使得成立？若存在，写出，满足的关系式；若不存在，请说明理由．

解：设等差数列公差为，

若选①，，

，

，

，

，

即，

，

，

，即存在正整数，，当时，使得成立．

若选②，，

，

，，

，

即，

，

，即存在正整数，，当时，使得成立．

若选③，，

，

，

，

，

，

，

即，

即，

，

，

，

，即不存在正整数，，使得成立．

2．在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面的问题中，给出解答．

已知数列的前项和为，满足 _____，_____，又知递增等差数列满足，且，，成等比数列．

（1）求和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

解：方案一：选择条件①②

（1）由题意，当时，，

即，

化简，得，

，，

当时，由，

可得，

两式相减，可得，

也满足上式，

数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

，，

设等差数列的公差为，

则，，

，，成等比数列，

，即，

化简整理，得，

解得（舍去），或，

，．

（2）由（1）知，，

则，

，

两式相减，

可得

，

．

方案二：选择条件①③

（1）由题意，当时，，

即，

化简，得，

将代入，可得，

此时选择条件①③并不能计算出或的值，

无法计算出数列的通项公式，

故方案二不成立．

方案三：选择条件②③

（1）由题意，当时，，

当时，由，

可得，

两式相减，可得，

也满足上式，

数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

，，

设等差数列的公差为，

则，，

，，成等比数列，

，即，

化简整理，得，

解得（舍去），或，

，．

（2）由（1）知，，

则，

，

两式相减，

可得

，

．

3．已知数列满足，数列的前项和为，若______，在以下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：

①；

②数列满足：，，且的前项和为；

③．

问题：

（1）求数列的通项公式；

（2）数列是首项和公比均为2的等比数列，求数列中有多少个小于2021的项．

解：（1）选①：

当，，

当，，

作差有，则，

又，符合，所以．

选②：，

又，所以，所以．

选③：

当，，，，

作差：，

所以，，有，

故数列为等差数列，，，

所以．

（2），，易知为单调递增数列，

又，，

所以，，，所以有9项符合．

4．在①；②，，成等比数列；③，这三个条件中任选两个，补充下面问题中，并解答本题．

已知等差数列的公差，其前项和为，且满足______，______．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

解：（1）由于①；

故：；

整理得，

②，，成等比数列；

整理得，故

③，

整理得，

选①②时，建立方程组，

解得，．

故．

选①③时，建立方程组，

解得，．

故．

选②③时，建立方程组，

解得，．

故．

（2）由（1）得：数列满足，

所以，

所以①，

②，

①②得：，

，

整理得：．

5．在①数列为递增的等比数列，，且是和的等差中项，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．

已知数列的前项和为，____，，设数列的前项和为，是否存在实数，使得恒成立？

【解答】解：（1）若选①时，数列为公比为的递增的等比数列，，且是和的等差中项，

故，解得，

整理得，

故或（舍去），

所以．

（2）由（1）得．

所以，

当时，使得恒成立，

故的最小值为1．

选②时，，

当时，

所以，（首项符合通项），

（2）由（1）得．

所以，

当时，使得恒成立，

故的最小值为1．

6．已知数列中，，______，其中．

（Ⅰ）求数列的通项公式：

（Ⅱ）设，求证：数列是等比数列；

（Ⅲ）求数列的前项和．

从①前项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．

解：选①，（Ⅰ）因为，时，，

则，；

（Ⅱ）证明：，

可得，

所以数列是首项为和公比均为4的等比数列；

（Ⅲ），

．

选②，（Ⅰ）由，，则，；

（Ⅱ）证明：，

可得，

所以数列是首项为和公比均为4的等比数列；

（Ⅲ），

．

选③，（Ⅰ）由，且，

可得数列为等差数列，设公差为，

则，

则，；

（Ⅱ）证明：，

可得，

所以数列是首项为和公比均为4的等比数列；

（Ⅲ），

所以

．